Диссертация (1149642), страница 20
Текст из файла (страница 20)
При решении задач гашения колебаний граничные условия в начале движения равнынулю (см. значеня в (2) при τ = 0), поэтому особенно удобно отыскивать частное решениесистемы дифференциальных уравнений (1) в виде интегралов Дюамеля:∫ τx0 (τ ) =u(τ1 )(τ − τ1 ) dτ1 ,0∫ τ1xσ (τ ) =u(τ1 ) sin ωσ (τ − τ1 ) dτ1 , σ = 1, s .ωσ 0(4)8. Неизвестные коэффициенты Ck в управлении (3) находим из решения линейной неоднородной алгебраической системы, получающейся после подстановки в граничные условия(2) при τ = T интегралов Дюамеля (4), в которых управление u(τ ) заменено выражением(3).Замечание. Для облегчения вычислений вместо формулы (3) полезно отыскивать управлениев виде полинома, записанного в виде:u(τ ) =2s∑Ek τ k (T − τ ) .(5)k=1Отыскание коэффициетов Ek значительно легче, чем нахождение множителей Ck .9. После определения управления u(τ ) закон изменения главных безразмерных координатнаходим с помощью интегралов Дюамеля (4).10.
Используя формулы перехода, можно найти закон изменения размерных координатx(t), xσ (t), σ = 1, s, и размерной управляющей силы F (t).Дополнительные возможности использования теории движениянеголономных систем со связями высокого порядкадля решения поставленной задачи теории управления.9811. При необходимости получать управление u(τ ) без скачков в начале и в конце движения при кратковременном времени движения можно поставить расширенную краевую задачу, потребовав дополнительно обращения в нули безразмерного ускорения x′′0 (τ ) при τ = 0 иτ = T:x′′0 (0) = 0 ,x′′0 (T ) = 0 .(6)Сформулированную расширенную краевую задачу можно назвать расширенной краевой задачей первого порядка.
Ее решение обозначим как u1 (τ ).12. Аналогично можно еще более расширить задачу и назвать ее расширенной краевойзадачей второго порядка, в которой дополнительно требуется выполнение следующих граничных условий:x′′′0 (0) = 0 ,x′′′0 (T ) = 0 .(7)Решение расширенной краевой задачей второго порядка удобно обозначить через u2 (τ ).13. При решении расширенных краевыз задач возникают особые точки. Избежать ихпоявления можно, отыскивая управление в видеu(τ ) = u1 (τ ) + µ(u2 (τ ) − u1 (τ )) .(8)Значение коэффициента µ находится из условия минимальности интеграла от квадратафункции u(τ ) за время перемещения T .14.
Управление без особых точек можно получить и другим способом. Для этого вместо обобщенного принципа Гаусса следует применить обобщенный принцип Гамильтона–Остроградского [25]. Тогда управление будет строиться с помощью базисных функций. Ив этом случае оно окажется полиномом по времени, но порядок полинома будет равен 4s + 3.99З А К Л Ю Ч Е НИ ЕВ представленной работе дается законченное изложение решения одной из центральныхзадач теории управления об отыскании оптимальной управляющей силы, переводящей механическую систему за фиксированный промежуток времени из одного фазового состоянияв другое. Управляющую силу предлагается отыскивать с помощью применения обобщенного принципа Гаусса.
Результат демонстрируется решением модельной задачи о гашенииколебаний горизонтально движущейся тележки, несущей s осей математических маятников.Обобщенный принцип Гаусса является одним из основных вариационных принципов теории движения неголономных систем со связями высокого порядка. Эта терия была построена С.А. Зегждой, Ш.Х.
Солтахановым и М.П. Юшковым. Для ее объяснения первоначальнов главе I дается изложение основных вопросов теории классических неголономных систем,когда на движение механической системы наложены связи до неголономной идеальной линейной связи второго порядка. В этом случае удается найти реакции связей как функциивремени, обобщенных координат и скоростей. В основу изложения главы I положен материал учебника [58] и монографии [28].
В главе II теория движения классических неголономных систем естественным образом расширяется для построения двух теорий движения неголономных систем со связями высокого порядка. Дается изложение этой теории, созданнойС.А. Зегждой, Ш.Х. Солтахановым и М.П. Юшковым. Для изложения теории и примеров ееприменения использованы научные работы авторов теории и материал монографии [28].Глава III посвящена законченному изложению применения теории движения неголономных систем со связями высокого порядка для решения сформулированной выше одной изосновных задач теории управления. Для этого использована обработка материаов научныхстатей С.А.
Зегжды, Ш.Х. Солтаханова, М.П. Юшкова и их учеников. Показано, что в случае применения для решения задачи принципа максисмума Понтрягина для минимизациифункционала от квадрата управляющей силы в процессе движения непрерывно выполняется неголономная связь высокого порядка 2s + 2. Поэтому естественно было предложитьвместо принципа максимума Понтрягина для решения той же задачи управления использовать обобщенный принцип Гаусса, свойственный изложенной в главе II теории.
В результатеуправляющую силу удается обоснованно отыскивать в виде полинома, что приводит к болееплавному движению системы по сравнению с движением, полученным с помощью принципамаксимума Понтрягина. Кроме того, с помощью формулирования и решения расширеннойкраевой задачи удается с помощью применения обобщенного принципа Гаусса более высокого порядка строить управляющую силу без скачков в начале и в конце движения.
Подобныескачки свойственны решению, полученному с помощью принципа максимума Понтрягина.В главе IV диссертантом разработаны некоторые дальнейшие пути развития приложенияобобщенного принципа Гаусса для решения поставленной задачи теории управления. Предложено построение решения, не содержащего особых точек, появляющихся при рассмотрениирасширенных краевых задач.
Был развит метод отыскания управляющей силы через пред100варительное нахождение оптимального ускорения основного тела системы. Этим способомбыла решена задача о гашении колебаний тележки с двойным маятником.Р е з у л ь т а т ы, в ы н о с и м ы е н а з а щ и т у1. Критический обзор теории движения неголономных систем со связями высокого порядка применительно к одной из важнейших задач теории управления.2. Построение решения задачи без особых точек.3. Новый подход к решению задачи, состоящий в предварительном отыскании оптимального ускорения основного тела механической системы, по которому вычисляется управляющая сила.4. Гашение колебаний тележки с двойным маятником.101ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНО ВОПУБЛИКОВАННЫХ НАУЧНЫХ РАБОТАХ АВТОРАВ журнале, рекомендованном ВАК’ом:[1] Шатров Е.А.
Использование главных координат в задаче о гашении колебаний тележки сдвумя маятниками // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2014. Вып. 4. С. 619–623.[2] Зегжда С.А., Шатров Е.А., Юшков М.П. Новый подход к нахождению управления,переводящего систему из одного фазового состояния в другое // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1.2016. Вып. 2. С. 286–295.[3] Зегжда С.А., Шатров Е.А., Юшков М.П.
Гашение колебаний тележки с двойным маятником с помощью управления ее ускорением // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2016. Вып. 4. (Впечати)В научных работах:[4] Шатров Е.А. Применение псевдоглавных координат при исследовании гашения колебаниймеханических систем // Междунар. научн. конференция по механике "Шестые Поляховские чтения" . 31 января – 3 февраля 2012 г.
С.-Петерб., Россия. Тезисы докладов. СПб: ООО "Пантон" . 2012.С. 76.[5] Шатров Е.А. Новый подход к решению задачи о гашении колебаний тележки с маятниками // Междунар. научн. конференция по механике "Седьмые Поляховские чтения" . 2 февраля –6 февраля 2015 г. С.-Петерб., Россия. Тезисы докладов. СПб: ООО "Пантон" . 2015.
С. 47.[6] Зегжда С.А., Шатров Е.А. Эффективность гашения колебаний тележки с маятникамина основе определения ее ускорения // "XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемамтеоретической и прикладной механики" . 20 августа – 24 августа 2015 г. Казань, Россия. Аннотациидокладов. Казань: ООИ "Арманд" . 2015. С. 112.[7] Zegzhda S.A., Shatrov E.A. A new approach to the problem of suppression of oscillations of atrolley with a double pendulum // 12. Magdeburger Maschinenbau-Tage. Magdeburg, 30. September und01.
Oktober 2015. CD. Paper P-03.[8] Зегжда С.А., Юшков М.П., Наумова Н.В., Солтаханов Ш.Х., Шатров Е.А. Использование принципа максимума Понтрягина и обобщенного принципа Гаусса в задачах гашенияколебаний // ХIII международная конференция "Устойчивость и колебания нелинейных системуправления (Конференция Пятницкого)" .
1 июня – 3 июня 2016 г. Москва, Россия. Тезисы докладов. Москва: Ин-т проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. 2016.В совместных работах С.А. Зегжде, Ш.Х. Солтаханову, М.П. Юшкову принадлежат постановки задач и научное консультирование Е.А. Шатрова при его выполнении научных исследований; в работе [8] Н.В. Наумова проводила численные расчеты, связанные с использованием принципа максимума Понтрягина, а научное исследование и численные расчеты,связанные с применением обобщенного принципа Гаусса, проводил Е.А.
Шатров.102Список литературы[1] Аппель П. Теоретическая механика. М.: Физматгиз. Т. I. 1960. 516 с.; Т. II. 1960. 488 с.[2] Аpнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука. 1974. 432 с.[3] Аpнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической инебесной механики // Итоги науки и техники. Сеp. Совpеменные пpоблемы математики.Фундаментальные напpавления. Динамические системы. М.: ВИНИТИ. 1985. Т. 3. 304 с.[4] Беген А. Теоpия гиpоскопических компасов Аншютца и Спеppи и общая теоpия системс сеpвосвязями.
М. 1967. 171 с.[5] Беллман Р. Динамическое програмирование. М.: Изд-во иностр. лит. 1960. 400 с.[6] Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В. Теоретическая механика.М.: Издат. центр "Академия". 2010. 430 с.[7] Бутенин Н.В., Фуфаев Н.А. Введение в аналитическую механику. М.: Наука. 1991. 256 с.[8] Вагнер В.В. Геометрическая интерпретация движения неголономных механических систем // Тр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
