Автореферат (1149785), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Материалы, содержащие основные результаты диссертационной работы, изложены в 4 опубликованныхв печати работах, 3 из них — в рецензируемых изданиях, входящих в списокВАК.Последняя в списке работа выполнена в соавторстве с научным руководителем, профессором Ю. К. Демьяновичем. В указанной публикации диссертантупринадлежит идея алгоритма построения симплициального подразделения, подробно рассмотренного в третьей главе диссертационной работы.6Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены на семинарах кафедры параллельных алгоритмов математико-механического факультета СПбГУ, кафедры компьютерных технологий и программнойинженерии ГУАП, доложены на семинаре по вычислительной математике приСПбПУ, а также представлены в виде докладов на 45-й конференции «Процессы управления и устойчивость» в 2015 году и конференции СПИСОК-2016.Структура и объем работы.
Диссертация объемом 148 страниц состоитиз введения, четырех глав с основными результатами, заключения, списка литературы, двух приложений. В работе имеется 17 рисунков. Список литературысодержит 97 наименований.Содержание работы. Введение содержит описание областей знаний, в которых проявляется задача вейвлетного разложения на пространствах Зламала,обзор текущего состояния исследований на эту тему. Во введении поставлены цели и задачи работы, сформулированы основные результаты и положения,выносимые на защиту. В первой главе рассматриваются вопросы, возникающие при построении всплескового разложения функций, заданных на двумерных триангулированных областях. В настоящей работе рассматривается вопросукрупнения триангуляции, для чего привлекается триангуляция специальноговида.
Такой специальной триангуляцией является, например, триангуляция, заданная следующей таблицей инциденций px0 ,y00 +4,y 00 +2,y 0 +2 ppxx px0 +4,y00000ppx +4,y +4x +2,y +2 ,(1) px0 +4,y0 +4 px0 ,y0 +40 +2,y 0 +2 px px0 ,y0 +4px0 ,y0px0 +2,y0 +2 где px0 ,y0 — вектор с целочисленными координатами x0 и y 0 , кратными четырем,x0 , y 0 ∈ {4k | k ∈ Z}. (Z традиционно обозначает кольцо целых чисел.)Знание структуры используемой триангуляции позволяет получить явныевыражения для координатных функций ωej (t) (здесь j обозначает индекс узлав рассматриваемом треугольнике, а t — точку, принадлежащую триангулированной области, являющейся областью определения координатных функций),а также найти калибровочные соотношения, справедливые при переходе от базиса связанного с исходной триангуляцией к базису, построенному на укрупненной триангуляции.Так, одним из вариантов укрупнения триангуляции, заданной таблицей (1),является px0 ,y0 px0 +4,y000px +4,y +4 (2) px0 ,y0 px0 +4,y0 +4 px0 ,y0 +4 .Справедлива следующая лемма, которая доказана в диссертационной работе.7Лемма 1.
Для базисных элементов укрупненной триангуляции ωe1 и ωe9 наeeтреугольниках T1 и T2 справедливы следующие калибровочные соотношения:ωe1 (t) = ω1 (t) + 3 · ω10 (t) − ω11 (t) − ω12 (t) − ω13 (t) / 8,(3)ωe9 (t) = ω9 (t) + 3 · ω13 (t) − ω10 (t) − ω11 (t) − ω12 (t) / 8.(4)e1 и Te 2 — треугольники, определенные таблицей (2), функции ωi (t)Здесь Tсуть базовые элементы Зламала исходной триангуляции, а ωei (t) — элементыукрупненной триангуляции. Аналогичные соотношения выведены в диссертационной работе для всех остальных базовых элементов и, как результат, полученаматрица перехода к базису укрупненной триангуляции.
Аналогичные результаты справедливы для другого варианта укрупнения, который получается из (2)поворотом на угол π/ 2.Также в первой главе получены результаты исследования важного для приложений вопроса о двухкратном укрупнении триангуляции; они позволяют исключить из преобразования поворот, и сохраняют лишь изменение масштаба.Во второй главе дано обобщение результатов, полученных для двумерныхобластей на случай трех измерений. Полученный здесь результат важен дляпостроения эффективного сплайн-вейвлетного разложения цифровых сигналов,обладающих естественной трехмерной структурой.В работах М. Крыжека и С.
Кротова установлено, что при размерности пространства n > 2 невозможно разбить невырожденный n-мерный симплекс наконгруэнтные симплексы меньшего размера с сохранением углов.Под подобным преобразованием симплекса будем понимать его сжатие (растяжение), равномасштабное по всем трем осям с возможным зеркальным отражением. В диссертационной работе доказана следующаяТеорема 1 (.). Пусть S ∈ R3 — невырожденный (имеющий ненулевой объем) симплекс. Не существует такого разбиения S на два меньших симплексаS1 и S2 , каждый из которых может быть получен подобным преобразованиемиз S.
1Далее предлагаются различные новые варианты измельчения симплициального подразделения трехмерного слоя; они базируются на вариантах триангуляции, рассмотренных в первой главе. Кроме того, здесь предложены два новых метода подразделения призм, обеспечивающих согласованность разбиения,и одновременно позволяющих произвести повторное согласованное разбиениеукрупненных призм. Здесь же получены в явном виде координатные функцииаппроксимации Зламала и выписаны соответствующие аппроксимационные соотношения.1В отличие от упомянутой выше теоремы, мы не требуем конгруэнтности результирующих симплексов.8В третьей главе предложен способ построения симплициального подразделения трехмерных областей, допускающий локальное укрупнение вдоль всехтрех измерений,2 использование которого позволяет провести адаптивное всплесковое разложение цифрового сигнала.Симплициальному комплексу сопоставляем четырехстолбцовую таблицу инциденций, в которой каждая строка содержит множество вершин одного изсимплексов, а число строк равно числу рассматриваемых симплексов (строки,дублирующие представление одного симплекса исключаются).Таблицы, отличающиеся порядком строк или/и порядком вершин в строках, представляют один и тот же симплициальный комплекс; считаем их эквивалентными, так что все множество таблиц распадается на классы эквивалентных таблиц, называемые табличными классами.
Количество элементов (таблиц)в табличном классе равно (24)k K !, где K — число симплексов рассматриваемого комплекса.Введем операцию сложения табличных классов. Под суммой двух табличных классов подразумевается такой табличный класс, представителем которогоявляется таблица, полученная соединением двух таблиц — представителей этих.классов. Операцию сложения табличных классов обозначим знаком + .Операция сложения табличных классов введена корректно, она ассоциативна и коммутативна, а объединению двух симплициальных комплексов однозначно соответствует сумма определяемых ими табличных классов. Не нарушаякорректности при сложении табличных классов можно оперировать их предста.вителями, ставя знак + между упомянутыми представителями.В дальнейших рассуждениях используются стандартные обозначения нулевого вектора и координатных ортовdef0 == (0, 0, 0),Положимdefi == (1, 0, 0),defdefdefdefj == (0, 1, 0),defk == (0, 0, 1).defA == 0, B == i, C == i + j, D == j,defdefdefdefA 0 == k, B 0 == B + k, C 0 == C + k, D 0 == D + k.Пусть Q1 — единичный замкнутый куб в R3 с вершинами A, B, C, D, A 0 ,B 0, C 0, D 0.Обозначим T r(s) трансляцию на вектор s:T r(s)u = u + s ∀s, u ∈ R3 .Если M — множество трехмерных векторов, M ⊂ R3 , то положимdefT r(s)M == {u | u = v + s ∀v ∈ M }.2Структуры, аналогичные полученным в данной главе, были получены при рассмотрении задачи заполнения эвклидова пространства тетраэдрами в работе Д.
Соммервиля. Вопросы измельчения подразделений,приводящие к подобным структурам исследовались в работах М. Крыжека, С. Коротова и др.9Совокупность единичных кубов, исчерпывающих пространство R3 , обозначим Q∞1 ,def3Q∞1 == {T r(s)Q1 | s ∈ Z }.Далее, определен ряд точекE = (A + C)/2,H = (C + D 0 )/2,F = (A + B 0 )/2,I = (A + D 0 )/2,G = (B + C 0 )/2,E 0 = E + K,Z = (A + C 0 )/2.В кубе Q1 с вершинами A, B, C, D, A 0 , B 0 , C 0 , D 0 рассмотрим симплициальное подразделение S1 , состоящее из 24 симплексов и имеющее таблицуинциденций bS1 :. 2 . b3 .
b4 . b5 . b6bS1 = bS 1 +bS +S +S +S +S ;где, например,defbS 1 == ZZZZEEEEABCABCDD,defbS 2 == ZZZZGGGGBCB0BCC0C0B0,...Симплициальное подразделение куба с такой топологической структурой(и с такой геометрией) будем называть подразделением вида A.Каждая из групп bSi допускает два варианта укрупнения; К примеру,ZABDZACB1b, bS−→S 1 −→ Z B C D .Z A C DТопологическая правильность подразделения куба Q1 сохраняется в обоихвариантах.Пусть Γ — грань куба Q1 , служащая основанием пирамиды, подразделениекоторой bSi подвергнуто укрупнению; при этом вместо двух диагоналей на рассматриваемой грани Γ сохраняется лишь одна из них.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
