Диссертация (1149834), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Чтобы наилучшим образомохарактеризовать полосу пропускания канала, содержащего в себе ячейку быстрой квантовой памяти, мы сравним нашу модель с моделью адиабатической квантовой памяти, для которой такжепроведем модовый анализ полного цикла. Априори мы можем ожидать, что канал с быстройквантовой памятью будет обладать лучшей пропускной способностью, чем канал с адиабатической, так как условие адиабатичности достигается при большем времени взаимодействия светасо средой. Стоит заметить, что в этом аспекте каждый из рассматриваемых нами протоколовбудет существенно превосходить квантовую память, основанную на явлении электромагнитнойиндуцированной прозрачности [7, 8], которая, как известно, работает только в узком диапазонечастот.3.1Собственные функции полного цикла памяти и их спектрМы рассматриваем ансамбль неподвижных атомов.
Из решений (2.46) и (2.47) для ко-герентности (, ), образовавшейся внутри атомной среды к концу записи, и поля (),полученного на выходе из ячейки при считывании, следует, что, если на этапе хранения системаостается неизменной, полный цикл памяти можно описать посредством интегрального преобразования, связывающего поле на входе в ячейку () с полем на выходе из нее ():∫︁ () =′ ( − ′ )(, ′ ).(3.1)0Здесь (, ′ ) – вещественное ядро интегрального оператора, которое может быть выражено черезядро процесса записи (, ), связывающее поле на входе () со спиновой когерентностью(, ), и ядро для процесса считывания (, ), связывающее образовавшуюся когерентность(, ) с полем на выходе (), восстановленным в процессе обратного считывания:(, ′ ) =∫︁ (, ) (, ′ ).047(3.2)Поскольку в случае быстрой квантовой памяти (, ) = (, ), ядро (, ′ ) оказываетсясимметричным относительно перестановки аргументов, и, следовательно, для него может быть√ ∞поставлена задача на поиск собственных функций { ()}∞=1 и собственных значений { }=1 :√︀∫︁ () =′ (, ′ ) (′ ).(3.3)0Функции { ()}∞=1 образуют полный ортонормированный набор:∫︁ () () = ,(3.4)0∞∑︁ () (′ ) = ( − ′ ).(3.5)=1Следует сразу отметить, что представленное определение собственных функций предполагаетравенство временных интервалов записи и считывания сигнала.
Более общий случай подразумевает, что время считывания может превосходить время записи, а значит, аргументы ядра (, ′ )определены на разных интервалах. Однако и в этом случае удается симметризовать ядро, и решить задачу на поиск собственных функций и собственных значений (см. приложение B).Можно записать выражение эквивалентное формуле (3.3), представляя ядро (, ′ ) ввиде билинейной квадратичной формы от найденных собственных функций. Коэффициентами вэтом разложении будут соответствующие собственные значения:∞ √︀∑︁(, ) = () (′ ).′(3.6)=1Такое представление обычно называют разложением Шмидта, и говорят о { ()}∞=1 как о модахШмидта.На рис. 3.1 представлена зависимость первых пяти собственных чисел протокола быстрой квантовой памяти от длительности импульсов записи и считывания при длине атомногослоя = 10.
Напомним, что в рассматриваемой модели памяти для безразмерных величиндолжно выполняться < . Из этой диаграммы видно, какие собственные функции будут сохраняться с эффективностью выше 50%, т.е. в режиме квантового хранения, а какие нет. Инымисловами, если на вход подается поле, обращенный (из-за свертки в (3.1)) временной профилькоторого совпадает с -oй собственной функцией, квантовая память будет работать как светоделитель с коэффициентом пропускания , равным квадрату -oго собственного числа и опреде-48Рисунок 3.1: Диаграмма зависимости первых пяти собственных чисел от длительностиимпульсов записи и считывания при = = и = 10; красные столбцы отвечают собственным функциям, для которых > 50%; синие – < 50%.ляющим эффективность памяти = .(3.7)Подчеркнем, что понятие квантовой или не квантовой памяти не однозначно и связано с дальнейшим использованием сохраненного света в информационных схемах. При этом требуемаявеличина эффективности (обеспечивающая преимущество использования квантового света посравнению с классическим) зависит как от самого исходного квантового состояния сигнала,так и от протокола, в котором этот свет используется.
Эффективность 50% соответствует квантовому пределу для широкого класса гауссовых состояний: например, для когерентных и сжатых [99,114]. Пользуясь терминологией авторов [115], можно сказать, что канал обеспечивающийэффективность передачи меньше 50% является классической факс машиной.Теперь мы рассмотрим модовую структуру памяти при параметрах = 10, = 5.5,чтобы объяснить, чем определяется высокая эффективность сохранения света при этом соотношении безразмерных длины и времени взаимодействия, обнаруженная ранее в работе [19].На рис.
3.2 приведены первые три собственные функции интегрального преобразования полясо входа на выход ячейки быстрой квантовой памяти (верхняя строка), их квадраты (средняястрока), а также Фурье-спектры (нижняя строка). Хорошо видно, что первые две собственные√√функции, выделенные благодаря большим собственным значениям ( 1 = 1.0 и 2 = 0.9;√>2 ≪ 1 ), оказываются локализованы в различных областях на временной шкале: перваясобственная функция оказывается локализованной на интервале ∈ [0, 2.75], а вторая – наинтервале ∈ [2.75, 5.5]. Таким образом, можно заключить, что быстрая квантовая память при49Рисунок 3.2: Первые три собственные функции интегрального преобразования поля со входа навыход ячейки памяти (верхняя строка), их квадраты (средняя строка) и их Фурье-спектры(нижняя строка) в схеме быстрой квантовой памяти. Безразмерное время введено как Ω,безразмерная частота – как /Ω.50указанных параметрах является хорошим фильтром для сигнальных полей, обращенный временной профиль которых совпадает с профилем одной из двух первых собственных функций илиих суперпозицией: именно такие поля будут воспроизводиться без заметных искажений, и мыбудем знать, когда и в какую из двух собственных мод памяти будет происходить считывание.Мы вернемся к указанной особенности временной локализации мод при обсуждении хранениясжатого света в главе 4.При построении модели быстрой квантовой памяти мы использовали условие, что длительность импульсов сигнального и управляющего полей значительно меньше −1 времениспонтанного распада уровня | 3⟩.
Отсюда, в частности, следует условие на частоту Раби Ω, отвечающую переходу | 3⟩ − | 2⟩: Ω ≫ . Это позволяет оценить ширину Фурье-спектров, построенных собственных функций, для которых безразмерная частота была введена как ˜ = /Ω. Мывидим, что ширина спектра для первой собственной функции составляет примерно 3Ω, а длявторой – порядка 4Ω. Это означает, что рассматриваемая ячейка памяти является широкополосной, т.е. может быть использована в квантовом информационном канале с полосой пропусканияпорядка 3Ω.3.2Функции отклика средыРассмотрим ситуацию, когда на вход ячейки памяти подается поле с обращенным вре-менным профилем в виде одной из собственных функций, и проследим за тем, какой "отклик" всреде вызовет такое поле. Мы будем называть это преобразование полуциклом памяти в отличиеот полного цикла записи-восстановления сигнала:√∫︁ () = (, ) ().(3.8)0Ниже мы покажем, что набор функций { ()}∞=1 является ортонормированным, а -ый нор√мировочный множитель можно связать с собственным числом полного цикла памяти .√Произведения () будем называть функциями отклика среды.В отличие от ядра (, ′ ), характеризующего полный цикл памяти, ядро (, ) неявляется симметричным относительно перестановки временного аргумента и пространственного аргумента , поэтому воспользоваться разложением Шмидта мы не можем.
Однако в силу51полноты набора собственных функций { ()}∞=1 можно представить (, ) в виде ряда (, ) =∞∑︁ () (),(3.9)=1где () – коэффициенты разложения. Найдём связь между () и√ (). Для этого умножимлевую и правую части (3.9) на () и проинтегрируем по времени от 0 до .
Воспользовавшисьсвойствами ортонормированности набора функций { ()}∞=1 , получим√ () = ().(3.10)Найденное равенство означает, что -ая функция отклика среды√ () является -ым коэф-′фициентом в разложении ядра (, ) по собственным функциям { ()}∞=1 ядра (, ), т.е.выражение (3.9) можно переписать в виде (, ) =∞∑︁√ () ().(3.11)=1Теперь докажем, что функции () образуют ортонормированный набор, и определим норми√ровочные множители . Рассмотрим скалярное произведение -ой и -ой функций отклика:√ √ ∫︁∫︁∫︁∫︁ () () =000′ (′ , ) (, ) (′ ) (). (3.12)0Воспользовавшись соотношениями (3.4-3.6), получим√ √ ∫︁ () () =√︀ .(3.13)0Из этого следует, что функции () являются ортонормированными и√√ = 4 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
