Диссертация (1149720)
Текст из файла
Санкт-Петербургский государственный университетНа правах рукописиСкопинов Сергей НиколаевичМЕТОД ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА ДЛЯ АНАЛИЗАУСТОЙЧИВОСТИ НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕВРЕМЕНИ ПРОЦЕССОВ НАГРЕВА С УЧЁТОМ ИХМНОГОЗНАЧНОСТИ01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамическиесистемы и оптимальное управлениеДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор Райтманн Ф.Санкт-Петербург — 20182ОглавлениеВведение1 Задача микроволнового нагрева4121.1 Применение микроволнового нагрева . . . .
. . . . . . . . .121.2 Начально-краевая задача микроволнового нагрева . . . . . .142 Устойчивость на конечном промежутке в задаче микроволнового нагрева192.1 Некоторые элементы теории процессов . . . . . . . . . . . .192.2 Изучение свойства устойчивости на конечном промежуткевремени в одномерной задаче нагрева с помощью прямыхоценок норм решения . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .222.3 Использование функции Ляпунова при исследовании устойчивости на конечном промежутке времени в одномерной задаче нагрева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292.4 Использование функции Ляпунова при исследовании устойчивости на конечном промежутке времени в трехмерной задаче индукционного нагрева .
. . . . . . . . . . . . . . . . .372.5 Численное определение решения для задачи микроволновогонагрева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Устойчивость на конечном промежутке времени для мно-433гозначных процессов473.1 Понятие локальных многозначных процессов . . . . . . . . .473.2 Устойчивость на конечном промежутке времени локальныхмногозначных процессов . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .483.3 Существование локальных многозначных процессов в задаченагрева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .524 Устойчивость на конечном промежутке времени вариационных неравенств544.1 Эволюционные вариационные неравенства . . . . . . . . . .544.2 Частотные условия устойчивости на конечном интервале .
.574.3 Прогнозирование потери (α, β, t0 , T )-устойчивости . . . . .614.4 Эволюционные вариационные неравенства с нелинейностямитипа гистерезиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.163Пример задачи нагрева стержня с управлением награнице . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .704.5 Эволюционные вариационные неравенства с нелинейностямитипа гистерезиса и операторами выхода . . . . . . . . . . . .73Заключение80Литература824ВведениеАктуальность темы. Описание устойчивости на конечном промежутке времени задачи микроволнового нагрева играет существенную рольдля наблюдения за процессом этого нагрева и управления им для обеспечения необходимой температуры. Микроволновый нагрев широко применяется для приготовления пищи, в промышленности и других областях. Однаиз других важнейших задач микроволнового нагрева - это её медицинскоеприменение, которое характерно для рассматриваемых задач в данной работе.
В этом случае нагрев тканей в области опухоли и, вследствие этого, уничтожение злокачественных клеток, может заменить хирургическуюоперацию по удалению раковой опухоли, которая может находиться в области щитовидной железы, в области лёгких и других органов человека.Актуальность темы подтверждается также тем, что она входила в число исследований, поддержанных Немецко-Российским научным центром(G-RISC). Диссертант проходил стажировку в Германии в течение месяца (Freie Universitaet Berlin, июнь 2011г.).Разработанность темы.
Наличие устойчивости на конечном промежутке времени задачи микроволнового нагрева - важное свойство, характеризующее поведение её решения. Оно является близким по отношениюк понятию непрерывной зависимости от начальных данных, но не следуетиз него, так как не предполагает непрерывность решения задачи. В отличие от устойчивости на бесконечном промежутке времени в рамках тео-5рии Ляпунова здесь используется свойство, которое не следует из условияустойчивости на бесконечном промежутке времени. В отечественной литературе понятия устойчивости на конечном промежутке появляются приизучении свойств механики (Г.В. Каменков [6], Н.Х. Арутюнян и др.
[1]).Вопрос устойчивости на конечном промежутке в современной трактовкебыл рассмотрен для обыкновенных дифференциальных уравнений в работах L. Weiss, E.F. Infante ([6]) и др., затем это понятие было расширенодля разрывных систем, для которых нет условия единственности решения(А.В. Капустян и др. [34]).Цель работы. Основной целью работы является исследование устойчивости на конечном промежутке времени для задачи микроволнового нагрева. Другими задачами, рассматриваемыми в данной работе, являютсяиспользование теории процессов для различных задач нагрева для изучения устойчивости на конечном промежутке времени, рассмотрение этихсвойств для вариационных неравенств и проведение численных экспериментов для демонстрации устойчивости такого вида.Методы исследования.
В диссертации использованы следующиеметоды исследования:- построение функционалов Ляпунова в виде квадратичных форм в различных функциональных пространствах,- построение функционалов Ляпунова с помощью частотных методов в бесконечномерных гильбертовых пространствах,- определение классов процессов с помощью решения задач нагрева,- рассмотрение и анализ устойчивости на конечном промежутке временидля задач с гистерезисной нелинейностью в виде вариационного неравен-6ства,- численное моделирование задачи нагрева конечно-разностным методом вMatLab.Результаты, выносимые на защиту.- Получены достаточные условия устойчивости на конечном промежуткевремени в одномерной задаче нагрева с помощью оценки решений в разныхнормах функциональных пространств и с помощью функционалов Ляпунова.- Доказаны достаточные условия устойчивости на конечном промежуткевремени для трехмерной задаче нагрева.- Приведены достаточные условия устойчивости на конечном промежуткевремени для вариационных неравенств, описывающих эволюционные системы с нелинейностями типа гистерезиса.- Проведены численные эксперименты для одномерной задачи нагрева, иллюстрирующие свойство устойчивости на конечном промежутке времени.Достоверность результатов.
Все полученные аналитические результаты математически строго доказаны. Они совпадают с известнымирезультатами для устойчивости на конечном промежутке времени в случае обыкновенных дифференциальных уравнений. Если процесс являетсядинамической системой, результаты совпадают с аналогичными из теориидинамических систем.
Численное моделирование подтверждает правильность теоретических выводов для одномерной задачи микроволнового нагрева.Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми, в частности впервые рассмотрена устойчивость на конечном7промежутке времени решений задачи нагрева, используя при этом элементы теории процессов.Теоретическая и практическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Введенные элементы теории процессов могут быть использованы для исследования различных систем, описывающих прикладные задачи.Полученные результаты для задачи микроволнового нагрева представляюттеоретический интерес для изучения других задач нагрева, в частности, индукционного нагрева, который протекает при более высоких температурах.Ценность полученных результатов по устойчивости на конечном промежутке времени усиливается связью данной темы с практикой.
Приведенные вдиссертации результаты могут быть использованы при практическом использовании процесса и микроволнового нагрева тканей биоматериала сцелью предсказания температурного профиля и управления процессом нагрева.Апробация работы. Результаты данной работы докладывались намеждународных конференциях "The 9th AIMS Conference on DynamicalSystems, Differential Equations and Applications" (Орландо, Флорида, США,2012), "The 8th International Conference of Differential and FunctionalDifferential Equations" (Москва, 2017), "Science and Progress" в рамках научного центра G-RISC (Санкт-Петербург, 2010, 2011, 2015) и на семинарахкафедры прикладной кибернетики Санкт-Петербургского государственного университета (2010-2014). Кроме того, диссертантом были сделаны двадоклада в рамках стажировки в Свободном университете Берлина (FreieUniversitaet Berlin) на семинарах группы профессора Б.
Фидлера (Герма-8ния, Берлин, 2011).Публикации. Основные результаты работы опубликованы в пятипечатных работах, в том числе в трех статьях. Статьи [13], [32], [31] опубликованы в рецензируемых научных журналах и изданиях, рецензируемыхсистемой Scopus.В работе [13] соавтору принадлежит постановка задачи об устойчивостина конечном промежутке времени в одномерной задаче микроволновогонагрева, все результаты получены диссертантом самостоятельно. В работе [31] соавторам принадлежит постановка задачи и результаты по теориифункционалов наблюдения. Результаты по ассимптотическому поведениюрешения принадлежат диссертанту. В работе [32] соавторам принадлежатпостановка задач и исследование устойчивости с использованием символовоператоров.
Все результаты по устойчивости вариационных неравенствапринадлежат диссертанту.Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы (всего 15 разделов),заключения, списка литературы, включающего 40 наименований. Работаизложена на 88 страницах машинописного текста и содержит 4 рисунка.Центральным понятием в работе является понятие устойчивости наконечном промежутке времени. Оно является близким по отношению к понятию непрерывной зависимости от начальных данных, но не следует изнего, так как не предполагает непрерывность решения задачи.
В отличиеот устойчивости на бесконечном промежутке в рамках теории Ляпуноваздесь используется несколько другое понятие. В отечественной литературепонятия устойчивости на конечном промежутке появляются при изучении9вопросов механики вязко-упругих пластических тел: Н.Г. Четаев [15], Г.В.Каменков [6], [1]. Вопрос устойчивости на конечном промежутке в современной трактовке был рассмотрен для обыкновенных дифференциальныхуравнений L.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
