Диссертация (1149720), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тогда для β = α + c(T 0 )/δ получаем,что процесс (y(·), ξ(·)) будет устойчив на конечном промежутке времени всмысле определения 4.5.80ЗаключениеВ диссертационной работе исследуется устойчивость на конечномпромежутке времени для задач нагрева. Поставлена начально-краевая одномерная задача нагрева в конечной области. Получены достаточные условия устойчивости на конечном промежутке времени в одномерной задаченагрева с помощью оценки решений в разных нормах функциональныхпространств и с помощью функционалов Ляпунова.
Проведены численныеэксперименты для одномерной задачи нагрева, иллюстрирующие свойствоустойчивости на конечном промежутке времени.Рассмотрены общие вопросы по устойчивости на конечном промежуткевремени для локальных и многозначных процессов. Определены различные классы локальных и многозначных процессов с помощью решения задач нагрева, для которых сформулированы теоремы об устойчивости наконечном промежутке времени.Ввведена начально-краевая трехмерная задача нагрева.
Для неё доказаныдостаточные условия устойчивости на конечном промежутке времения длятрехмерной задачи нагрева с помощью функционалов Ляпунова и использования элементов теории ортогонального разложения.Рассмотрены вариационные неравенства, которые описывают, в частности, контактную задачу механики. Для них приведены частотные условияустойчивости на конечном промежутке времени, обобщающие аналогичные результаты для конечномерных систем с гистерезисным оператором.81Сформулированы достаточные условия устойчивости на конечном промежутке времени для вариационных неравенств, описывающих эволюционные системы с нелинейностями типа гистерезиса, а так же для системы снелинейностями типа гистерезиса и оператором выхода.Полученные математические результаты по устойчивости на конечном промежутке времени позволяют использовать более эффективно процессы нагрева в медицине и промышленности.Дальнейшее развитие критериев устойчивости на конечном промежуткедля задачи нагрева и для вариационных неравенств возможно, если используемые функции Ляпунова будут рассматриваться не только на гильбертовом пространстве, но и систематически распространяться на банаховы пространства.82Литература[1] Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э.
Механика РастущихВязко-упруго-пластических Тел. – Москва: Наука, 1987.[2] Барабанов Н. Е., Якубович В.А. Абсолютная устойчивость систем регулирования с одной гистерезисной нелинейностью // Автоматика иТелемеханика. – 1979. – 12. – С. 5–12.[3] Березанский Ю. М. Разложение по Собственным Функциям Самосопряженных Операторов. - Киев: Наук. Думка, 1965.[4] Брусин Ю.
М. Уравнения Лурье в гильбертовом пространстве и ихразрешимость // Прикл. мат. и механика. – 1976. – 40, 5. – С. 947–955.[5] Геращенко Ф.Г., Панталиенко Л.А. Исследование Задач Практической Устойчивости и Чувствительности Динамических Систем, Зависящих от Параметров. – Киев: ИК, 1990.[6] Каменков Г.В. Об устойчивости движения на конечном интервале времени // ПММ – 1960.
– 17, 5. – С. 529–540.[7] Клюшников, В. Д. Устойчивость Упругопластических Систем. –Москва: Наука, 1980.[8] Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные иКвазилинейные Уравнения Параболического Типа. - Москва: Наука,1967.83[9] Лихтарников А.Л., Якубович В.А. Частотная теорема для уравненийэволюционного типа // Сибирск. математ.
журн. – 1976. – 17, 5. –С. 1069–1085.[10] Лихтарников А.Л., Якубович В.А. Дихотомия и абсолютная устойчивость неопределенных нелинейных систем в гильбертовых пространствах // Алгебра и анализ – 1997. – 9, 6. – С. 132–155.[11] Лихтарников А.Л., Якубович В.А. Абстрактные критерии абсолютной устойчивости по линейному выходу и их применение, II // Сибирск. математ. журн. – 1983. – 14, 5.
– С. 129–148.[12] Панков А. А. Ограниченные и Почти Периодические Решения Нелинейных Лифференциально-операторных Уравнений. – Киев: Наук.Думка, 1986.[13] Райтманн Ф., Скопинов С.Н. Устойчивость на конечном промежутке времени в одномерной задаче микроволнового нагрева // ВестникСПбГУ – 2014. – 1, 2(60).[14] Шестаков, А.
А. Обобщенный Прямой Метод Ляпунова для Систем сРаспределенными Параметрами. - Москва: Наука, 1990.[15] Четаев Н.Г. О некоторых вопросах, относящихся к задаче об устойчивости неустановившихся движений // ПММ – 1960. – т.24, №1. – С.16–19.[16] Юмагузин Н.Ю. Асимптотическое поведение двухфазовой проблемымикроволнового нагрева в одномерном случае. // Канд. дисс-ия, СПбГУ, Санкт-Петербург (2011).84[17] Якубович В.А. Частотная теорема в теории управления // Сибирск.математ. журн. – 1973. – 14, 2. – С. 384–420.[18] Якубович В.
А. Метод матричных неравенств в теории устойчивостинелинейных регулируемых систем. III. Абсолютная устойчивость систем с гистерезисными нелинейностями // Автоматика и Телемеханика – 1965. – 26, №5. – С. 753–763.[19] Banks H. T., K. Ito A unified framework for approximation in inverseproblems for distributed parameter systems // Control-Theory andAdvanced Technology – 1988. – 4. – Pp.
73–90.[20] Berkovitz L.D. Optimal Control Theory. - Springer-Verlag, New York:Applied Mathematical Sciences, 1974, Vol. 12.[21] Cannon J.R. and DiBenedetto E. On the existence of weak-solutions toan n-dimensional Stefan problem with nonlinear boundary conditions //SIAM J. MATH. ANAL. – 1980. – 11, 4.[22] Cao, J. Prediction of plastic wrinkling using the energy method // J. Appl.Mech. Trans. ASME – 1999. – 66. – Pp. 646–652.[23] Dafermos C.M. An Invariance Principle for Compact Process // Journalof Differential Equations – 1971. – 9.
– Pp. 239–252.[24] Dautray R., Lions J.L. Mathematycal Analysis and Numerical Methodsfor Science and Technology. Spectral theory and applications. – NewYork:Springer-Verlag, 1990.[25] Dickey, R. W. Free vibrations and dynamic buckling of the extensiblebeam // J. Math. Anal. Appl. – 1970. – 29. – Pp. 443–454.85[26] Duvant, G., Lions J.L. Inequalities in Mechanics and Physics. Berlin:Springer-Verlag, 1976.[27] Ermakov I.V., Kalinin Yu.N., Reitmann V. Determining modes andalmost periodic integrals for cocycles // Differential Equation – 2011.
–Vol. 47, no. 13. – Pp. 1837–1852.[28] Habash R., Bansal R. Thermal therapy, part 2: hyperthermia process //Critical Reviews in Biomedical Engineering. – 2006. – Vol. 34, N 6. – Pp.491–542.[29] Han W., Sofonea M. Evolutionary variational inequalities arising inviscoelastic contact problems // SIAM J.
Numer. Anal. – 2000. – 38,2. – Pp. 556–579.[30] Huang H.-W., Chihng-Tsung L. Review: therapeutical applications of heatin cancer therapy // Journal of Medical and Biological Engineering. – 2011.– Vol. 32, no. 1. – Pp. 1–11.[31] Kalinichenko D.Yu., Reitmann V. and Skopinov S.N. Asymptotic behaviorof solutions to a coupled system of Maxwell’s equations and a controlleddifferential inclusion // Discrete and Continuous Dynamical Systems,Supplement – 2013. – Pp.
407–414.[32] Kalinichenko D.Yu., Reitmann V. and Skopinov S.N. Stability andbifurcations on a finite time interval in variational inequalities //Differential Equations – 2012. – Vol. 48, no. 13. – Pp. 1–12.[33] Kalinin Y.N., Reitmann V. and Yumaguzin N.Y. Asymptotic behavior ofMaxwell’s equation in one-space dimension with thermal effect // Discrete86and Continuous Dynamical Systems, Supplement – 2011. – Vol. 2.
– Pp.754–762.[34] Kapustyan A.V., Melnik V.S. and Valero J. Attractors of multivalueddynamical processes generated by phase-field equations // InternationalJournal of Bifurcation and Chaos – 2003. – Vol. 13., no. 7. – Pp. 1969–1983.[35] Kenmochi N., Yamazaki N. Global attractor of the multivalued semigroupassociated with a phase-field model of grain boundary motion withconstraint // Discrete and Continuous Dynamical Systems, Supplement– 2011. – Vol. 2.
– Pp. 824–833.[36] Kohler T., Maass P., Wust P. Efficient methods in hyperthermiatreatment planning // Surveys on solution methods for inverse problems– 2000. – Pp. 155–167.[37] Kuttler, K. L. and M. Shillor. Set-valued pseudomonotone maps anddegenerate evolution inclusions // Comm. Contemp. Math. – 1999.
– 1,1. – Pp. 87–123.[38] Lions, J.-L. Quelques Méthodes de Résolution des Problémes aux Limitesnou Linéaires. // Dunod, Paris (1969).[39] Lions, J.-L. Optimal Control of Systems Governed by Partial DifferentialEquations. – New York:Springer-Verlag, 1971.[40] Manoranjan R.V., Showalter R. and Yin H.M. On two-phase Stefanproblem arising from a microwave heating process // Discrete andContinuous Dynamical Systems, Series A – 2006. – 15. – Pp. 1155–1168.[41] Michel A.N., Porter D.W.
Practical Stability and Finite-Time Stability of87Discontinuous Systems // IEEE Transactions on Circuit Theory – 1972.– Vol. 19, no. 2. – Pp. 123–129.[42] Morgan J., Yin H.-M. On Maxwell’s system with a thermal effect //Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B – 2001.
– Vol. 1. –Pp. 485–494.[43] Ovidiu C., Lazu A. Lyapunov pairs for continuous perturbations ofnonlinear evolutions // Nonlinear Analysis – 2009. – 71. – Pp. 1012–1018.[44] Popov S., Reitmann V., Skopinov S. Boundedness and finite-timestability for multivalued doubly-nonlinear evolution systems generatedby a microwave heating problem // Abstracts of “The 8th InternationalConference on Differential and Functional Differential Equations”. -2017.- Moscow, Russia. - Pp. 142-143.[45] Salamon,D. Realization theory in Hilbert space // Math.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
