Диссертация (1149642), страница 18
Текст из файла (страница 18)
III.7.1).Таким образом, применение обобщенного принципа Гаусса оказывается весьма эффективным. Однако, формулировка и решение расширенной краевой задачи не всегда оказываетсяполезной. Дело в том, что, как показывают расчеты, результаты движения механическойсистемы под действием управления, полученного в результате решения обобщенной краевойзадачи, существенно зависят от безразмерного параметра K = T /T1 . В работе [20] показано,что существует счетное множество таких значений параметра K, при приближении к которым в системе развиваются интенсивные колебания. Эти значения K были названы особымиточками решений расширенных краевых задач.86Рис.
IV.1.1. Сравнение решений по Гауссу, соответствующих расширенной иобычной краевым задачам, при T = 4 T2 , T2 = 0.25 T1В качестве примера рассмотрим гашение колебаний тележки с двумя маятниками приследующих значениях безразмерных параметров:l21= ,l14m14= ,M + m1 + m25m21=,M + m1 + m210Ω2= 2.242 .Ω1(1.1)Движение тележки, измеренное в долях S, полученное с помощью обобщенного принципаГаусса в случае решения обыкновенной краевой задачи, представлено на рис. IV.1.1 плавнойсплошной жирной линией. В то же время в результате решения задачи при тех же параметрах (1.1) в случае постановки расширенной краевой задачи получаем движение тележки,представленное на рис. IV.1.1 пунктирной линией.
Как мы видим, в этом случае развиваютсяинтенсивные колебания тележки с большими размахами — она трижды за время движенияпоочередно отклоняется левее и правее своих крайних положений.Такое неожиданное поведение тележки объясняется тем, что принятым значениям параметров (1.1) соответствует значение K = 1.5, близкое к величине первой особой точки, равнойK = 1.522. Аналогичные интенсивные колебания механической системы мы наблюдали и нарис. III.8.4.§ 2. Построение аналитического решения задачи,не содержащего особых точекОпределить управление движением тележки, которое является аналитической функциейвремени при всех значениях параметра K, предлагается следующим образом.Ставится, как и ранее, расширенная краевая задача (назовем ее расширенной краевойзадачей первого порядка), получаемое в результате решение обозначим через u1 (τ ).Наряду с этой задачей ставится еще более сложная расширенная задача (назовем ее расширенной краевой задачей второго порядка), в которой дополнительно задается, что у тележки в начале и в конце пути производная и от ускорения по времени равна нулю.
Решение87этой задачи обозначим через u2 (τ ). Это новое решение также будет иметь особые значенияпараметра K, но они будут отличны от особых значений предыдущего решения. Тогда прилюбых значениях параметра µ функцияu(τ ) = u1 (τ ) + µ(u2 (τ ) − u1 (τ ))(2.1)будет решением рассматриваемой задачи. Избежать вычисления особых значений решенийu1 и u2 и построить аналитическое решение, непрепрерывно зависящее от параметра K, позволяет определение параметра µ из условия минимальности интеграла от квадрата функцииu(τ ) за время перемещения T . Это решение соответствует следующему значению параметраµJ1 − J2,J1 + J3 − 2J2µ=где∫∫Tu21 (τ ) dτJ1 =0,J2 =∫Tu1 (τ )u2 (τ ) dτ ,Tu22 (τ ) dτ .J3 =00Предложенный подход будет использован при расчетах в следующем параграфе.Как развитие предложенного метода можно было бы строить и решение u3 (τ ) расширенной краевой задачи третьего порядка, в которой добавляются требования обращения в нуличетвертых производных от координаты тележки в начале и в конце пути.
По аналогии сформулой (2.1) управление будет находиться в видеu(τ ) = u2 (τ ) + µ(u3 (τ ) − u2 (τ )) ,(2.2)где новое значение µ можно опять найти из минимизации интеграла от квадрата выражения(2.2).Замечание. Управление без особых точек можно получить, применяя вместо обобщенногопринципа Гаусса обобщенный принцип Гамильтона–Остроградского [25]. Тогда управлениебудет строиться с помощью базисных функций. И в этом случае оно окажется полиномомпо времени, но порядок полинома будет равен 4s + 3.88§ 3. Новый подход к задаче о гашении колебанийтележки с двумя маятникамВ исследованной задаче о гашении колебаний тележки с маятниками искомой управляющей силой являлась горизонтальная сила, приложенная к тележке.
Рассмотренное вышерешение предполагало необходимость нахождения собственных частот и собственных формколебаний, чтобы осуществить переход к главным координатам и записать систему в видесистемы (4.17) из предыдущей главы.Предложим новый, более простой подход к решению задачи, который позволяет избежать определения собственных частот и собственных форм колебаний данной механическойсистемы. Обратим внимание на то, что эти частоты и формы существенно зависят от массы тележки, в то время как сама проблема о гашении колебаний маятников зависит толькоот того, насколько целесообразно выбран закон перемещения тележки. Учитывая это важное обстоятельство, первоначально будем искать как функцию времени не силу F , котораяприложена к тележке, а ускорение тележки ẍ, при котором она за заданное время Te переместится на заданное расстояние S при отсутствии скоростей и ускорений у тележки и умаятников в начале и в конце пути.При такой постановке задачи вместо системы дифференциальных уравнений (4.1) изпредыдущей главы естественным образом записываем систему уравненийẍ = U ,l1 φ̈1 + gφ1 = U ,(3.1)l2 φ̈2 + gφ2 = U ,где через U обозначено искомое размерное ускорение тележки.
Интересно, что полученнаясистема является системой независимых уравнений, то есть смещение тележки и углы поворотов маятников оказались главными координатами.Если теперь ввести безразмерные координаты, управление и время по формулам√xẍgx̄0 = , x̄1 = φ1 , x̄2 = αφ2 , u∗ = , τ̄ =t,l1gl1то система уравнений (3.1) запишется в видеx̄′′0 = u∗ ,x̄′′1 + x̄1 = u∗ ,1x̄′′2 + x̄2 = u∗ ,α(3.2)где штрихами обозначены производные по безразмерному времени τ̄ , а u∗ является искомымбезразмерным ускорением тележки в долях g, отыскиваемом при новом подходе.Полученная система (3.2) практически не отличается от системы (4.17) из предыдущейглавы.
Это позволяет по разработанной выше процедуре на основе обобщенного принципаГаусса определить искомое ускорение тележки и движение маятников. После этого, зная89движение тележки и маятников, легко определим и искомую управляющую силу. Размернаягоризонтальная управляющая сила FN , получаемая по предложенному новому подходу, будетвычисляться по формулеFN = M gu∗ − m1 gx̄′′1 − m2 gx̄′′2 ,а соответствующее ей новое безразмерное управление uN , выраженное в долях M g, запишется в видеuN ≡FNγ= u∗ (1 − β − γ) + β x̄1 + x̄2 .MgαРис. IV.4.1. Управляющая сила для тележки с одним маятникомРис. IV.4.2.
Колебания маятника на тележке§ 4. Результаты численных расчетов гашения колебанийтележки с двумя маятникамРезультаты численных расчетов, полученные по старому и по новому подходу для движения тележки с маятниками, сравнивались между собой, при этом использовалась формула90Рис. IV.4.3. Управляющая сила для тележки с двумя маятниками(случай m2 /m1 = 1/8)Рис. IV.4.4. Колебания первого маятникаРис. IV.4.5. Колебания второго маятника(2.1). Вычислялись как функции времени управляющая сила F и углы поворотов маятников.Сила выражалась в долях M g, где M — масса всей системы, а углы поворотов φ1 и φ2 — вградусах.
Как отмечалось выше, данные функции, определенные как функции безразмерно91Рис. IV.4.6. Управляющая сила для тележки с двумя маятниками(случай m2 /m1 = 1/64)го времени τ = t/Te, существенно зависят от параметра K, равного отношению безразмерноговремени перемещения T к периоду T1 первой формы колебаний механической системы. Интересным является случай, когда величина K находится в промежутке от единицы до двух[20].
Учитывая это, при расчетах полагалось, что K=1.54.Так как отыскиваемые функции пропорциональны перемещению тележки S за времяTe, то данное перемещение, заданное в долях длины первого наиболее длинного маятника, выбиралось так, чтобы углы поворота маятников были не больше десяти градусов. Нарисунках IV.4.1–IV.4.6 сплошные линии соответствуют результатам, полученным по новомуподходу, а пунктирные — по старому.Рисунки IV.4.1 и IV.4.2 соответствуют расчету, когда на тележке укреплен один маятник,при этом выбирались следующие параметры системы:m1= ,m12K = 1.54 ,a=l.5Рисунки IV.4.3–IV.4.6 соответствуют движению тележки с двумя маятниками. В этомслучае имеем четыре независимых параметра: K, отношения массы тележки m к массе m1первого маятника и к массе m2 второго маятника, а также отношение длины l2 второгомаятника к длине l1 первого.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
