Диссертация (1149720), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Для нашей задачи уравнения Максвелла будут записываться в видеµHt + rotE = 0,(x, t) ∈ QTEt + σE = rotH,(x, t) ∈ QT .(1.6)Под действием микроволнового излучения возникает источник теплав материале. Он может быть описан с помощью закона Джоуля-Ленца:Локальная плотность внутреннего источника тепла в материале равнаq 0 = J · E - Джоулево тепло.
Из закона Ома следует, что J = σE. Отсюдаq 0 = σ|E|2 . Распространение тепла в материале описывается уравнениемтеплопроводностиθt − ∇ · (k(x, θ)∇θ) = σ(θ)|E|2 , (x, t) ∈ QT(1.7)где k(x, θ) – коэффициент теплопроводности.Здесь уже нужно рассматривать функцию электропроводности σ какфункцию от температуры, т.е. σ = σ(θ), для обеспечения обратной связиуравнения теплопродности с системой Максвелла.Введём для задачи граничные условияν × E(x, t) = ν × G(x, t),(x, t) ∈ ST ,θ(x, t) = 0,(x, t) ∈ ST .(1.8)где ν = ν(x) – внешняя нормаль к ∂Ω, x ∈ ∂Ω, а G(x, t) – заданная функция, и начальные условияE(x, 0) = E0 (x),H(x, 0) = H0 (x),θ(x, 0) = θ0 (x),x ∈ Ω,(1.9)где E0 (x), H0 (x), θ0 (x) - заданные функции. Сформулирована начальнокраевая задача микроволнового нагрева (1.6)-(1.9).В одномерном по пространству случае можно считать, что направление вектора электрического поля совпадает с направлением оси y, а магнитного поля – с направлением оси z.
Тогда электрическое и магнитное17поля являются функциями только координаты x и времени t:E(x, t) = (0, e(x, t), 0), H(x, t) = (0, 0, h(x, t)), (x, t) ∈ QT = (0, 1) × (0, T ],(1.10)где e(x, t), h(x, t) - скалярные функции. Тогда уравнения Максвелла можнопреобразовать следующим образом: ixiiyz∂∂∂ ,µHt + rotE = µHt + ∂x∂y∂z 0 e(x, t) 0 (1.11) ix iyiz∂∂∂.Et + σE = ∂x∂y∂z 0 0 h(x, t)(1.12)При проекции первого уравнения на ось z, а второго на ось y, получимследующие уравненияµht + ex = 0,(1.13)et + σe = hx .Полагая далее, что µ = = 1, cистема (1.13) может быть сведена кодному волновому уравнениюwtt − wxx + σ(θ)wt = 0.(1.14)Это делается путем заменыZw(x, t) =te(x, τ )dτ.0Уравнение теплопроводности принимает видθt − θxx = σ(θ)|wt |2 .(1.15)18Начальные и граничные условия имеют видw (0, t) = f1 (t), w (1, t) = f2 (t), t > 0,θ (0, t) = θ (1, t) = 0,(1.16)t > 0,где f1 , f2 - заданные измеримые функции,w (x, 0) = w0 (x) , wt (x, 0) = w1 (x) , 0 < x < 1,θ (x, 0) = θ0 (x) ,(1.17)0 < x < 1.где w0 , w1 и θ0 - заданные функции.Таким образом, введена начально-краевая задача (1.14) - (1.17) в одномерном случае (см.
[40]).В дальнейшем в работе будут использованы понятия слабого решениядля трехмерной и одномерной начально-краевой задачи нагрева в специальных функциональных пространствах (решение, которое удовлетворяетинтегральным тождествам, полученных из уравнений с помощью специальных тестовых функций и интегрирования по частям). Для этих решенийбудет введено понятие устойчивости на конечном промежутке времени иисследованы условия существования данного типа устойчивости.Замечание 1.1. На протяжении всей работы во всех функциональныхпространствах, в обозначении которых встречается символ H, он будетзаменён на H, чтобы отделить их от напряжённости магнитного поляH.192.
Устойчивость на конечном промежутке в задачемикроволнового нагреваВ этой главе вводится понятие процесса, исследуется вопрос устойчивости процесса на конечном промежутке времени для одномерной и трехмерной задачи нагрева. Вопрос устойчивости данного типа в одномернойзадаче нагрева исследуется с помощью прямых оценок норм решения, атакже вывода данного свойства, используя функции Ляпунова.2.1.Некоторые элементы теории процессовПусть (N , ρN ) - полное метрическое пространство. Введём понятиепроцесса на N аналогично тому, как это сделано в работах [23] и [34]:Определение 2.1. Отображение ψ : D → N называется процессом наN , где D = {(t, s, u)|(t, s, u) ∈ R+ × R × N }, если выполняются следующиесвойства:1. ψ 0 (s, ·) = IN - тождественное отображение на N для всех s ∈ R.002.ψ t+t (s, u) = ψ t (t0 + s, ψ t (s, u)) для всех (s, u) ∈ R × N , t, t0 ∈ R+ .Определение 2.2.
Пусть (ψ, (N , ρN )) - процесс. Зафиксируем (s, us ) точка в R × N . Однозначное отображениеD(s, us ) := {t ∈ R+ → u(t) ∈ N }20назовёмдвижениемψ,котороеначинаетсяв(s, us ),еслиu(t) = ψ t (s, u(s)) ∀t ∈ R и u(s) = us .Введём понятие устойчивости на конечном промежутке для процесса:Определение 2.3. Процесс (ψ, (N , ρN )) называется (α, β, t0 , T 0 , ρN , p)устойчивым, где 0 < α ≤ β, t0 > 0, T 0 ≥ 0 - произвольные числа, p ∈ N ,если из условия ρN (p, ψ 0 (s, us )) < α следует, что ρN (p, ψ t (s, us )) < β длявсех t ∈ [t0 , t0 + T 0 ), s, us ∈ R × N .Замечание 2.1.
Выбор точки p может быть обусловлен наличием стационарного движения ψ t (s, p) = p, ∀s, t ∈ R×R+ . В этом случае её можнопонимать как точку равновесия. Заметим, что в случае, когда N является банаховым пространством, нет необходимости использования такой точки для понятия устойчивости на конечном промежутке в такихпространствах.В случае, если N является банаховым пространством, вместо понятия (α, β, t0 , T 0 , ρN , p)-устойчивости можно использовать понятие(α, β, t0 , T 0 , k·kN )-устойчивости.Замечание 2.2. Понятие устойчивости на конечном промежутке ([49],[32]) является близким по отношению к понятию непрерывной зависимости от начальных данных, но не следует из него, а является в некотором смысле его расширением: в понятии непрерывной зависимости отначальных данных для любого > 0 существует δ() > 0, в нашем жеопределении параметры 0 < α ≤ β, а также t0 > 0, T 0 ≥ 0 заданы изначально.Вернемся к понятию процесса 2.1.21Определение 2.4.
Пусть (ψ, (N , ρN )) - процесс. ОтображениеΦ:R×N →Rназывается функционалом Ляпунова для этого процесса, если выполненыследующие условия:(i)Однопараметрическое семейство отображенийΦ(t, ·) : N → R, t ∈ Rнепрерывно;(ii) Для любых фиксированных t ∈ R и u ∈ NΦ̇(t, u) := lims→0+ sup 1s [Φ(t + s, ψ s (t, u)) − Φ(t, u)]Сформулируем следующую теорему:Теорема 2.1. Пусть (ψ, (N , ρN )) - процесс, J := [t0 , t0 + T 0 ) - временнойинтервал, 0 < α ≤ β, s > 0 - положительные числа, us ∈ N , p ∈ N , исуществуют функционал Ляпунова Φ : J × N → R в смысле определения2.4 и интегрируемая функция g : J → R такие, что следующие условиявыполнены:(i)Φ̇(t, u(t)) < g(t)(2.1)для t ∈ J, и произвольных отображений u(t) ∈ C(t0 , t0 + T 0 ; N ) таких,что α ≤ ρN (p, u(t)) ≤ β для любого t ∈ J;Ztg(τ )dτ ≤(ii)sminu∈N :ρN (p,u)=βΦ(t, u(t)) −maxΦ(s, u(s)) (2.2)u∈N :ρN (p,u)=αдля любых s, t ∈ J, s < t.Тогда процесс (ψ, (N , ρN )) будет (α, β, t0 , T 0 , ρN , p)-устойчивым.22Доказательство.
Пусть u(·) := D(s, us ) = {t ∈ J (s, us ) → u(t) ∈ N },s ∈ R, us ∈ N - произвольное движение процесса (ψ, (N , ρN )). Предположим, что существует минимальное t2 ∈ J такое, что ρN (p, u(t2 )) = β.Тогда существует также такое t1 , t0 < t1 < t2 , что ρN (p, u(t1 )) = α иρN (p, u(s)) > α для всех t1 < s ≤ t2 . Используя понятие производнойΦ, запишем следующие соотношения:Z t2ZΦ(t2 , u(t2 )) − Φ(t1 , u(t1 )) =Φ̇(t, u(t))dτ <t1t2g(τ )dτ.(2.3)t1Из (2.3) получаем, чтоZΦ(t2 , u(t2 )) <maxu∈N :ρN (p,u)=αt2Φ(t1 , u) +g(τ )dτ .(2.4)t1Соотношения (2.2) и (2.4) показывают, чтоΦ(t2 , u(t2 )) <maxu∈N :ρN (p,u)=αΦ(t1 , u) +maxu∈N :ρN (p,u)=αminu∈N :ρN (p,u)=βΦ(t1 , u) =Φ(t2 , u) −minu∈N :ρN (p,u)=βΦ(t2 , u).(2.5)Полученное противоречие (2.5) доказывает теорему.2.2.Изучение свойства устойчивости на конечном промежуткевремени в одномерной задаче нагрева с помощью прямыхоценок норм решенияРассмотрим начально-краевую задачуwtt − wxx + σ(θ)wt = 0, x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ),(2.6)θt − θxx = σ(θ)wt 2 , x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ),(2.7)w(0, t) = ξ1 (t), w(1, t) = ξ2 (t), t ∈ (0, T ),(2.8)23θ(0, t) = θ(1, t) = 0, t ∈ (0, T ),(2.9)θ(x, 0) = θ0 (x), x ∈ (0, 1),(2.10)w(x, 0) = w0 (x), wt (x, 0) = w1 (x), x ∈ (0, 1),(2.11)где θ(x, t) - температура, w(x, t) - вспомогательная переменная в точке(x, t) ∈ (0, 1) × (0, T ), описывающая действие электрического и магнитного полей, σ = σ(θ) - диэлектрическая проницаемость, которая зависит оттемпературы, ξ1 (t), ξ2 (t) - заданные функции.Система (2.6)-(2.11) получена из уравнений Максвелла и теплопроводностив одномерном случае (см.
1 главу (1.14) - (1.17)).Предположим, что следующие условия выполнены:(A2.1) Существуютконстанты0 < σ0 ≤ σ(θ) ≤ σ1 (1 + θ),σ0иσ1 ,такиечто∀θ > 0;(A2.2) σ удовлетворяет локальному условию Липшица на (0, +∞),(A2.3) ξ1 , ξ2 ∈ C 2 (0, T ),wt (x, 0), θ0 (x) ∈ L2 (0, 1).ξ1 (0) = 0, ξ2 (0) = 0,Приведем теорему существования слабого решения в одномерном случае.
Обозначим v := wt .Теоремание2.2. ([40])Существует(w(x, t), v(x, t), θ(x, t))задачиглобальноеслабоереше-(2.6)-(2.11);крометого,w, v ∈ C([0, T ]; L2 (0, 1)); θ ∈ L2 (0, T ; H1 (0, 1)).Приведем задачу (2.6)-(2.11) к задаче с однородными краевыми условиями. Положимξ(x, t) := ξ1 (t)(1 − x) + ξ2 (t)x(2.12)24и сделаем замену переменныхW (x, t) := w(x, t) − ξ(x, t), V (x, t) := Wt (x, t).(2.13)Получим системуWtt − Wxx + σ(θ)Wt = −ξtt − σ(θ)ξt , x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ),2θt − θxx = σ(θ)(Wt + ξt ) ,(2.14)x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ),с начально-краевыми условиямиW (0, t) = W (1, t) = 0,θ (0, t) = θ (1, t) = 0,W (x, 0) = W0 (x) := w0 (x) − ξ(x, 0),t ∈ (0, T ),x ∈ (0, 1),Wt (x, 0) = W1 (x) := w1 (x) − ξt (x, 0), x ∈ (0, 1),θ (x, 0) = θ0 (x) ,(2.15)(2.16)x ∈ (0, 1).Определим пространство Y = H01 (0, 1) × L2 (0, 1) × L1 (0, 1) с нормойk(w, v, θ)k2Y = max{kwx k2L2 (0,1) + kvk2L2 (0,1) , kθk2L1 (0,1) }.Определим функцию y(t, t0 , y0 ) = (W (·, t), V (·, t), θ(·, t)) как решение задачи (2.14) − (2.16) с нормойk(w, v, θ)k2Y = max{kwx k2L2 (0,1) + kvk2L2 (0,1) , kθk2L1 (0,1) },(2.17)где W (·, t), V (·, t), θ(·, t) удовлетворяют условиям (2.14)−(2.16).
Также обозначим y(t0 ) = y(t0 , t0 , y0 ) = (W (t0 ), V (t0 ), θ(t0 )) = (W0 , W1 , θ0 ).Введём многозначный процесс для задачи (2.14)-(2.16). Будем считатьN =Y.В нашем случаеψ t (s, u0 ) = {y(t + s, s, y0 )|y(t + s, s, y0 ) ∈ D(s, y0 )}, t ∈ (s, T ), s ∈ (0, T ),(2.18)25где y(t, s, y0 ) = (w(·, t), v(·, t), θ(·, t)) - решение задачи (2.14)-(2.16), такоечто y(s, s, y0 ) = y0 = (W0 , W1 , θ0 ) .
Тогда можно сформулировать следующую теорему:Теорема 2.3. Задача (2.14)-(2.16) порождает процесс (ψ, (N , ρN ))(2.18).Доказательство теоремы для процессов проводится аналогично тому,как это сделано для коцикла в работе ([27]).Тогда понятие устойчивости на конечном промежутке процесса (2.18)можно использовать для задачи (2.14)-(2.16).Введём следующее условие:(A2.4) Рассмотрим уравнение теплопроводности с однородными краевымиусловиями типа Дирихле:θt − θxx = 0,x ∈ (0, 1),θ (x, 0) = θ0 (x) ,θ (0, t) = θ (1, t) = 0,t ∈ (0, T ),x ∈ (0, 1),t ∈ (0, T ),(2.19)(2.20)(2.21)где θ0 (·) ≥ 0 - заданная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
