Диссертация (1149720), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Weiss, E.F Infante. ([49]), потом это понятие было расширенодля разрывных систем, для которых нет условия единственности решения([41]). Также понятие устойчивости на конечном промежутке может рассматриваться как понятие практической устойчивости для динамическихсистем [5], [51]. Также в течение всей работы серьёзное внимание уделяетсяпонятию процесса.В первой главе работы описывается микроволновый нагрев в промышленности и в медицине.
Особое внимание уделяется медицинскому вопросу. Помимо этого, в первой главе формулируется начально-краевая задача микроволнового нагрева.Во второй главе вводится понятие процесса, впервые предложенноев работе C.M. Dafermos, [23], которое является частным случаем коцикла([27]). Процесс такого типа строится для задачи микроволнового нагревав одномерном и трёхмерном случаях. Для процесса, введённого для данного типа задач, вводится понятие устойчивости на конечном промежутке.Для него доказываются достаточные условия существования такой устойчивости.
Для задачи микроволнового нагрева в одномерном случае онивыводятся с помощью прямого вычисления условия устойчивости из определения, а также с помощью специальных варьируемых функций, в томчисле функционала Ляпунова. Для трёхмерного случая были также получены достаточные условия устойчивости с помощью функционала Ляпунова и "полярного разложения" ([24]), характерного для функций в специ-10альных функциональных пространствах.
В конце второй главы полученычисленные эксперименты на основании разностных схем, демонстрирующие устойчивость на конечном промежутке времени с учётом параметров,характерных для медицинской задачи нагрева.В третьей главе понятие процесса расширяется до многозначного процесса, где эволюционный оператор может определен неоднозначно([34]),так как в реальных задачах математической физики не всегда можно использовать глобальное существование и однозначность решения.
Этопонятие является обобщением понятия многозначных полугрупп, котороеприведено в работах [35], [16]. Для процессов такого типа вводятся понятия устойчивости и неустойчивости на конечном промежутке времени. Дляних выводятся условия существования устойчивости и неустойчивости спомощью специальных варьируемых функций, в том числе функционалаЛяпунова. В дальнейшем в этой главе в качестве примера рассматривается одномерная задача нагрева с условием дифференциального включения,которое рассматривается вместо уравнения теплопроводности, для которойвводится многозначный процесс.В четвёртой главе изучаются эволюционные вариационные неравенства. Для них вводится другое понятие процессов из теории управления,которое вводится в работах А.Л.
Лихтарникова, В.А. Якубовича ([9]). Спомощью частотных методов выводятся функционалы Ляпунова, которыеиспользуются для исследования устойчивости на конечном промежутке вариационных неравенств. Также в этой главе описываются функционалынаблюдения для класса вариационных уравнений с многозначной нелинейностью. В конце последней главы в качестве иллюстрации частотных ме-11тодов приводится задача нагрева стержня, для которой доказывается выполнение частотного условия.121.
Задача микроволнового нагрева1.1.Применение микроволнового нагреваМикроволны - это электромагнитные волны очень короткой длины ис соответствующей сверхвысокой частотой колебания в диапазоне от 3 · 108ГГц до 3 · 1011 ГГц. В взаимодействии с различными материалами они индуцируют микроволновый нагрев. Они и другие решения уравнения Максвелла описывают процесс микроволнового нагрева. Процесс микроволнового нагрева широко известен своими приложениями в промышленности,медицине и в других областях. Одна из важнейших задач микроволновогонагрева - это её медицинское применение, которое может быть характернодля рассматриваемых задач в данной работе. В этом случае нагрев тканейможет заменить хирургическую операцию по удалению раковой опухоли,которая может находиться в области щитовидной железы, в области лёгких и других органов человека.Одно из таких приложений - гипертермия, нагрев тканей опухоли микроволновым излучением.
Простейший способ такого применения - когда раковая опухоль находится близко к поверхности тела. В этом случае пациентпомещается в специальную установку, которая имеет до N = 24 источниковмикроволнового излучения ([36]), которые находятся вокруг тела пациентаи действуют на одинаковой частоте. На рис. 1.1 изображен вариант установки для лечения пациента с помощь процедуры микроволнового нагрева13Рис.
1.1. Устройство для микроволнового нагрева [28]Качество процедуры гипертермии измеряется с помошью температуры T90 , что означает температуру, которая достигается по крайней мере в90 процентах области опухоли. Гипертермия обычно подразумевает нагревтела пациента до температуры 41 − 45◦ C, длительность такой процедурыможет достигать 30-60 минут.Ещё одним важным применением микроволнового нагрева в медицине является процесс тепловой аблации ([30]). Отличие аблации от процесса гипертермии в первую очередь выражается в температуре нагрева и временивоздействия.
Температура нагрева для процесса аблации выше 55 − 60◦ C,воздействие происходит в короткие промежутки времени (от нескольких секунд до одной минуты). Цель тепловой аблации - уничтожение полностьюопухоли, уничтожение всех раковых клеток с минимальным повреждением окружающих здоровых клеток. Способ воздействия тепловой аблации- производить энергию в большом количестве (нагрева или заморозки) используя аппликатор наподобие иглы, помещённый непосредственно в область опухоли. Для эффективного воздействия процесса аблации необхо-14димо разрушить тонкий слой материала вокруг опухоли из-за неопределённости чёткой границы опухоли.Таким образом, с точки зрения математической модели, в обоих описанныхслучаях применения микроволнового нагрева в медицине можно считать,что область воздействия Ω и область раковой опухоли Ω0 приблизительносовпадают, и задача воздействия излучения (система Максвелла и уравнение теплопроводности) может быть рассмотрена только в области Ω.
Дляэтой микроволновой задачи нагрева существуют ряд параметров, которыехарактерны именно для неё: σ - электропроводность, µ - электрическаяпроницаемость, - магнитная проницаемость.Помимо медицинской задачи нагрева также в третьей главе рассматривается другой тип задачи нагрева (стержня), имеющий применения в промышленности.1.2.Начально-краевая задача микроволнового нагреваФизический процесс микроволнового нагрева может быть описан спомощью уравнений Максвелла, определяющих распространение микроволнового излучения, и уравнением теплопроводности, показывающим распространение тепла в материале.Пусть Ω – область в R3 .
Уравнения Максвелла будут рассмотрены вэтой области. Пусть J обозначает плотность тока, D – ток смещения, E –вектор напряженности электрического поля, B - вектор плотности магнитного потока, H – вектор напряженности магнитного поля. Скалярными величинами будут плотность электрического заряда q, электропроводность σ,электрическая проводимость , магнитная проводимость µ. Считаем, что15электропроводность, электрическая и магнитная проводимость зависят отпространственной переменной x ∈ Ω: µ = µ(x), = (x), σ = σ(x).Два главных уравнения электродинамики - это закон индукции ФарадеяBt + rotE = 0(1.1)Dt + J − rotH = F,(1.2)и закон Амперагде вектор-функция F считается заданной.Также к основным уравнениям Максвеллла можно отнести два других уравнения, одно из которых является определением плотности электрического заряда, , а второе выводится из (1.1)∇ · D = q,(1.3)∇ · B = 0.Вводятся дополнительные уравнения, зависящие от предположений освойcтвах среды - материальные уравнения.
Сюда входят пропорциональность полей и индукцийD = E, = (x),(1.4)B = µH, µ = µ(x),и закон ОмаJ = σE,(1.5)то есть электропроводность не зависит от величин, характеризующих электромагнитные явления.Введем обозначение QT = Ω × (0, T ], ST = ∂Ω × (0, T ]. Cчитаем, чтосвободный заряд q системы равен нулю, а также вектор-функция F равна16нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
