Автореферат (1149785), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Однако, для сохраненияправильности подразделения, необходимо произвести аналогичное укрупнениееще в одном кубе — а именно, в кубе, для которого Γ — общая грань с кубомQ1 .Такое «совместное» укрупнение будем называть элементарным укрупнением. В работе доказана следующаяТеорема 2. Для преобразованияS1 −→ A B B 0 C 0 , S2 −→ A A 0 B 0 C 0 ,S3 −→ A A 0 C 0 D 0 , S4 −→ A C 0 D D 0 ,560 0.ABCCACCDS−→, S−→10таблица инциденций eS1 :S1−→defeS1 == AAAAAABA0A0C0BCB0B0C0DCC0C0C0D0D0C0D,(5)e 1 ), котоопределяет правильный симплициальный комплекс (обозначаемый Sрый является вложенным укрупнением симплициального комплекса S1 .ПустьdefL == { 0, i, j, k, i + j, i + k, j + k, i + j + k}.Рассмотрим куб Q2 , полученный объединением сдвигов куба Q1 :[defQ2 ==T r(s)Q1 ,s∈L(6)Благодаря соотношению (6) симплициальное подразделение S1 куба Q1 порождает правильное симплициальное подразделение куба Q2 ; обозначим этоподразделение S2 .Введем операции сдвига любой точки M ∈ R3 вдоль направлений i и j,используя символ (+) в качестве нижнего индекса при сдвиге на i и в качествеверхнего индекса — при сдвиге на j:defM(+) == M + i,defM(+) == M + j.ПоложимdefI 0 == I + k,defF 0 == F + k,defG 0 == G + k,defZ 0 == Z + k.Симплициальное подразделение S2 куба Q2 можно получить отражениями Pi ,Pj , Pk симплициального подразделения S1 куба Q1 относительно трех плоскостей, проходящих через вершины {B, B 0 , C 0 , C}, {C, C 0 , D 0 , D}, {A 0 , B 0 , C 0 ,D 0 } соответственно.Итак, табличный класс S2 , соответствующий симплициальному подразделению S2 , может быть представлен формулой.......S2 = S1 + S1,i + S1,j + S1,i,j + S1,k + S1,i,k + S1,j,k + S1,i,j,k ,гдеdefS1,i == Pi S1 ,defdefS1,j == Pj S1 ,S1,i,k == Pi Pk S1 ,defdefS1,k == Pk S1 ,S1,j,k == Pj Pk S1 ,defS1,i,j == Pi Pj S1 ,defS1,i,j,k == Pi Pj Pk S1 .(7)11Участвующие в формуле (7) табличные классы легко получаются использованием упомянутых отражений......S1,i = S1i + S2i + S3i + S4i + S5i + S6i ;(8)где1 def Si == Z(+)Z(+)Z(+)Z(+)F(+)F(+)GGA+BBB0BB0B0C0,2 def Si == Z(+)Z(+)Z(+)Z(+)E 0(+)E 0(+)F(+)F(+)A 0+B0A+A 0+B0C0A 0+B0,и т.
д......S1,j = S1j + S2j + S3j + S4j + S5j + S6j ;(9).....S1,i,j = S1i,j + S2i,j + S3i,j + S4i,j + S5i,j + S6i,j ;(10).....S1,k = S1k + S2k + S3k + S4k + S5k + S6k ;(11).....S1,i,k = S1i,k + S2i,k + S3i,k + S4i,k + S5i,k + S6i,k ;(12).....S1,j,k = S1j,k + S2j,k + S3j,k + S4j,k + S5j,k + S6j,k ;(13).....S1,i,j,k = S1i,j,k + S2i,j,k + S3i,j,k + S4i,j,k + S5i,j,k + S6i,j,k .(14)Объединяя предыдущие выкладки, получаем, что верно следующее утверждение, полное доказательство которого приведено в диссертационной работе.Теорема 3.
Формулы (8) – (14) дают правильное симплициальное подразделение S2 куба Q2 ; это подразделение содержит 192 симплекса.Далее рассмотрена таблица инциденцийdef.......eS∗ == eS1 + eS1,i + eS1,j + eS1,i,j + eS1,k + eS1,i,k + eS1,j,k + eS1,i,j,k .(15)e 2 соответствующий ей симплициальный комплекс.и обозначим SЗдесь в (15) первые четыре слагаемых представляют собой укрупнения соответствующих подразделений вида S1 (или его трансляций/отражений, согласно обозначениям), подразделений четырех кубов из «нижнего» основанияQ2 .
Аналогично, четыре последних слагаемых соответствуют «верхнему» основанию Q2 . Справедлива следующая теорема, доказанная в диссертационнойработе.12e 2 , определенный таблицей eТеорема 4. Симплициальный комплекс SS∗ , является вложенным укрупнением симплициального подразделения S2 .e 2 содержит 48 симплексов.Комплекс SНетрудно видеть, что можно провести дальнейшее укрупнение, объединяяопределенные пары симплексов, принадлежащих разным слагаемым суммы (15).Учитывая, что в таблице инциденций можно переставлять строки (сохраняяпредставляемый табличный класс), перестановкой строк преобразуем таблицуeS∗ в таблицу eS,def.......eS == eS1 + eS2 + eS3 + eS4 + eS5 + eS6 + eS7 + eS8 .В первых двух слагаемых в основном участвуют вершины «нижнего основания» куба Q1 и их сдвиг на вектор k.В следующих трех слагаемых представлены отражения вершин относительно плоскости, в которой лежит грань куба Q1 , содержащая вершины B, B 0 , C,C 0 , а также относительно плоскости, в которой лежит грань куба Q1 , содержащая вершины C, C 0 , D, D 0 .
В остальных слагаемых в основном участвуютвершины «верхнего основания» куба Q2 :Так, например,0 A 00+ (j, k) B 00+ (j, k) C 00 (j, k)C(j,k) 00+ A + (i, j, k) B 00+ (i, j, k) C 00 (i, j, k) C 0 (i, j, k) 0000000 A + (i, k)(i,k)C(i,k)C(i,k)Ddef+e.(16)S8 == 00000 A 00+(i,j,k)C(i,j,k)C(i,j,k)D(i,j,k)+ + A 00+ (j, k) B 00+ (j, k) B 0+ (j, k) C 0 (j, k) 00+ A + (i, j, k) B 00+ (i, j, k) B 0+ (i, j, k) C 0 (i, j, k) В каждой из таблиц eS1 – eS8 соседние строки (а именно, строки I и II, IIIи IV, V и VI) представляют собой симплексы, объединение которых дает сновасимплекс.В результате получены отображения A A+ B 0 C 0 f def 0000 eAABCS1 −→ S 1 == (17), A A 00 C 0 D 0 A A+ C 0 D 0 f def 0 eAACCS2 −→ S 2 == (18)+, A A+ C C 0 A+ A 00 B 0 C 0 +f def eS3 −→ S 3 == A+ A 00+ C 0 D 0+ (19),00 A+ A+D++ Cи т.
д.13fТеорема 5. Симплициальное подразделение S 2 с таблицей инциденцийf def f . f . f . f . f . f . f . fS == S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 + S 6 + S 7 + S 8 ,(20)где слагаемые определяются формулами (17) – (20) (и еще пятью аналогичe 2 ; оно содержитными), является правильным укрупнением подразделения S24 симплекса.Как отмечалось выше, построенный алгоритм укрупнения симплициальногоподразделения обладает важным свойством рекурсивности. Именно, справедлива следующая теорема, доказанная в диссертационной работе:fТеорема 6.
Симплициальное подразделение S является подразделением видаA.Приведенная теорема утверждает важное свойство разработанного алгоритма— рекурсивность получаемого симплициального разбиения .В четвертой главе приведены результаты компьютерного моделированиязадачи построения симплициального подразделения специального вида в двумерном и трехмерном случаях.
Моделью является симплициальное подразделение представленное неориентированным графом. Был разработан и реализованобщий программный интерфейс для подразделения. В качестве простейших егореализаций определены конкретные классы, задающие симплициальное подразделение специального вида без явно заданных ограничений области. Наследуемыми классами следующего уровня реализована возможность задавать границы области либо явно (например, как простой параллелепипед), либо по болеесложным условиям, включающим в себя вычисления оценок для отдельныхузлов.
На следующем этапе реализована возможность производить модификацию части симплициально подразделенной области либо путем измельчения,либо за счет укрупнения. Программный интерфейс (API) разработан таким образом, чтобы он хорошо сочетался с поддержкой технологии Streams, котораяпоявилась в языке Java 8. Эта технология позволяет использовать встроенную в стандартный инструментарий JDK3 поддержку параллельных вычислений. В компьютерном приложении реализован графический пользовательскийинтерфейс, позволяющий наглядно продемонстрировать производимые преобразования.
Его основные составные части включают в себя поле для графического отображения подразделения и форму для ввода, позволяющую задаватьпараметры преобразования.3Java Development Kit, комплект разработчика приложений языка Java.14В заключении сформулированы основные результаты проведенного в диссертационной работе исследования.1. Получены аппроксимационные и калибровочные соотношения для базовыхфункций Зламала в двумерном случае, соответствующие однократному локальному измельчению триангуляции.
Также получены соотношения, соответствующие однократному и двукратному укрупнению триангуляции специального вида.2. Предложены и исследованы новые модели построения симплициального подразделения плоского слоя в R2 и его локального двумерного укрупнения.Также получены калибровочные соотношения в случае плоско-параллельного сечения слоя.3. Предложен общий алгоритм построения симплициального подразделения области в R3 . Подразделение допускает локальное укрупнения и приводитк вложенным пространствам при использовании аппроксимаций Курантаи Зламала. Прменение указанных аппроксимаций приводит к адаптивномуразложению исходного цифрового потока, имеющего трехмерную структуру.Обоснованием алгоритма служит серия доказанных утверждений.4.
Создан программный комплекс, состоящий из системы базовых интерфейсов и конкретных классов, реализующих разработанную функциональность.Указанный комплекс применен для моделирования адаптивного построениясимплициального подразделения предложенного и исследованного в диссертационной работе вида.В двух приложениях приведена информация технического характера, необходимая для полноты доказательства доказанной в работе теоремы.15Список публикаций[1] Герасимов, И.
В. Алгоритм построения аппроксимации Зламала при локальном укрупнении триангуляции / И. В. Герасимов // Компьютерные инструменты в образовании, вып. 2, 2014. С. 20–28.[2] Герасимов, И. В. Способ локального укрупнения симплициального подразделения в R3 / И. В. Герасимов // Компьютерные инструменты в образовании, вып. 6, 2014. С. 3–11.[3] Герасимов, И. В. Аппроксимация Зламала для укрупняемого симплициального подразделения слоя / И. В. Герасимов // Процессы управления иустойчивость: Труды 45-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, Т.
Е. Смирновой. СПб.: Издат.Дом С.-Петерб. гос. ун-та, Т. 2, 2015. С. 390–397.[4] Демьянович, Ю. К. О локальных укрупнениях симплициальных подразделений / Ю. К. Демьянович, И. В. Герасимов // Сб. Пробл. мат. ан. 84, 2016.С. 67–82..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
