Диссертация (1149720), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для негоимеем:dG(y(t) ≤ −cΦ(y(t),dtгде c := min{1, 2c2 , c3 } c c2 := 1 −1κ2(2.100)σ1> 0, c3 := −δ( 2κ+ 1) > 0.Отсюда можно показать, принимая во внимание (2.92), чтоdΦ(y(t)) ≤ −cΦ(y(t))dt(2.101)для п.в. t ∈ (0, T ).С учетом этих соотношений, можно выбрать функциюcg(t) ≡ − α, t ∈ [0, T 0 ),2(2.102)которая будет удовлетворять соотношениям (i) и (ii) теоремы 2.5.Оценим слагаемые в правой части неравенства (2.57):minΦ(y) ≥ min{1, a}β,(2.103)Φ(y) ≤ max{2, a}α.(2.104)y∈Y :kykY =βmaxy∈Y :kykY =αОтсюда видим, что теорема 2.5 выполняется.2.5.Численное определение решения для задачи микроволнового нагреваВ данном разделе приведем численные эксперименты для определе-ния численного решения для одномерной начально-краевой задачи микро-44волнового нагреваwtt − wxx + σ(θ)wt = 0, x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ),θt − θxx = σ(θ)wt 2 , x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ),w(0, t) = ξ1 (t), w(1, t) = ξ2 (t), t ∈ (0, T ),(2.105)θ(0, t) = θ(1, t) = 0, t ∈ (0, T ),θ(x, 0) = θ0 (x), x ∈ (0, 1),w(x, 0) = w0 (x), wt (x, 0) = w1 (x), x ∈ (0, 1),Применена явная конечно-разностная схема.
Для построения графиков используется математический пакет Matlab.В экспериментах используем следующие начально-краевые данные:σ(θ) = 0.2(1 + θ),w0 (x) = 0,w1 (x) = 0,(2.106)θ0 (x) = 0,ξ1 (t) = ξ2 (t) = 2 sin 2t.Графики компонент решения показаны на рисунках 2.1,2.2, 2.3.
Здесьv := wt как и ранее. Эксперимент показывает некоторые свойства устойчивости на конечном промежутке времени.45Рис. 2.1. Компонента w(x, t) решения системы (2.105)Рис. 2.2. Компонента v(x, t) решения системы (2.105)46Рис. 2.3. Компонента θ(x, t) решения системы (2.105)473. Устойчивость на конечном промежутке времени длямногозначных процессовВ этой главе вводится понятие многозначного процесса, устойчивостии неустойчивости на конечном промежутке для многозначного процесса, атакже приводятся теоремы, описывающие эти свойства.3.1.Понятие локальных многозначных процессовПусть (N , ρN ) - полное метрическое пространство, 2N - множествовсех непустых подмножеств N . Введём понятие локального многозначногопроцесса на N , аналогично тому, как это сделано в работах [34] и [35] :Определениевается3.1.
Отображениелокальныммногозначнымψ:Dпроцессом→на2NN,назыгдеD = {(t, s, u)|(s, u) ∈ R × N , t ∈ [0, b(s, u))}, где [0, b(s, u)) - максимальный правый промежуток существования отображения ψ t , есливыполняются следующие свойства:1. ψ 0 (s, ·) = IN - тождественное отображение на N для всех s ∈ R.002.ψ t+t (s, u) ⊂ ψ t (t0 + s, ψ t (s, u)) для всех (s, u) ∈ R × N , ∀t0 ∈ [0, b(s, u)),0∀t ∈ [0, b(t0 , ψ t (s, u))), t + t0 < b(s, u).Такой локальный многозначный процесс называется строгим, если00ψ t+t (s, u) = ψ t (t0 , ψ t (s, u)).Обозначим J (s, us ) = {t ∈ R|t ∈ [0, b(s, us ))}.48Определение 3.2. Пусть (ψ, (N , ρN )) - локальный многозначный процесс.
Зафиксируем (s, us ) - точка в R × N . Семейство однозначных отображенийD(s, us ) := {t ∈ J (s, us ) → u(t) ∈ N },назовёмдвижениемψ,котороеначинаетсяв(s, us ),еслиu(t) ∈ ψ t (s, u(s)), ∀t ∈ J (s, us ) и u(s) = us . Каждое такое однозначноеотображение назовём реализацией движения D(s, us ).Определение 3.3. Пусть (ψ, (N , ρN )) - локальный многозначный процесс. ОтображениеΦ:R×N →Rназывается функционалом Ляпунова для этого процесса, если выполненыследующие условия:(i)Однопараметрическое семейство отображенийΦ(t, ·) : N → R, t ∈ Rнепрерывно;(ii) Для любого фиксированного t ∈ R и u ∈ NΦ̇(t, u) := lims→0+ sup 1s [Φ(t + s, ψ s (t, u)) − Φ(t, u)]3.2.Устойчивость на конечном промежутке времени локальныхмногозначных процессовВведём понятие устойчивости на конечном промежутке времени длялокального многозначного процесса:49Определение 3.4. Локальный многозначный процесс (ψ, (N , ρN )) называется (α, β, t0 , T 0 , ρN , p)-устойчивым, где 0 < α ≤ β, t0 > 0, T 0 ≥ 0- произвольные числа, p ∈ N , если для каждой реализации u(·) произвольного движения D(s, us ) = {t ∈ J (s, us ) → u(t) ∈ N },s ≤ t0 , t0 + T 0 ≤ b(s, us ), us ∈ N , u(·) ∈ D(s, us ) этого процесса из условия ρN (p, ut0 ) < α, ut0 = u(t0 ) следует, что ρN (p, u(t)) < β для всехt ∈ [t0 , t0 + T 0 ).Введём понятие неустойчивости на конечном промежутке времени:Определение 3.5.
Локальный многозначный процесс (ψ, (N , ρN )) называется (α, β, t0 , T 0 , ρN , p)-неустойчивым, где 0 < α ≤ β, t0 > 0, T 0 ≥ 0- произвольные числа, p ∈ N , если существует движение D(s, us ),s ≤ t0 , t0 + T 0 ≤ b(s, us ), us ∈ N этого процесса такое, что существует его реализация u(·) ∈ D(s, us ), ρN (p, ut0 ) < α, ut0 = u(t0 ) и моментвремени t1 ∈ (t0 , t0 + T 0 ) такие, что ρN (p, u(t1 )) = β.Замечание 3.1. В случае, если N будет являться линейным пространством, то в качестве точки p можно брать 0 и вместо метрики ρN (p, ·)рассматривать норму k · kN .Сформулируем теоремы об устойчивости и неустойчивости на конечном промежутке для многозначного процесса:Теорема 3.1.
Пусть (ψ, (N , ρN )) - локальный многозначный процесс,J := [t0 , t0 + T 0 ) ⊂ J (s, us ) - временной интервал, 0 < α ≤ β, s > 0 положительные числа, us ∈ N , p ∈ N , и существуют функционал Ляпунова Φ : J × N → R в смысле определения (3.3) и интегрируемая функцияg : J → R такие, что следующие условия выполнены:50Φ̇(t, u(t)) < g(t)(3.1)для t ∈ J, и произвольных отображений u(t) ∈ C(t0 , t0 + T 0 ; N ) таких,что α ≤ ρN (p, u(t)) ≤ β для любого t ∈ J;Ztg(s)ds ≤sΦ(t, u(t)) −minu∈N :ρN (p,u)=βmaxΦ(s, u(s))(3.2)u∈N :ρN (p,u)=αдля любых s, t ∈ J, s < t.Тогда локальный многозначный процесс (ψ, (N , ρN )) будет(α, β, t0 , T 0 , ρN , p)-устойчивым.Доказательство.
Пусть D(s, us ) = {t ∈ J (s, us ) → u(t) ∈ N },s ∈ R, us ∈ N - произвольное движение локального многозначного процесса (ψ, (N , ρN )) и u(·) ∈ D(s, us ) - произвольная реализация этого движения. В дальнейшем доказательство проводится аналогично доказательству теоремы (2.1), используя произвольную реализацию движения u(·) ипонятие производной 3.3.Теорема 3.2. Пусть (ψ, (N , ρN )) - локальный многозначный процесс,J := [t0 , t0 + T 0 ) ⊂ J (s, us ) - временной интервал, 0 < α ≤ β, s > 0- положительные числа, us ∈ N , p ∈ N , и существуют непрерывныйфункционал Φ : J × N → R и интегрируемая функция g : J → R, интегрируемая на J, константы δ, T1 , δ < α, 0 < T1 < T и множестваΩ, Υ(t), U(t) определённые черезΩ = B(β) − B(δ);Υ(t) = {u = u(t)|Φ(u) >maxΦ(u)};u∈N :ρN (p,u)=δU(t) ⊂ Ω ∩ Υ(t), U(t) - связно и непусто; U(t0 + T1 ) ∩ ∂B(β) 6= ∅51такие, что следующие условия выполнены:ZΦ(t, u(t)) − Φ(s, u(s)) >(i)tg(s)ds(3.3)sдля t, s ∈ J, и произвольных отображений u(t) ∈ C(t0 , t0 + T 0 ; N ) таких,что α ≤ ρN (p, u(t)) ≤ β для любого t ∈ J;(ii) Существует u0 ∈ U(t0 ), δ < ku0 kN < α такое, чтоZ t0 +T1g(s)ds ≥max Φ(t0 + T1 , u) − Φ(t0 , u0 )(3.4)u∈N :kukN =βt0иZt1g(s)ds ≥maxu∈N :kukN =δt0Φ(t1 , u) − Φ(t0 , u0 )(3.5)для всех t1 ∈ [t0 , t0 + T1 ];(iii)Φ(t0 + T1 , u0 ) ≤maxu∈N :kukN =βΦ(t0 + T1 , u)(3.6)для всех u0 ∈ U(t0 + T1 );Тогда локальный многозначный процесс (ψ, (N , ρN )) будет(α, β, t0 , T 0 , ρM , p)-неустойчивым.Доказательство.
Пусть D(s, us ) = {t ∈ J(s, us ) → u(t) ∈ N },s ∈ R, us ∈ N - произвольное движение локального многозначного процесса (ψ, (N , ρN )) и u(·) ∈ D(s, us ) - произвольная реализация этого движениятакая, что u(t0 ) = u0 ∈ U(t0 ). ИмеемZtΦ(t, u(t)) − Φ(t0 , u(t0 )) >g(s)ds .(3.7)t0Пусть существует минимальное t2 ∈ J такое, что ρN (p, u(t2 )) = δ. Предположим, что ρN (p, u(t)) < β для всех t ∈ [t0 , t2 ]. ТогдаZ t2Φ(t2 , u(t2 )) − Φ(t0 , u(t0 )) >g(s)ds >maxt0u∈N :ρN (p,u)=δΦ(t2 , u).(3.8)52Это противоречит условию, исходя из которого выбиралось t2 . Следовательно, такого t2 не существует. Отсюда Φ(t, u(t)) >maxΦ(t, u)u∈N :ρN (p,u)=δдля всех t ∈ [t0 , t0 + T1 ].
Отсюда следует, что если ρN (p, u(t)) < β для всехt ∈ [t0 , t0 + T1 ], тогда u(t) ∈ U(t) для всех t ∈ [t0 , t0 + T1 ].Предположим теперь, что ρN (p, u(t)) < β для всех t ∈ [t0 , t0 + T1 ]. ТогдаZ t0 +T1Φ(t0 +T1 , u(t0 +T1 ))−Φ(t0 , u(t0 )) >g(s)ds >maxΦ(t0 +T1 , u).t0u∈N :ρN (p,u)=β(3.9)Это противоречит гипотезе (iii), тогда предположение насчёт ρN (p, u(t))неверно. Следовательно, существует момент времени t3 ∈ [t0 , t0 + T1 ] такой,что ρN (p, u(t)) = β.3.3.Существование локальных многозначных процессов в задаче нагреваРассмотрим начально-краевую задачу:гдеwtt − wxx + σ(θ)wt = 0, x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ),(3.10)A(θ)t − θxx = σ(θ)wt 2 , x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ),(3.11)w(0, t) = ξ1 (t), w(1, t) = ξ2 (t), t ∈ (0, T ),(3.12)θ(0, t) = θ(1, t) = 0, t ∈ (0, T ),(3.13)θ(x, 0) = θ0 (x), x ∈ (0, 1),(3.14)w(x, 0) = w0 (x), wt (x, 0) = w1 (x), x ∈ (0, 1),(3.15)θ − 1, θ < m,A(θ) =θ − 1, θ, θ = m, θ, θ > m53и m - некоторый параметр.Предположим, что следующие условия выполнены:(A3.1) σ удовлетворяет локальному условию Липшица на (0, +∞),(A3.2) ξ1 , ξ2 ∈ H1 (0, 1),ξ1 (0) = 0, ξ2 (0) = 0,wt (x, 0), θ0 (x) ∈ L2 (0, 1).Тогда верна следующая теорема:Теорема 3.3 ([40]).
В условиях (A3.1) и (A3.2) задача (3.10-3.15) имеетслабое решение (w(x, t), θ(x, t)) ∈ H1 (0, T ; H1 (0, 1)) × L2 (0, T ; H1 (0, 1)).Введём локальный многозначный процесс для задачи (3.10)-(3.15).Обозначим v := wt .Определим метрическое пространство N = H01 (0, 1) × L2 (0, 1) × L1 (0, 1) снормой k(w, v, θ)k2N = max[kwx k2L2 (0,1) +kvk2L2 (0,1) , kθk2L1 (0,1) ]. В нашем случаеψ t (s, u0 ) = {u(t, s, u0 )|u(t + s, s, u0 ) ∈ D(s, u0 )},(3.16)где u(t, s, u0 ) = (w(·, t), v(·, t), θ(·, t)) - решение задачи (3.10)-(3.15), такоечто u(s, s, u0 ) = u0 = (w0 , w1 , θ0 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
