Диссертация (1149720), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Пусть cD - верхняя граница θ(x, t)для всех x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ), где θ(x, t) - решение системы (2.19)(2.21).Теорема 2.4. Рассмотрим задачу (2.14)-(2.16). Пусть выполнены условия (A2.1)-A(2.4) и следующее условие:(i)|N (t)| ≤ cN t ∈ (0, T ),(2.22)гдеN (t) :=Z tX20i=1[ξit + |ξitt |]dτ.(2.23)26Здесь ξit и ξitt понимаются в смыслеdξiξit =,dtξittd2 ξi= 2.dt(2.24)Тогда процесс (2.18) будет (α, β, 0, T, k · k)-устойчивым, если для известных параметров α > 0, t0 = 0, T > 0 параметр β может бытьопределен из следующего равенстваβ = max{β1 , β2 },(2.25)11}cN + 2cD max{σ1 , }c(f, T )+σ0σ0(2.26)гдеβ1 = 4cD max{σ1 ,cD α + 4cD (c(f, T ) + cD α)(cN + cD α)c(f, T ),rβ2 =где f (t) :=1}cN + c(δ)σ1 (cN + cD α)c(f, T ),σ0max{σ1 ,(2.27)P2i=1 |ξit |,RTc(f, T ) = e0f (τ )dτTZf (τ )e−Rτ0f (η)dηdτ.(2.28)0Доказательство.

Пустьy(·)-произвольноерешениезадачи(2.14)-(2.16). Оно порождает процесс (2.18). Допустим, он будет(α, β, 0, T, k · kY )-устойчивым для некоторых значений параметровα > 0, β > 0, t0 = 0, T > 0, y(·) можно рассматривать как движениепроцесса (2.18) D(·) = y(t0 , y0 ). Знаем, чтоky(0)kY < α.Это равносильно тому, чтоZ 1Z 12W0x (x)dx +W1t2 (x)dx < α200(2.29)(2.30)27и1Zθ02 (x)dx < α2 .(2.31)0Тогда из определения (α, β, t0 , T, k · k)-устойчивости должны выполнятьсяследующие неравенстваZ 1Wx2 (x)dx1ZWt2 (x)dx < β 2 ,+0(2.32)0и1Zθ2 (x)dx < β 2 .(2.33)0Умножим (2.14) на Wt и проинтегрируем:ZZ 1Z 11d 1 222[Wt + Wx ]dx +σ(θ)Wt dx =[−σ(θ)ξt + ξtt ]Wt dx ≤2 dt 000Z 1Z 1Z 11 222ξtt dx.2δσ(θ)Wt dx + c(δ)−σ(θ)ξt dx + c(δ)σ(θ)000(2.34)Последнее неравенство вытекает из неравенства Шварца.Выберем δ достаточно маленьким, чтобы выполнялосьZZ1d 1 21 12[Wt + Wx ]dx +σ(θ)Wt2 dx ≤2 dt 02 0ZZ 1c(δ) 1 22ξ dx ≤c(δ)σ(θ)ξt dx +σ0 0 tt0Z 1Z 1122max{1, }c(δ)( (ξt + ξtt )dx + c(δ)θξt2 dx).σ000(2.35)СледовательноZ1[Wt2+Wx2 ]dxZ tZ 1 012c(δ) max{1, }((ξt2 + ξtt2 )dxdτ +σ0 0 0Z tZ+Z tZ0011σ(θ)Wt2 dxdτ ≤0(2.36)θξt2 dxdτ ), t ∈ (0, T ).0Здесь и далее будем полагатьc(δ) = 1.(2.37)28Из формулы Грина для уравнения теплопроводности с однороднымиграничными условиями имеем, в силу принципа максимумаZ tZ 1Z 10 ≤ θ(x, t) ≤G(x, y; t, 0)θ0 (z)dz +G(x, y; t, τ )σ(θ)(Wt + ξt )2 dτ dz,000t ∈ [0, T ).(2.38)Знаем, что G(x, y; t, τ ) ≤ cD , для всех x, y ∈ (0, 1), t, τ ∈ [0, T ) из условия(A2.4).

Отсюда следует, чтоZ 1Z tZ 1θ(x, t)dx ≤ cD α + 2cDσ(θ)Wt2 dτ dz+0Z tZ 1 0 02cD σ1(1 + θ)ξt2 dzdτ ≤ cD α+00Z tZ 1Z tZ 1122θξt2 dτ dz.(ξt + ξtt )dzdt + 4cD σ12cD max{σ1 , }σ0 0 000Последнее неравенство вытекает изZ 1Z 1Z 1Z 11σ(θ)Wt2 dx ≤σ(θ)ξt2 dx +ξtt2 dx ≤σ(θ)ξt2 dx+σ(θ)000Z 1Z0 1Z 111ξ 2 dx ≤ max{σ1 , }(ξ 2 + ξtt2 )dx + σ1θξt2 dx.σ 0 0 ttσ0 0 t0(2.39)(2.40)Заметим, что|ξt (x, t)| ≤2X|ξit |,|ξtt (x, t)| ≤i=12X|ξitt |.(2.41)i=1Пусть1Zp(t) =Zθ(x, t)dx, t ∈ (0, T ),(2.42)f (τ )p(τ )dτ, t ∈ (0, T ).(2.43)0tP (t) =0Тогда из оценки для θ(x, t) получим1p(t) ≤ cD α + 2cD max{σ1 , }N (t) + 4cD σ1σ0Ztf (τ )p(τ )dτ, t ∈ (0, T ).

(2.44)029Оценим β сверху:β = 4cD max{σ1 ,11}cN + 2cD max{σ1 , }c(f, T )+σ0σ0(2.45)cD α + 4cD (c(f, T ) + cD α)cP (t) .Отсюда получаем верхнюю границу β в виде (2.26).R1RtR1С другой стороны, оценим 0 [Wt2 + Wx2 ]dx + 0 0 σ(θ)Wt2 dxdτ.Из оценки (2.36) имеемZ 1Z tZ 1[Wt2 + Wx2 ]dx +σ(θ)Wt2 dxdτ ≤00Z t Z 10Z tZ 1122max{σ1 , }(ξt + ξtt )dxdτ + c(δ)σ1θξt2 dxdτ ).σ0 0 000(2.46)Тогда положим для выполнения неравенства (2.32)1}cN + c(δ)σ1 cP (t) = β 2 .σ0(2.47)1}cN + c(δ)σ1 (cN + cD α)c(f, T ) = β 2 .σ0(2.48)max{σ1 ,Следовательно,max{σ1 ,Отсюда вытекает верхняя оценка β в виде (2.25).2.3.ИспользованиефункцииЛяпуноваприисследованииустойчивости на конечном промежутке времени в одномерной задаче нагреваВ данном параграфе рассматривается микроволновая задача нагреваоднородного материала в одномерном случае, которая может быть выведена из многомерного случая, как это сделано в предыдущей главе.

Понятиеустойчивости на конечном промежутке времени вводится в соответствии сопределением (4.5) с учетом текущей задачи.30Рассмотрим систему, состоящую из параболического и гиперболического уравнения, описывающую в одномерном случае уравнения Максвелла и теплопроводности:wtt − wxx + σ(θ)wt = 0,x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ),(2.49)θt − θxx = σ(θ)wt 2 ,x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ),(2.50)w(0, t) = 0, w(1, t) = 0,t ∈ (0, T ),(2.51)θ(0, t) = θ(1, t) = 0,t ∈ (0, T ),(2.52)θ(x, 0) = θ0 (x),x ∈ (0, 1),(2.53)w(x, 0) = w0 (x), wt (x, 0) = w1 (x),x ∈ (0, 1),(2.54)где θ - температура, w - интеграл по времени от ненулевой компонентыэлектрического поля, σ - электрическая проводимость, которая зависит оттемпературы, T > 0.Предположим, что следующие условия выполнены:(A2.5) Cкалярная функция σ удовлетворяет локальному условию Липшица на (0, +∞) и существуют константы σ0 и σ1 , такие что0 < σ0 ≤ σ(θ) ≤ σ1 на (0, +∞); .(A2.6) w0 , w1 ∈ L2 (0, 1), θ0 ∈ L∞ (0, 1), θ0 ≥ 0 п.в.

на (0, 1).В условиях (A2.5) и (A2.6) существует слабое решение системы (2.49)(2.54) в смысле интегральных тождеств для произвольного фиксированного T > 0 ([40]). Введём обозначение v(x, t) := wt (x, t). Тогда задача(2.49) − (2.54) имеет слабое решение (w(x, t), v(x, t), θ(x, t)) в пространствеZ := (C([0, T ]; L2 (0, 1)))2 × (L2 (0, T ; H1 (0, 1)) ∩ C([0, T ]; L2 (0, 1))) ([40]).31ОпределимнормированноепространствоY := H01 (0, 1) × L2 (0, 1) × L2 (0, 1) с нормойk(w, v, θ)k2Y = kwx k2L2 (0,1) + kvk2L2 (0,1) + kθk2L2 (0,1) ,где(w, v, θ)∈Y.Рассмотрим(2.55)функциюy(t) = y(t, t0 , y0 ) = (w(·, t), v(·, t), θ(·, t)) как решение задачи (2.49) − (2.54)в пространстве Y с нормой (2.55), где вместо начального момента времени0 берется произвольное 0 ≤ t0 < T такое, что y(t0 , t0 , y0 ) = (w0 , w1 , θ0 ), гдеw(·, t), v(·, t), θ(·, t) ∈ Y и удовлетворяет системе (2.49) − (2.54) в слабомсмысле.Введём понятие устойчивости на конечном промежутке времени длязадачи (2.49) − (2.54), аналогичное введенному выше:Определение 2.5.

Система (2.49) − (2.54) называется (α, β, t0 , T 0 , k·kY )устойчивой, где 0 < α ≤ β, t0 > 0, T 0 ≥ 0, [t0 , t0 + T 0 ) ⊂ (0, T )- произвольные числа, если для каждого решения y(t) этой системы изусловия ky(t0 )kY < α следует, что ky(t)kY < β для всех t ∈ [t0 , t0 + T 0 ).Замечание 2.3. Свойство устойчивости на конечном промежутке тесно связано с понятием области достижимости, которое изучается втеории управления ([20]). Однако, к начально-краевой задаче (2.49)−(2.54)общие теоремы характеризующие области достижимости, непосредственно не применимы.Сформулируем следующую теорему об устойчивости на конечномпромежутке времени для системы (2.49) − (2.54):Теорема 2.5.

Пусть J := [t0 , t0 + T 0 ) ⊂ (0, T ) - временной интервал,0 < α ≤ β - положительные числа, и существуют дифференцируемый32по Фреше функционал Φ : Y → R и интегрируемая функция g : J → Rтакие, что следующие условия выполнены:dΦ(y(t)) < g(t)dt(2.56)для п.в. t ∈ J, и произвольных функций y(·) ∈ Z, таких, чтоα ≤ ky(t)kY ≤ β;Ztg(τ )dτ ≤sminy∈Y :kykY =βΦ(y) −maxΦ(y)(2.57)y∈Y :kykY =αдля любых s, t ∈ J, s < t.Тогда задача (2.49) − (2.54) будет (α, β, t0 , T 0 , k · kY )-устойчива.Доказательство этой теоремы проводится аналогичным образом, какдоказательство теоремы 2.1. Определим ниже конкретный вид функционала Φ и функции g для задачи нагрева, которые удовлетворяют всемусловиям теоремы 2.5. При этом используем следуюший результат, который вытекает из доказательства теоремы 4.1 работы [40], который назовёмсвойством (S):(S) Для любых α > 0 и T 0 ∈ (0, T ) существует число 0 < κ == κ(α, T 0 ) < ∞ такое, что для любых решений (w(x, t), v(x, t), θ(x, t))системы (2.49) − (2.54) с начальными данными (w0 , w1 , θ0 ) приt0 = 0 из kw0 k2L2 (0,1) + kw1 k2L2 (0,1) + kθ0 k2L2 (0,1) ≤ α2 следует, чтоsupt∈[0,T 0 ] kθ(·, t)kL∞ (0,1) ≤ κ.Теорема 2.6.

Пусть существуют варьируемые параметры λ > 0, > 0,33a > 0, и параметры 0 < α ≤ β такие, что выполнены следующие условия:1σ1 − 1 < 0, λ2 < < 1,21λ( σ1 + 1) − σ0 + aσ1 κ < 0,20 < λ < 1,(2.58)λ20 ≤ min{1 − , 1 − , a}β 2 − max{2, 1 + λ2 , a}α2 ,где параметры σ0 и σ1 берутся из соотношения (A2.1), κ = κ(α, T 0 ) параметр, введённый в условии (S).

Рассмотрим функционал Ляпунова ввидеZΦ(y) = Φ(w, v, θ) =1(wx2 + 2λwv + v 2 + aθ2 )dx, y = (w, v, θ) ∈ Y, (2.59)0который можно трактовать для определенных параметров λ > 0, a > 0как суммарный "интеграл энергии" относительно системы Максвеллаи уравнения теплопроводности, и варьируемую функциюg(t) ≡ −c min{1, a}α, t ∈ [0, T 0 ),(2.60)где2 min{a, −λ( 12 σ1 − 1), −(λ( 21 σ1 + 1) − σ0 + aσ1 κ)}.c :=max{2, 1 + λ2 , a}(2.61)Тогда функционал Φ и функция g(t) из (2.59) и (2.60) удовлетворяютнеравенствам (2.56) и (2.57) относительно функций из Z с t0 = 0и 0 < α < β из (2.58). Следовательно, задача (2.49) − (2.54) будет(α, β, 0, T 0 , k·kY )-устойчива.Доказательство.

Характеристики

Список файлов диссертации