Диссертация (1149642), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Сравнение решений по Гауссу, соответствующих расширенной иобычной краевым задачам, при T = 2 T2 , T2 = 0.25 T1Рис. III.7.3. Сравнение решений по Гауссу, соответствующих расширенной иобычной краевым задачам, при T = 2 T2 , T2 = 0.5 T1кривыми при решении обобщенных задач. Штрихованными линиями на них изображеныкривые, соответствующие применению также обобщенного принципа Гаусса, но для обычной нерасширенной краевой задачи. Отметим, что если и решение обычной краевой задачидает почти нулевые значения управления в начале и в конце движения, то расширять её нетнеобходимости (см. рис. III.7.5).79Рис. III.7.4. Сравнение решений по Гауссу, соответствующих расширенной иобычной краевым задачам, при T = 3 T2 , T2 = 0.5 T1Рис. III.7.5. Сравнение решений по Гауссу, соответствующих расширенной иобычной краевым задачам, при T = 6 T2 , T2 = 0.25 T1Важно отметить, что решить сформулированную в этом параграфе расширенную (обобщенную) краевую с помощью применения принципа максимума Понтрягина невозможно, таккак полученное с его помощью управление будет содержать количество неизвестных произвольных постоянных, недостаточное для удовлетворения всех поставленных граничныхусловий.
В отличие от этого применить к сформулированной расширенной краевой задаче80обобщенный принцип Гаусса, как мы видели, можно, увеличив его порядок на две единицы.Таким образом, основное качественное отличие нового подхода к задаче о гашении колебаний заключается в том, что он позволяет построить решение, при котором отсутствуютскачки управляющей силы и в начале, и в конце движения механической системы.Дополнительное обсуждение возможностей решения расширенной краевой задачи будетпроведено в § 1 следующей главы.§ 8. Решение задачи в исходных криволинейных координатахФормулы перехода от главных безразмерных координат к исходным размерным криволинейным координатам. Приведенные выше решения краевой задачи (4.19),(4.20) и расширенной краевой задачи (4.19), (4.20), (7.2) представлены в главных координатах.
Это позволяет изучать только характер изменения во времени управляющей силы иглавных координат в процессе движения системы. Интересно и важно исследовать также ито, каким будет при этом движение самой тележки до её остановки. Необходимо определитьи ту управляющую силу, выраженную в долях веса всей системы, при которой углы колебаний маятников в процессе движения системы будут малыми. Требуется проследить также иза тем, как в процессе движения тележки до её остановки будут колебаться и сами маятники,как начнут они колебаться в начале пути и как прекратятся эти колебания при остановкетележки.
Чтобы ответить на все эти вопросы, необходимо установить связь между главнымии исходными криволинейными координатами.В § 4 были получены представления (4.18) главных безразмерных координат x1 , x2 черезразмерные главные координаты ξ1 , ξ2 :x1 =αγ(a1 − a2 )ξ1 ,1 + a2x2 =αγ(a2 − a1 )ξ2 .1 + a1(8.1)Здесь согласно формулам (4.8), (4.17) величины α, β, γ, a1 , a2 были равны:α=l2,l1β=m1,Mβλ2ν,1 − α(1 − γ)λ2νaν =γ=m2,M(8.2)ν = 1, 2 .Безразмерные собственные частоты λν , ν = 1, 2, вычислялись по формуле (4.10). Помимоэтого, по формулам (4.12), (4.11) размерные углы отклонений маятников через размерныеглавные координаты выражались следующим образом:φ1 =2∑∆ν1 ξν ,ν=1∆ν1 = −αγλ2ν ,φ2 =2∑∆ν2 ξν ,(8.3)ν=1∆ν2 = 1 − (1 − β)λ2ν ,81ν = 1, 2 .Пользуясь формулами (8.1)–(8.3), получим связь между исходными криволинейными координатами φ1 , φ2 и главными безразмерными координатами x1 , x2 :φ1 =φ2 =1[(1 + a2 )λ21 x1 − (1 + a1 )λ22 x2 ] ,a2 − a11[(1 − (1 − β)λ21 )(1 + a2 )x1 − (1 − (1 − β)λ22 )(1 + a1 )x2 ] .αγ(a1 − a2 )(8.4)Теперь из формулы (4.3) получаем выражение для вычисления размерной координаты тележки:x = l1 x0 + l1 βφ1 + l1 αγφ2 ,(8.5)где x0 является безразмерной координатой центра масс системы.Выражения (8.4), (8.5) и представляют собой переход от главных безразмерных координатк исходным размерным криволинейным координатам.Рис.
III.8.1. Сравнение решений, соответствующих обычной краевой задаче, по Гауссу ипо принципу максимума Понтрягина при T = 1.5 T2 , T2 = 0.446 T1Численные расчеты. При проведении численных расчетов первоначально задача решалась в главных безразмерных координатах, а затем по формулам (8.4), (8.5) осуществлялсяпереход к значениям исходных размерных криволинейных координат.В качестве примера рассмотрим случай когда:α=1,4β=4,5γ=1.10По формуле (4.10) находим безразмерные собственные частотыλ1 = 1.67961 ,λ2 = 3.76549 ,82Рис.
III.8.2. Сравнение решений по Гауссу, соответствующих расширенной иобычной краевым задачам при T = 1.5 T2 , T2 = 0.446 T1Рис. III.8.3. Сравнение решений, соответствующих обычной краевой задаче, по Гауссу ипо принципу максимума Понтрягина при T = 5.3 T2 , T2 = 0.446 T1при этомT2= 0.446054 .T1При этих параметрах решение линейно зависит от величины a и нелинейно от величиныK = T /T1 . Параметр a для простоты полагался равным единице. Расчеты показали, что параметр K в данном случае существенно влияет на характер движения.
При K < 1 решения83Рис. III.8.4. Сравнение решений по Гауссу, соответствующих расширенной иобычной краевым задачам при T = 5.3 T2 , T2 = 0.446 T1Рис. III.8.5. Сравнение решений по Гауссу, соответствующих расширенной иобычной краевым задачам при T = 3 T2 , T2 = 0.446 T1обычной краевой задачи и по Понтрягину, и по Гауссу имеют ярко выраженные скачки в начальный и конечный моменты времени, при этом решения почти совпадают. Для полученияпри данных K углов отклонения маятников меньше 30 градусов приходится брать достаточно малое a.
На рисунках III.8.1 и III.8.2 показаны решения, соответствующие K = 0.75 иa = 0.01. Здесь и далее на рисунках приняты следующие обозначения: в случае постановки84обычных краевых задач при сравнении решений, полученных с помощью обобщенного принципа Гаусса и принципа максимума Понтрягина, сплошная линия относится к принципуГаусса, а штрихованная — к принципу Понтрягина; при сравнении же решений, полученных с помощью обобщенного принципа Гаусса для расширенной и обычной краевых задач,сплошная линия относится к расширенной задаче, а штрихованная — к обычной. Отметим, что искомое управление, приводимое на рисунках этого параграфа, выражено в доляхF/(M g) = wc /g, где wc — ускорение центра масс системы. Как видно из рисунка III.8.1, приK = 0.75 решения для обычной краевой задачи и по Понтрягину, и по Гауссу достаточно близки.
При уменьшении K они сближаются еще больше. Рисунок III.8.2 демонстрирует,что расширение краевой задачи позволяет избавиться от скачков в начальный и конечныймоменты времени. При бо́льших значениях K скачки в начальный и конечный моменты времени при применении обобщенного принципа Гаусса к обычной краевой задаче пропадают,поэтому расширять краевую задачу нет необходимости.Наибольший интерес имеют промежуточные случаи, когда K находится в интервале отединицы до четырех. Например, при K = 2.65 решения обычной краевой задачи по Гауссу ипо Понтрягину существенно отличаются друг от друга (см. рис. III.8.3).Решение при этом же значении K расширенной краевой задачи с помощью обобщенногопринципа Гаусса и качественно, и количественно изменяет решение (см.
рис. III.8.4). Интересно отметить, что оно становится по максимальному значению величины управления близкимк решению, полученному по принципу максимума Понтрягина (см. рисунки III.8.3 и III.8.4).Как видим, в приведенном примере для K = 2.65 расширение краевой задачи дает положительный эффект. Однако это не всегда так.
Рассмотрим случай, когда K = 1.5 (см.рис. III.8.5). Видим, что в данном случае расширение краевых условий, хотя и устраняетскачки в начальный и конечный момент времени, но усложняет управление и вызывает дополнительную раскачку системы.Таким образом, основное достоинство формулировки, постановки и решения расширенной(обобщенной) краевой задачи состоит в возможности получения управления, не содержащегоскачков в начальный и конечный моменты времени.
Это приводит к такому движению механической системы, при котором у всех точек системы отсутствуют скачки ускорений. Данноебезударное управление оказывается более удобным и для его технической реализации.85Г л а в а IVРАЗВИТИЕ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВНЕГОЛОНОМНОЙ МЕХАНИКИ СО СВЯЗЯМИВЫСОКОГО ПОРЯДКА ДЛЯ РЕШЕНИЯОДНОЙ ИЗ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯВ этой главе развивается применение теории движения неголономных систем со связями высокого порядка для решения одной из центральных задач теории управления — о выборе управляющей силы, переводящей механическую систему из одного фазового состояния вдругое за заданное время.
Обсуждаются особые точки решения расширенной краевой здачи.Строится аналитическое представление решения, не содержащее особых точек. Предлагается новый подход к решению поставленной задачи, состоящий в отыскании оптимальногоускорения основного тела механической ситемы, по которому затем отыскивается управляющая сила.
Решается задача о гашении колебаний тележки с двойным маятником.§ 1. Особые точки решения задачиКак указывалось неоднократно, применение принципа максимума Понтрягина к исследованию гашения колебаний всегда находит управляющую силу, имеющую скачки в начале и вконце движения. Применение с этой же целью (отыскания управляющей силы) обобщенногопринципа Гаусса создает подобные скачки лишь при кратковременном движении системы. Сувеличением времени движения эти скачки уменьшаются и затем исчезают. Эти результатыподтверждаются графиками на рис. III.6.1–III.6.4. В § 7 предыдущей главы благодаря постановке и решению расширенной краевой задачи удалось построить с помощью обобщенногопринципа Гаусса повышенного порядка управление без скачков (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
