Диссертация (1149642), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Рисунки IV.4.3–IV.4.5 соответствуют параметрам системыl21= ,l14m21= ,m18m1= ,m12K = 1.54 ,a=l1,5а для рисунка IV.4.6 принято1m2=.m164Расчеты, как и следовало ожидать, показали, что чем больше масса тележки по отношению к массе маятников, тем ближе результаты, полученные по первому и по второму подходу.Поэтому полагалось, что масса тележки в два раза меньше массы первого основного маятника. Длина же второго маятника и его масса по отношению к первому принимались меньшими92соответственно в четыре и в восемь раз.

Перемещение тележки равно 0.2 l1 , где l1 — длинаосновного маятника. Видим, что применение нового подхода дает уменьшение колебаний маятников и по амплитуде, и по частоте. Из сравнения рисунков IV.4.3 и IV.4.1 следует, что приновом подходе добавление второго маятника незначительно повлияло на управляющую силу,в то время как при обычном подходе она существенно изменилась. Интересным является иследующий результат: пусть в задаче с двумя маятниками масса второго меньше первого нев восемь, а в шестьдесят четыре раза. Сравнивая рисунки IV.4.6 и IV.4.3, видим, что приновом подходе такое существенное уменьшение массы второго маятника мало повлияло науправляющую силу, в то время как при обычном подходе она изменилась заметно.§ 5. Гашение колебаний тележки с двойным маятником с помощьюуправления ее ускорениемПостановка задачи и размерные уравнения движения.

Рассмотрим горизонтальное движение вдоль оси x тележки массы m. К тележке прикреплена ось двойного маятникас длинами lσ и массами mσ , σ = 1, 2 (см. рис. IV.5.1). Требуется сформировать такую оптимальную горизонтальную силу F , приложенную к тележке, которая в заданное время Teпереместит тележку на расстояние S, причем вся механическая система должна перейти изпервоначального состояния покоя в новое состояние равновесия.Рис.

IV.5.1. Движение тележки с двойным маятникомОбозначим углы отклонений маятников от вертикали через φ1 и φ2 . Тогда при малыхколебаниях уравнения Лагранжа второго рода запишутся следующим образом:(m1 + m2 + m) ẍ − (m1 + m2 ) l1 φ̈1 − m2 l2 φ̈2 = F ,m1 l1 (l1 φ̈1 − ẍ) + m2 l1 (l1 φ̈1 + l2 φ̈2 − ẍ) = −(m1 + m2 ) gl1 φ1 ,(5.1)m2 l2 (l2 φ̈2 + l1 φ̈1 − ẍ) = −m2 l2 gφ2 .Из второго и третьего уравнений системы (5.1) следует, что определение силы F , при которой осуществляется переход системы из состояния покоя в новое состояние покоя, сводится93к определению ускорения тележки, так как затем, используя первое уравнение, можно определить и силу F .

Ниже покажем, что задача об определении ускорения тележки с двойныммаятником сводится к задаче об определении ускорения тележки с двумя независимыми математическими маятниками. Осуществляется этот переход на основе определения собственных форм и собственных частот колебаний двойного маятника.Определение собственных частот и собственных форм колебаний двойного маятника. Введем обозначенияM = m1 + m2 + m ,k2 =g,l1а также безразмерное перемещение тележкиx̄ =x.l1Тогда второе и третье уравнения системы (5.1) перепишутся в видеφ̈1 + αβ φ̈2 + k2 φ1 = x̄¨ ,(5.2)φ̈1 + αφ̈2 + k2 φ2 = x̄¨ .Здесь α и β таковы:l2m2, β=.l1m1 + m2Определим собственные частоты и собственные формы колебаний двойного маятника.α=Решение однородной системы, соответствующей системе неоднородных дифференциальныхуравнений (5.2), будем искать в видеφσ = Bσ sin(Ωt + δ) ,σ = 1, 2 ,где Ω — искомая размерная собственная частота.

Теперь для определения постоянных B1 иB2 получим систему(1 − λ2 ) B1 − αβλ2 B2 = 0 ,−λ2 B1 + (1 − αλ2 ) B2 = 0 ,Ω2.k2Приравнивая нулю определитель этой системы, находим собственные частоты механическойλ2 =системы:Ω2ν=λ2ν k2,λ2ν=1+α∓√α2 − 2α + 4αβ + 1,2(α − αβ)ν = 1, 2 .Постоянные Bσ , σ = 1, 2, соответствующие собственному значению λ2ν , ν = 1, 2, обозначимкак Bνσ .

Как известно, они пропорциональны алгебраическим дополнениям элементов последней линейно зависимой строки определителя, когда в него подставлена величина λ2ν . Ихзначения вычисляются по формулам:∆ν1 = αβλ2ν ,∆ν2 = (1 − λ2ν ) ,94ν = 1, 2 .(5.3)Переход от системы с двойным маятником к системе с двумя независимымимаятниками. Согласно общей теории малых колебаний собственные векторы, задаваемыевыражениями (5.3), позволяют связать координаты φ1 и φ2 с главными координатами ξ1 иξ2 следующим образом:2∑φσ =∆νσ ξν ,σ = 1, 2 .(5.4)ν=1Подставляя (5.4) в уравнения (5.2), придем к следующей системе уравнений относительноξ1 , ξ2 :2∑∆ν1λ2νν=12∑(ξ¨ν + Ω2ν ξν ) = x̄¨ ,(5.5)∆ν2 ¨(ξν + Ω2ν ξν ) = x̄¨ .λ2νν=1Рассматривая (5.5) как систему двух линейных алгебраических уравнений относительно y =ξ¨1 + Ω2 ξ1 и z = ξ¨2 + Ω2 ξ2 , получим12ξ¨1 + Ω21 ξ1 = A1 x̄¨ ,ξ¨2 + Ω22 ξ2 = A2 x̄¨ ,гдеλ21 (∆22 − ∆21 ),∆11 ∆22 − ∆12 ∆21Перепишем систему (5.6) в видеA2 =A1 =(5.6)λ22 (∆11 − ∆12 ).∆11 ∆22 − ∆12 ∆21gξ¨1 + λ21 ξ1 = A1 x̄¨ ,l1g2ξ¨2 + λ2 ξ2 = A2 x̄¨ .l1(5.7)Умножим уравнения системы (5.7) соответственно на 1/A1 и на 1/A2 и введем новые переменные ψ1 , ψ2 по формуламλ21ξ1 ,A1Тогда система (5.7) перепишется в видеψ1 =ψ2 =λ22ξ2 .A2g1ψ̈ + ψ1 = x̄¨ ,2 1λ1l11gψ̈ + ψ2 = x̄¨ .2 2λ2l1(5.8)(5.9)Пусть теперь к той же самой тележке подвешен не двойной маятник, а два независимыхмаятника, имеющих длины l1∗ и l2∗ .

Углы отклонения этих маятников обозначим соответственно через ψ1 и ψ2 . Тогда, если перемещение тележки характеризуется координатой x, то этиуглы будут удовлетворять уравнениямl1∗ ψ̈1 + g ψ1 = ẍ ,l2∗ ψ̈2 + g ψ2 = ẍ .95(5.10)Видим, что если выполняются соотношения lσ∗ = l1 /λ2σ , σ = 1, 2, то система (5.9) совпадает ссистемой (5.10).Таким образом, задача об определении ускорения тележки с двойным маятником, котороевходит во второе и третье уравнения системы (5.1), эквивалентна задаче об определенииускорения, входящего в систему (5.10).Как следует из выражений (5.4) и (5.8), искомые углы φ1 , φ2 двойного маятника связаныс координатами ψ1 , ψ2 следующими соотношениями:φ1 = ∆11 ξ1 + ∆21 ξ2 = αβA1 ψ1 + αβA2 ψ2 ,()()11φ2 = ∆12 ξ1 + ∆22 ξ2 =− 1 A1 ψ1 +− 1 A2 ψ2 .λ21λ22(5.11)Рис.

IV.5.2. Управляющая сила для движения тележкис двойным маятникомКак и в статье [91], размерное управление U (в нашем случае управлением являетсяускорение ẍ), входящее в систему (5.10), в соответствии с применением обобщенного принципа Гаусса будем искать в виде полинома, зависящего от времени. Однако, этот полиномпо предложению П.Е. Товстика будем считать записанным в видеU ≡ ẍ =6∑Ek tk (Te − t) ,(5.12)k=1где Te — время перемещения тележки на расстояние S из начального состояния покоя вконечное состояние покоя. Постоянные Ek определяются из граничных условийx(Te) = S ,ẋ(Te) = 0 ,ψσ (Te) = 0 ,ψ̇σ (Te) = 0 ,σ = 1, 2 .Интегрируя систему (5.10) при найденном управлении (5.12), получим углы ψ1 и ψ2 какфункции времени.

Затем по формулам (5.11) найдем и углы φ1 и φ2 как функции времени.96В результате, используя первое уравнение системы (5.1), найдем силу F , обеспечивающуюпереход механической системы из состояния покоя в новое состояние покоя при перемещении тележки за время Te на расстояние S. На рис. IV.5.2 приведена зависимость силы F ,выраженной в долях M g, от безразмерного времени τ = t/Te. Исходные параметры двойногомаятника таковы: m1 = m2 = m, l1 = l2 . Расчеты соответствуют перемещению тележки на√√ √расстояние S = l1 за время Te = 1.5 (2π/Ω1 ), где Ω1 = 2 − 2 g/l1 .§ 6. Алгоритм применения обобщенного принципа Гауссадля гашения колебаний механической системыпри переводе ее из одного состояния покоя в другоеОбщие положения.

Алгоритм поясняет решение модельной задачи о переводе горизонтально движущейся тележки, несущей оси s математических маятников, за фиксированноевремя Te из начального состояния покоя в заданное конечное состояние покоя. Алгоритм сводится к перечислению последовательных стандартных операций, после выполнения которыхбудет достигнуто решение поставленной задачи. Важно, что для выполнения этих операцийнет необходимости разбираться в довольно сложной теории движения неголономных системсо связями высокого порядка.Решение задачи с помощью применения обобщенного принципа Гаусса.1.

Составить размерные уравнения движения Лагранжа второго рода. Координату тележки обозначить через x, углы отклонений маятников от вертикали через φσ , σ = 1, s,искомую горизонтальную оптимальную управляющую силу, приложенную к тележке, черезF.2. Записать размерные граничные условия при t = 0 и при t = Te.3. Первое дифференциальное уравнение будет отражать теорему о движении центра масссистемы, то есть будет уравнением относительно координаты xc . В последующих s уравнениях заменить ẍ его выражением из первого уравнения; в результате в правых частях этихуравнений появится сила F .4.

Перейти к записи полученных размерных уравнений в главных координатах. За однуиз главных координат принять xc , ей будет соответствовать нулевая частота. Найти главные координаты, соответствующие системе из полученных следующих s дифференциальныхуравнений; при этом будут найдены размерные ненулевые собственные частоты Ωσ , σ = 1, s.5. Переписать полученную систему уравнений в безразмерных переменных следущимобразом:x′′ = u ,0x′′ + ω 2 x = u ,σ σσ(1)σ = 1, s .Главные безразмерные координаты xσ , σ = 1, s, являются линейными комбинациями угловφσ , главная координата x0 пропорциональна перемещению центра масс механической системы. Штрихи соответствуют производным по безразмерному времени τ = Ω1 t, ωσ = Ωσ /Ω1 ,97σ = 1, s.

В правых частях уравнений стоит одно и то же безразмерное управление u (пропорциональное силе F ), чего легко добиться соотвествующим изменением масштабов главныхкоординат. Систему дифференциальных уравнений (1) решают при граничных условиях (S— перемещение тележки, l1 — длина первого маятника):x0 (0) = x′0 (0) = 0 , xσ (0) = x′σ (0) = 0 , T = Ω1 Te ,Sx0 (T ) = a ≡ , x′0 (T ) = 0 , xσ (T ) = x′σ (T ) = 0 ,l1(2)σ = 1, s .6. ВАЖНО! Теория движения неголономных систем, опирающаяся на применение обобщенного принципа Гаусса, позволяет непосредственно отыскивать безразмерное управление в видеu(τ ) =2s+2∑Ck τ k−1 .(3)k=17.

Характеристики

Список файлов диссертации