Диссертация (1149720), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Рассмотрим функционал Ляпунова (2.59). Для произ-34вольных функций (w, v, θ) ∈ Y имеем с учётом неравенств (2.58):Z 1Φ(w, v, θ) =(wx2 + 2λwv + v 2 + aθ2 )dx ≤Z 1Z 01(wx2 + w2 + λ2 v 2 + v 2 + aθ2 )dx ≤(2wx2 + (1 + λ2 )v 2 + aθ2 )dx ≤00max{2, 1 + λ2 , a}(kwx k2L2 (0,1) + kvk2L2 (0,1) + kθk2L2 (0,1) ).(2.62)Здесьkwk2L2 (0,1)былииспользованынеравенствоФридрихсаввиде≤ kwx k2L2 (0,1) для функции w ∈ H01 (0, 1) и неравенствоКоши-Буняковского.С другой стороны, для таких же функций (w, v, θ) ∈ Y имеемZ 1(wx2 + 2λwv + v 2 + aθ2 )dx ≥0Z 1Z 12λ 2λ2 222222(wx − w − v + v + aθ )dx ≥((1 − )wx + (1 − )v + aθ2 )dx ≥00λ2min{1 − , 1 − , a}(kwx k2L2 (0,1) + kvk2L2 (0,1) + kθk2L2 (0,1) ).(2.63)Теперь рассмотрим функционал Ляпунова на пространстве функций(w, v, θ) ∈ Z и для п.в.

t ∈ (0, T 0 ) продифференцируем по t этот функционал:ddtZ21Z(wx2 + 2λwv + v 2 + aθ2 )dx =01(2.64)(−wxx v + λv 2 + (λw + v)vt + aθθt )dx.0Здесь было использовано соотношениеR1R1R1wwdx=−wwdx=x xtxx t000 −wxx vdx, которое выполнено для функции w(x, t) с однородными нулевыми граничными условиями.Выразим vt и θt из (2.49) и (2.50), подставим в (2.64) и оценим инте-35грал для п.в. t ∈ (0, T 0 ):dΦ(y(t)) =dt1Z20(−wxx v + λv 2 + (λw + v)(wxx − σ(θ)v) + aθ(θxx + σ(θ)v 2 ))dx =Z 12(−λwx2 − λσ(θ)wv + (λ − σ(θ) + aσ(θ)θ)v 2 − aθx2 ))dx ≤01Z2011(−λ( σ(θ) − 1)wx2 + ( λσ(θ) + λ − σ(θ) + aσ(θ)θ)v 2 − aθ2 ))dx.22(2.65)C учётом предположения (A2.6), свойства (S) и соотношений (2.58)легко получить оценкуdΦ(y(t)) ≤ −c1 (kwx k2L2 (0,1) + kvk2L2 (0,1) + kθk2L2 (0,1) ),dt(2.66)для п.в.

t ∈ (0, T 0 ), где c1 = 2 min{a, −λ( 21 σ1 −1), −(λ( 21 σ1 +1)−σ0 +aσ1 κ)}.Отсюда можно показать, принимая во внимание (2.62), чтоddt Φ(y(t))≤ −cΦ(y(t)) для п.в. t ∈ (0, T 0 ), где параметр c определён в(2.61).Тогда, с учётом неравенства (2.63), введём на [0, T 0 ) функциюg(t) := − c min{1, a} inf(kwx (·, t)k2L2 (0,1) + kv(·, t)k2L2 (0,1) + kθ(·, t)k2L2 (0,1) ),(2.67)где инфимум берётся по всем (w(·, ·), v(·, ·), θ(·, ·)) ∈ Z таким, чтоα ≤ kw(·, t), v(·, t), θ(·, t)kY ≤ β, чтобы выполнялось условие (4.15).Ясно, что g(t) = −c min{1, a}α будет искомой функцией на [0, T 0 ).Оценимстваminy∈Y :kykY =β(4.16),слагаемыевучитываяправойвыражения2Φ(y) ≥ min{1−, 1− λ , a}β 2 ,maxy∈Y :kykY =αчасти(2.62)неравени(2.63):Φ(y) ≤ max{2, 1+λ2 , a}α2 .36Отсюда следует, что для выполнения соотношения (2.57) достаточно,чтобы выполнялись неравенстваλ2−c min{1, a}αT ≤ min{1 − , 1 − , a}β 2 − max{2, 1 + λ2 , a}α2 ,0(2.68)и0 ≤ min{1 − , 1 −λ2, a}β 2 − max{2, 1 + λ2 , a}α2 .(2.69)Из условий (2.58) следует, что неравенства (2.68), (2.69) верны.Таким образом, приводится теорема об устойчивости на конечномпромежутке времени, которая использует варьируемые функции в общемвиде.

Эта теорема является развитием теоремы 1 работы [32]. В отличие отэтой теоремы в данной работе варьируемые функции, в том числе функцияЛяпунова, приведены в явном виде.Полученные в данном разделе результаты могут быть легко распространены на случай общих граничных условий типа Дирихле для w. Соответствующие теоремы существования решения имеются, например, в работе [42], и получение аналогичных выводов об устойчивости на конечномпромежутке не представляет труда. Случай других граничных условий длятемпературы, например граничных условий типа Неймана, требует дополнительного анализа. Соответствующие теоремы существования решения вразных функциональных пространствах имеются в работе [52].372.4.ИспользованиефункцииЛяпуноваприисследованииустойчивости на конечном промежутке времени в трехмерной задаче индукционного нагреваПусть Ω ⊂ R3 - ограниченная область с гладкой границей Γ, котораяявляется открытой и односвязной.

Рассмотрим задачу нагрева, состоящуюиз системы Максвелла и уравнения теплопроводности в трехмерном случае:Et + σ(θ)E = ∇ × H,Ht + ∇ × E = 0,x ∈ Ω, t ∈ (0, T ),x ∈ Ω, t ∈ (0, T ),θt − 4θ = σ(θ)|E|2 ,x ∈ Ω, t ∈ (0, T ),ν × E(x, t) = 0, θ(x, t) = 0,x ∈ Γ, t ∈ (0, T ),x ∈ Ω,θ(x, 0) = θ0 (x),E(x, 0) = E0 (x), H(x, 0) = H0 (x), x ∈ Ω.(2.70)(2.71)(2.72)(2.73)(2.74)(2.75)Напомним некоторые стандартные функциональные пространства,которые будут использоваться для понятия слабого решения:3H(rot, Ω) = {v ∈ L2 (Ω) : ∇ × v ∈ L2 (Ω)3 },3H(div, Ω) = {v ∈ L2 (Ω) : div v ∈ L2 (Ω)},H0 (rot, Ω) = {v ∈ H(rot, Ω) : v × ν = 0 на Γ},H0 (div, Ω) = {v ∈ H(div, Ω) : v · ν = 0 на Γ},23H(div 0, Ω) = {v ∈ L (Ω) : div v = 0},3H(rot 0, Ω) = {v ∈ L2 (Ω) : rot v = 0 на Γ},H0 (div 0, Ω) = {v ∈ H(div 0, Ω) : div v = 0},H1 (Ω) = H(rot 0, Ω) ∩ H0 (div 0, Ω).(2.76)38Определениеназывается2.6.Тройкаслабымфункцийрешением(E(x, t), H(x, t), θ(x, t))задачи(2.70)-(2.75),еслиE, H ∈ L∞ (0, T ; L2 (Ω)3 ), θ ∈ Lr (0, T ; W01,r (Ω)) для некоторого r ∈ (1, 45 ), ивыполнены следующие соотношения:Z TZZ TZZ(−E ·Ψt +σE ·Ψ)dxdt =[H ·(∇×Ψ)]dxdt+ E0 (x)·Ψ(x, 0)dx,0Ω0ΩΩ(2.77)TZZZ(−H · Υt + E · (∇ × Υ))dxdt =0ZTΩZZTZ(−θηt +∇θ·∇ϕ)dxdt =0ΩдляH0 (x) · Υ(x, 0)dx,(2.78)Ω0всехтестовых(σ|E|2 η)dxdt+ZΩфункцийθ0 (x)η(x, 0)dx (2.79)ΩΨ, Υ∈H1 (0, T ; H(Ω))иη ∈ C0∞ ([0, T ] × Ω)) при условии, что Ψ(x, T ) = Υ(x, T ) = 0 и η(x, T ) = 0на Ω ([53]).Предположим, что следующие условия выполнены:(A2.7) E0 (x), H0 (x) ∈ L2 (Ω)3 ;(A2.8) a) θ0 (·) ∈ L2 (Ω), θ0 (·) ≥ 0.b) Cуществует σ1 > 0 такое, что 0 ≤ σ(θ) ≤ σ1 для всех θ ∈ (0, ∞);σ(θ) равномерно непрерывна по Липшицу для θ ∈ (0; ∞).В условиях (A2.7) и (A2.8) существует слабое решение системы (2.70)(2.75) в смысле определения 2.6 для произвольного фиксированного T > 0([53]).Для изучения устойчивости на конечном промежутке будем считатьдополнительно, что θ(·, t) ∈ L2 (Ω) для всех фиксированных t.Определим пространство Y = H0 (rot, Ω)×H(rot, Ω)∩H0 (div 0, Ω)×H01 (Ω)с нормойk(E, H, θ)k2Y = kEkL2 (Ω)3 + kHkL2 (Ω)3 + kθkL2 (Ω) ,(2.80)39где (E, H, θ) ∈ Y .

Рассмотрим функцию y(t) = y(t, t0 , y0 ) == (E(·, t), H(·, t), θ(·, t)) как решение задачи (2.70) − (2.75) с нормой(2.80), где вместо начального момента времени 0 рассматривается произвольное t0 ≥ 0, где (E(·, t), H(·, t), θ(·, t)) ∈ Y и удовлетворяют системе(2.70) − (2.75) в слабом смысле.Введём понятие устойчивости на конечном промежутке времени длязадачи (2.70) − (2.75), как это было сделано в предыдущем параграфе:Определение 2.7. Система (2.70) − (2.75) (α, β, t0 , T 0 , k·kY )-устойчива,где 0 < α ≤ β, t0 > 0, T 0 ≥ 0, [t0 , t0 + T 0 ) ⊂ (0, T ) - произвольные, если длякаждого решения y(t) из условия ky(t0 )kY < α следует, что ky(t)kY < βдля всех t ∈ [t0 , t0 + T 0 ).Теорема об устойчивости на конечном промежутке времени для системы (2.70) − (2.75) будет выглядеть так же, как теорема 2.5, но длясоответствующих пространств Y и Z.

В условиях задачи (2.70) − (2.75)Z := (L∞ (0, T ; L2 (Ω)3 ))2 × Lr (0, T ; W01,r (Ω)), r ∈ (1, 54 ), как указано в определении 2.6.Постараемся найти конкретный вид функционала Φ и функции g длязадачи нагрева, которые бы удовлетворяли всем условиям этой теоремы:Пусть для каждого фиксированного t ∈ (0, T ) E(t, ·) ∈ H0 (rot, Ω),H(t, ·) ∈ H(rot, Ω) ∩ H0 (div 0, Ω). Представим E и H в специальном виде - воспользуемся свойствами этих пространств. Запишем ортогональноеразложение H при фиксированном t ([24]):H = ∇q + h1 + ∇ × w,3где q ∈ H1 (Ω), h1 ∈ H(Ω), w(t, ·) ∈ H1 (Ω) ∩ H0 (rot, Ω) ∩ H(div 0, Ω).(2.81)40Из свойств пространства, в котором лежит H, получаем, что h1 = 0и ∇q = 0, значит H имеет видH = ∇ × w.(2.82)Запишем ортогональное разложение E при фиксированном t ([24]):E = −∇p + R,(2.83)где p ∈ H01 (Ω), R(t, ·) ∈ H(div 0, Ω).В дальнейшем, при использовании оценок (2.81) и (2.83) будем учитывать зависимость функций E и H и компонент их разложения также иот t, в соответствующих функциональных пространствах.Из уравнения (2.71), используя разложение E и H, получим:0 = Ht + ∇ × E = ∇ × wt + ∇ × (−∇p + R) = ∇ × (wt − ∇p + R).

(2.84)Так как w, R(t, ·) ∈ H(div 0, Ω) при фиксированном t, получимdiv(wt − ∇p + R) = div wt + div R = 0.(2.85)Из (2.84) и (2.85) следует, чтоwt − ∇p + R ∈ H(rot 0, Ω) ∩ H(div 0, Ω),(2.86)wt + ∇p + R ∈ H2 (Ω),(2.87)где H2 (Ω) = H(rot 0, Ω) ∩ H(div 0, Ω). Из (2.87) получаем окончательноеразложение для E при фиксированном t:E = −∇p − wt + h2 ,где h2 ∈ H2 .(2.88)41Рассмотрим в качестве Φ(y) следующий функционал ЛяпуноваZ1 1Φ(y(t)) = Φ(E, H, θ) =(|E|2 + |H|2 + aθ2 )dx,(2.89)2 0где (E, H, θ) ∈ Y , a - некоторая константа.Лемма 2.1. Пусть G(t) = Φ(y(t)) − δF (y(t)) сZF (y(t)) =E · wdx,(2.90)Ωопределенные в пространстве Y , при условии, что H = ∇ × w.

Тогдавыполняются следующие соотношения:ZZZd(i)F (y(t)) =|H|2 dx − |wt |2 dx − σ(θ)E · wdx;dtΩΩΩ1Φ(y(t)) ≤ G(y(t)) ≤ 2Φ(y(t)).2(ii)Доказательство. Чтобыдоказать(i),используемw(t, ·) ∈ H0 (rot, Ω) ∩ H(div, Ω), p ∈ H01 (Ω), h2 ∈ H2 (Ω):ZZdF (y(t)) = (E · wt dx + Et · w)dx =dtΩZZ Ω(−∇p − wt + h2 ) · wt dx + (∇ × H − σ(θ)(E · w))dx =ΩΩZZZ2− |wt | dx + (∇ × H) · wdx − σ(θ)(E · w)dx =ZΩZΩZΩ− |wt |2 dx + H · (∇ × w)dx − σ(θ)(E · w)dx =ΩΩZZ ΩZ− |wt |2 dx + |H|2 dx − σ(θ)(E · w)dx.ΩΩ(2.91)(2.92)(2.88),(2.93)ΩТак как w ∈ H(div 0, Ω) ∩ H0 (rot, Ω), то ∃c > 0 такое, что верноследущее неравенство:||w|| ≤ c||∇ × w|| = c||H||.(2.94)42Теперь можно показатьδ|G(y(t) − Φ(y(t))| = δ|F (y(t))| ≤ δ|E||w| ≤ (|E|2 + |w|2 ) ≤2ZZδ( λ|E|2 dx + c2 λ|H|2 dx) ≤ δc1 Φ(y(t),2λ ΩΩ(2.95)где λ > 0 и c1 = max{ λ1 , c2 λ}.Выбираем δ достаточно маленьким, чтобы было верно δc1 ≤ 12 .Верно неравенствоZZZd22G(y(t)) ≤ −c3 |E| dx − δc2 |H| dx − c0 α|θ|2 dx ≤ −c4 Φ(y(t).dtΩΩΩ(2.96)Следовательно, имеемc4dG(y(t) ≤ − G(y(t).dt2(2.97)Таким образом, получаем, что верно (ii).Теорема 2.7.

Рассмотрим функционал Ляпунова, определенный в (2.89),где (E, H, θ) ∈ Y , a - некоторая положительная константа, и варьируемую функциюcg(t) ≡ − α, t ∈ [0, T 0 )2(2.98)c := min{1, 2c2 , c3 }(2.99)гдеc c2 := 1 −1κ2 ,σ1c3 := −δ( 2κ+ 1), При этом κ > 0 и δ - такие параметры,что выполнены соотношения c2 > 0 и c3 > 0, α - параметр из определения 2.7. Тогда Φ(y) и g(t) удовлетворяют условиям теоремы 2.5 ct0 = 0, что обеспечит устойчивость на конечном промежутке временидля трехмерной задачи нагрева (2.70)-(2.75).43Доказательство. Рассмотрим функционал Ляпунова (2.89).

Характеристики

Список файлов диссертации