Диссертация (1149720), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тогда можно сформулировать следующую теорему:Теорема 3.4. Задача (3.10)-(3.15) порождает локальный многозначныйпроцесс (ψ, (N , ρN )).Доказательство. Стандартное, используя свойства решения.544. Устойчивость на конечном промежутке временивариационных неравенствВариационные неравенства возникают в механике и других областяхнауки, с помощью которых определяется, например, определённый классконтактных задач ([29]).
В связи с таким типом задач и другими так же возникает понятие гистерезиса ([48]). Для получения эффективных условийустойчивости на конечном промежутке времени используется частотныйметод ([17], [9], [10], [2]). Для иллюстрации результатов рассматриваетсязадача нагрева стержня с гистерезисом на границе.4.1.Эволюционные вариационные неравенстваДопустим, что Y0 - вещественное гильбертово пространство (·, ·)0 иk · k0 - скалярное произведение и норма соответственно. Предположим также, что A : D(A) ⊂ Y0 → Y0 - замкнутый неограниченный плотно определенный линейный оператор.
Гильбертово пространство Y1 определяетсякак D(A) и снабжается скалярным произведением(y, η)1 := ((βI − A)y, (βI − A)η)0 ,y, η ∈ D(A) ,(4.1)где β ∈ ρ(A) ∩ R - произвольное фиксированное число, существованиекоторого мы предполагаем (ρ(A) - резольвентное множество A).Гильбертово пространство Y−1 определяется как замыкание пространства Y0 относительно нормы kyk−1 := k(βI − A)−1 yk0 .
Предполагает-55ся, что мы имеем плотные и непрерывные вложенияY1 ⊂ Y0 ⊂ Y−1 .(4.2)Скобка двойственности (·, ·)−1,1 на Y−1 ×Y1 определяется однозначным продолжением по непрерывности функционалов (·, y)0 с y ∈ Y1 на Y−1 . Дляпроизвольного числа T > 0 определим норму для измеримых по Бохнеруфункций из L2 (0, T ; Yj ), j = 1, 0, −1 с помощью формулы ZTkyk2,j :=1/2ky(t)k2j dt.(4.3)0В дальнейшем такую тройку пространств Y1 ⊂ Y0 ⊂ Y−1 ([3],[50]) будемназывать гильбертовой.Пусть WT - пространство функций y(·) ∈ L2 (0, T ; Y1 ), для которыхẏ(·) ∈ L2 (0, T ; Y−1 ), снабженное нормойky(·)kWT := ky(·)k22,1 + kẏ(·)k22,−11/2.(4.4)Предположим что Ξ и Z - два других гильбертовых пространства соскалярными произведениями (·, ·)Ξ , (·, ·)Z и нормами k · kΞ , k · kZ , соответственно.Вместе с выше введенным оператором A : Y1 → Y−1 рассмотрим линейные ограниченные операторыB : Ξ → Y−1 , C : Y1 → Z ,(4.5)многозначное отображениеφ : R+ × Z → 2Ξ(4.6)ψcont : Y1 → R+ .(4.7)и отображение56Относительно φ предполагаем, что это полунепрерывная сверху функция,ψcont - выпуклая, полунепрерывная снизу функция, ψcont 6≡ +∞ Отметим,что в приложениях φ представляет, например, затухание, z(t) = Cy(t) вход в нелинейный блок, а ψcont - функция, моделирующая, например, некоторые контактные явления ([26]).
Рассмотрим эволюционное вариационноенеравенство с многозначной нелинейностью в виде(ẏ − Ay − Bξ, η − y)−1,1 + ψcont (η) − ψcont (y) ≥ 0 ,∀ η ∈ Y1 ,z(t) = Cy(t) , ξ(t) ∈ φ(t, z(t)) , y(0) = y0 ∈ Y0 .(4.8)(4.9)Замечание 4.1. Заметим, что если ψcont ≡ 0, эволюционное вариационное неравенство (4.8), (4.9) эквивалентно эволюционному уравнению смногозначной нелинейностью φ, заданное черезẏ = Ay + Bξz(t) = Cy (t) ,в Y−1ξ (t) ∈ φ(t, z(t)),y(0) = y0 ∈ Y0 .(4.10)(4.11)Определение 4.1. Функция y(·) ∈ WT ∩ C(0, T ; Y0 ) называется решением системы (4.8), (4.9) на промежутке (0, T ), если существует функция ξ(·) ∈ L2 (0, T ; Ξ) такая, что для почти всех t ∈ (0, T ) соотношенияRT(4.8), (4.9) выполнены и 0 ψcont (y(t))dt < +∞.
Пара {ξ(·), y(·)} называется процессом. Функция ξ(·) называется селектором относительнорешения y(·).Допустим, что F и G - квадратичные формы на Y1 × Ξ. КлассN on(F, G) нелинейностей для (4.8), (4.9) состоит из всех таких отображений (4.34), для которых следующие свойства выполнены (аналогичнокак в [9, 10]):57Для каждого T > 0 и произвольных двух функций y(·) ∈ L2 (0, T ; Y1 )и ξ(·) ∈ L2 (0, T ; Ξ), удовлетворяющихξ(t) ∈ φ(t, Cy(t)) для п.в. t ∈ [0, T ] ,(4.12)F(y(t), ξ(t)) ≥ 0 для п.в. t ∈ [0, T ] ,(4.13)вытекает, чтои существует непрерывная функция P : Y1 → R+ (обобщенный потенциал)такая, чтоZtG(y(τ ), ξ(τ ))dτ ≥ P(y(t)) − P(y(s)) ≥ −P(y(s))(4.14)sдля всех 0 ≤ s < t ≤ T.4.2.Частотные условия устойчивости на конечном интервалеРассмотрим неравенство (4.8), (4.9) и предположим, что каждыйпроцесс {ξ(·), y(·)}, порождённый этим неравенством, существует, покрайней мере, на интервале [0, T0 ], T0 > 0 .
Предположим также, что0 ≤ t0 < T0 , T > 0 такие, что t0 + T < T0 , и 0 < α < β - произвольныечисла. Пусть неравенство (4.8), (4.9) имеет решение y(t) ≡ 0.Следующие определение и теорему можно рассматривать как распространение на вариационные неравенства соответствующих определения итеоремы из предыдущей главы.Определение 4.2. Неравенство (4.8), (4.9) называется (α, β, t0 , T )устойчивым, если для каждого решения y(·) из неравенства ky(t0 )k0 < αвытекает, что ky(t)k0 < β для всех t ∈ [t0 , t0 + T ).58Теорема 4.1. Пусть J := [t0 , t0 + T ) - временной интервал и существуют непрерывный функционал Φ : J × Y0 → R и интегрируемая функцияg : J → R такие, что следующие условия выполнены:tZΦ(t, y(t)) − Φ(s, y(s)) <(i)g(τ )dτ(4.15)sдля всех s, t ∈ J, s < t, и произвольных функций y(·) ∈ WT ∩ C(0, T ; Y0 )таких, что α ≤ ky(t)k0 ≤ β для всех t ∈ J;Ztg(τ )dτ ≤(ii)sminy∈Y0 :kyk0 =βΦ(t, y) −maxΦ(s, y)(4.16)y∈Y0 :kyk0 =αдля всех s, t ∈ J, s < t.Тогда неравенство (4.8), (4.9) (α, β, t0 , T )-устойчиво.Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы(2.1), используя произвольное решение y(·) неравенства (4.8), (4.9).Назовём функционал Ляпунова Φ и соответствующую функцию g,которые удовлетворяют условиям теоремы 4.1, парой Ляпунова ([43]), определяющей (α, β, t0 , T )- устойчивость системы (4.8), (4.9).Пара операторов (A, B) из системы (4.8), (4.9) называется стабилизируемой, если существует оператор S ∈ L(Y0 , Ξ) такой, что решение y(·)задачи Коши ẏ = (A + BS)y, y(0) = y0 , экспоненциально убывает приt → +∞, т.е.∃ c > 0 ∃ ε > 0 : ky(t)k0 ≤ c e−εt ky0 k0 ,∀t ≥ 0.Обозначим комплексификацию гильбертова пространства (H, (·, ·)H ) и линейного оператора L через (Hc , (·, ·)Hc ) и Lc , соответственно.
Пусть F c обозначает эрмитово расширение квадратичной формы F ([18]). Введем для59пары (A, B) из (4.8), (4.9) частотную характеристику следующим образом:χ(iω) = (iωI c − Ac )−1 B c ,(4.17)которая определена для всех ω ∈ R, таких что iω ∈ ρ(Ac ). Введём вещественное гильбертово пространство K со скалярным произведением (·, ·)Kи нормой k · kK .
Относительно этого пространства будем использовать линейные операторы M ∈ L(Y1 , K) и N ∈ L(Ξ, K) такие, что для любогопроцесса {ξ(·), y(·)} системы (4.8), (4.9)κ(t) := M y(t) + N ξ(t) ∈ K , t ∈ [0, T0 ] .(4.18)В дальнейшем функция κ(t) из (4.18) используется для определенияпары Ляпунова.Лемма4.1. Предположим,чтопара(A, B)стабилизируема,φ ∈ N (F, G), и существуют числа ε > 0 и δ ∈ R такие, чтоF c (χ(iω)ξ, ξ) + G c (χ(iω)ξ, ξ) + δk M c χ(iω) + N c ξk2K c+ ε kχ(iω)ξk2Y1c + kξk2Ξc ≤ 0 ,(4.19)для всех ω ∈ R с iω ∈/ σ(Ac ) и всех ξ ∈ Ξc . Тогда существует вещественный оператор P = P ∗ ∈ L(Y0 , Y0 ) такой, что для любого процесса{ξ(·), y(·)} 6= {0, 0} системы (4.8), (4.9) и для любых s, t с 0 < s ≤ t < T0имеем(y(t) , P y(t))0 − (y(s) , P y(s))0 <Zt[ψcont (−P y(τ ) + y(τ )) − ψcont (y(τ )) + δkM y(τ ) + N ξ(τ )k2K ]dτs+P(y(s)) . (4.20)Доказательство.
Доказательство (4.20) следует из частотной теоремыЛихтарникова-Якубовича для эволюционных систем ([9, 10]).60Следствие4.1. Предположим,чтосуществуютоператорыP = P ∗ ∈ L(Y0 , Y0 ), M ∈ L(Y1 , K), N ∈ L(Ξ, K) и число δ ∈ R такие, чтонеравенство (4.20) выполнено. Предположим, что заданы произвольныечисла 0 < α < β и T > 0 такое, что t0 + T < T0 . Тогда для любогопроцесса {y(·), ξ(·)} системы (4.8), (4.9) такого, что α ≤ ky(t)k0 ≤ βдля t ∈ [t0 , t0 + T ) и любых s, t таких, что 0 < s ≤ t ≤ t0 + T , будетвыполнено следующее неравенство:ZΦ(y(t)) − Φ(y(s)) <tg(τ )dτ(4.21)sЗдесьΦ(y) := (y, P y)0 , y ∈ Y0 ,(4.22)иg(t) := sup[ψcont (−P y(t) + y(t)) − ψcont (y(t)) + δkM y(t) + N ξ(t)k2Y ]1+ P(y(0)),(4.23)Tгдесупремумберетсяповсемпарам{y(·), ξ(·)},таких,чтоy(·) ∈ L2 (t0 , t0 + T ; Y0 ), ξ(·) ∈ L2 (t0 ; t0 + T ; Ξ) при условии, чтоα ≤ ky(t)k0 ≤ β, F(y(t), ξ(t)) ≥ 0 и G(y(t), ξ(t)) ≥ −P(y(t)) для п.в.t ∈ [t0 , t0 + T ).Теорема 4.2.
Предположим, что условия леммы 4.1 выполнены и приэтом относительно некоторых операторов P, M, N и числа δ из этойлеммы неравенство (4.20) выполнено. Если для функций Φ и g из (4.22),(4.23) и произвольных s, t таких, что t0 ≤ s ≤ t ≤ t0 + T , неравенствоZ tg(τ )dτ ≤min Φ(y) − max Φ(y)(4.24)sy∈Y0 :kyk0 =βy∈Y0 :kyk0 =αвыполнено, тогда вариационное неравенство (4.8), (4.9) является(α, β, t0 , T )-устойчивым.61Доказательство. Доказательство следует из теоремы 4.1 для пары Ляпунова (Φ, g), определенной в (4.22), (4.23) из неравенств (4.63) и (4.24).4.3.Прогнозирование потери (α, β, t0 , T )-устойчивостиРассмотрим семейство эволюционных вариационных неравенств, за-висимое от параметра q(ẏ − A(q)y − B(q)ξ , η − y)−1,1 + ψcont (η, q) − ψcont (y, q) ≥ 0 ,∀η ∈ Y1 ,(4.25)z(t) = C(q)y(t) , ξ(t) ∈ φ(t, z(t), q) , y(0) = y0 ∈ Y0 .Предположимскоечтопространство.A(q) ∈ L(Y1 , Y−1 ),∈qПустьQ,дляB(q) ∈ L(Ξ, Y−1 ),гделюбого(Q, d)q∈(4.26)-метричеQимеемC(q) ∈ L(Y−1 , Z),φ(·, ·, q) : R+ × Z → 2Ξ ,(4.27)ψcont (·, q) : Y1 → R+ .(4.28)иПусть функции φ(·, q) и ψcont (·, q) для любого q ∈ Q удовлетворяют условиям, введённым выше для φ и ψcont .
Для любого q ∈ Q такжепредполагаем, что решение (4.25) – (4.28) существует по крайней мере навременном интервале [0, T0 ), и любое такое решение непрерывно зависимоот q.При условиях леммы 4.1 мы можем рассмотреть семейство пар Ляпунова {Φ(·, q), g(·, q)}, определяющихся посредством (4.26), через решениеP (q), зависимое от параметра, из неравенства диссипативности (4.20) и зависимое от параметра представление g , заданное с помощью (4.27). Для62фиксированных чисел 0 < α < β определим для любого q ∈ Q значениеT ∗ (q) := sup T ,(4.29)где супремум берётся для всех T > 0 таких, что t0 + T < T0 иZ tg(τ, q)dτ ≤min Φ(y, q) − max Φ(y, q)sy∈Y0 :kyk0 =β(4.30)y∈Y0 :kyk0 =αдля всех s, t ∈ R , t0 ≤ s ≤ t ≤ t0 + T.Ясно, что числа T ∗ (q) могут использоваться для прогнозированиязначения параметра qcr , для которого неравенство (4.25), (4.26) не является(α, β, t0 , T )-устойчивым для всех T ∈ (0, T0 − t0 ).Положим для простоты, что Q = R и T ∗ (q1 ) > 0, T ∗ (q2 ) > 0 два значения, вычисляемые через (4.29) для параметров q1 6= q2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
