Диссертация (1149642), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Такая формулировка соответствует классической задаче Лагранжа вариационного исчисления. Включим этисвязи в функционал (2.3) с помощью множителей Лагранжа λk (t), k = 1, 2s + 2 (их зависимость от времени обусловлена неголономностью связей). Тогда получим функционал∫TI=)(∫2s+2∑′2λk (qk − fk ) dτ =u −0T)(2s+2∑′λk qk dτ ,H(q, λ, u, τ ) −0k=1q = (q1 , ...

, q2s+2 ) ,где введена функция2H=u +k=1(2.4)λ = (λ1 , ... , λ2s+2 ) ,2s+2∑λk fk (q, u) .(2.5)k=1Найдем вариацию функционала (2.4):δI = Ie − I =∫Teτe0)(∫n∑′H(eq , λ, ue, τ ) −λi qe k dτ −Tτ0k=1()2s+2∑′H(q, λ, u, τ ) −λk qk dτ .k=1Здесь принято qek = qk + δqk , τe0 = τ0 + δτ0 , Te = T + δT , ue = u + δu, причем волной обозначенывеличины сравнения, а значком δ — вариации. Для действительного движения при любыхвариациях для максимума функционала I должно быть выполнено неравенство δI 6 0.Обратим внимание на то, что введенное здесь Te является величиной сравнения по отношениюк безразмерному времени движения T , и его не надо путать с величиной Te из предыдущегопараграфа, где так было обозначено размерное время движения тележки.

Помимо этого, взадаче предыдущего параграфа принято, что τ0 = 0.63Считая вариации δqk , δτ0 , δT малыми, найдем вариацию δI с точностью до величинпервого порядка малости по отношению к величинам δqk , δτ0 , δT . После интегрирования почастям и упрощений получаем∫TδI =τ0[]τ =T)( 2s+2)2s+2∑∑(∂H′δqk + ∆H dτ + Hδτ −λk ∆qk,λk +∂qkk=1k=1τ =τ0где обозначено∆qk = δqk + qk′ δτ ,∆H = H(q, λ, ue, τ ) − H(q, λ, u, τ ) ,k = 1, 2s + 2 .Здесь ∆qk — полная вариация.Из условия δI 6 0 в силу произвольности δqk получаем уравнения для λ′k , которые вместес уравнениями (2.1) образуют системуq ′ = (∂H)/(∂λk ) , kλ′k = −(∂H)/(∂qk ) ,k = 1, 2s + 2 ,(2.6)похожую на систему канонических уравнений. Поэтому введенную по формуле (2.5) функцию H называют функцией Гамильтона–Понтрягина.Помимо этого, заменяя величину ∆H выражением∆H =∂Hδu ,∂uполучаем уравнение∂H= 0.(2.7)∂uТаким образом, для нахождения функций u и qk , λk , k = 1, 2s + 2, имеем систему уравнений(2.6)–(2.7).Описанный алгоритм составляет содержание принципа максимума Понтрягина.

Подчеркнем еще раз, что название максимум имеет исторические причины и не меняет существа задачи. Если мы хотим вместо максимума искать минимум, нужно изменить знак уфункционала (2.3).§ 3. Управление горизонтальным движением тележкис s маятниками на основе примененияпринципа максимума ПонтрягинаРассмотрим гашение колебаний тележки, несущей s математических маятников, с использованием принципа максимума Понтрягина. Как было показано выше, дифференциальныеуравнения движения в главных координатах имеют вид (1.3), решаться они должны приграничных условиях (1.4). Для замыкания задачи требуется минимизировать функционал64(1.5). Согласно изложенному в предыдущем параграфе принципу максимума Понтрягинауравнения (1.3) переписываем в виде (2.1), в которых использованы обозначения (2.2).В рассмотрение вводятся множители Лагранжа λk (τ ), k = 1, 2s + 2, и функцияГамильтона–Понтрягина (2.5) записывается следующим образом:H = −u +22s+2∑λk fk (q, u) .k=1Напомним, что при отыскании минимума функционала (1.5) в нем подынтегральная функция u2 заменяется на (−u2 ).Неизвестные функции λk (τ ) подчиняются второй группе уравнений (2.6)λ′k = −∂H,∂qkk = 1, 2s + 2 ,а искомое управление u(τ ) определяется из условия (2.7):∂H= 0.∂u(3.1)В рассматриваемом случае имеем:H = −u + λ1 q2 + λ2 u +2s∑λ2σ+1 q2σ+2 +σ=1λ′1 = 0 , λ′2 = −λ1 ,s∑λ2σ+2 (u − ωσ2 q2σ+1 ) ,(3.2)σ=1λ′2σ+1 = ωσ2 λ2σ+2 , λ′2σ+2 = −λ2σ+1 , σ = 1, s .(3.3)Из выражений (3.1) и (3.2) следует, чтоu(τ ) =s+11 ∑λ2σ (τ ) .2 σ=1Функции λ2σ (τ ), σ = 1, s + 1, в соответствии с системой (3.3) удовлетворяют уравнениямλ′′2 = 0 ,λ′′2σ+2 + ωσ2 λ2σ+2 = 0 ,σ = 1, s .Поэтому минимизация функционала (1.5) достигается приu(τ ) = C1 + C2 τ +s∑(C2σ+1 cos ωσ τ + C2σ+2 sin ωσ τ ) .(3.4)σ=1Здесь Ck , k = 1, 2s + 2, — произвольные постоянные.

Подставляем функцию (3.4) в правыечасти уравнений (1.3). Общее решение этой системы дифференциальных уравнений будетсодержать произвольные постоянные Dk , k = 1, 2s + 2. Таким образом, полученное общеерешение будет зависеть от 4s + 4 произвольнх постоянных Ck , Dk , k = 1, 2s + 2, которыеопределяются из 4s + 4 заданных граничных условий (1.4).Но описанный общий подход нахождения решения, удовлетворяющего краевым условиям(1.4), оказывается очень громоздким. Поэтому покажем, каким образом можно значительноупростить возникшую проблему отыскания произвольных постоянных.65Здесь особенно важным является то, что решается задача о гашении колебаний рассматриваемой механической системы, поэтому в начальный момент τ0 = 0 система находится впокое, то есть равны нулю все ее главные обобщенные координаты и скорости.

Вследствиеэтого частное решение системы (1.3) при нулевых начальных условиях удобно представитьчерез интегралы Дюамеля:∫τx0 (τ ) =u(τ1 )(τ − τ1 ) dτ1 ,0∫ τ1xσ (τ ) =u(τ1 ) sin ωσ (τ − τ1 ) dτ1 , σ = 1, s .ωσ 0(3.5)Теперь после подстановки этих выражений при учете выражения (3.4) во вторую группу граничных условий (при τ = T ) и вычисления интегралов получим алгебраическую линейнуюнеоднородную систему уравнений относительно лишь неизвестных Cσ , σ = 1, 2s + 2. Решивее, окончательно найдем искомое управление.Обратим внимание на то, что полученное с помощью принципа максимума Понтрягинауправление (3.4), во-первых, зависит лишь от собственных частот системы, и, во-вторых,достигается за счет отыскания искомой управляющей силы в виде ряда по собственнымчастотам системы, что при длительном времени движения будет вводить исследуемую механическую систему в резонанс.§ 4.

Управление горизонтальным движением тележкис двумя маятниками на основе примененияпринципа максимума ПонтрягинаНекоторые общие положения. Рассмотрим теперь более подробно частный случайпредыдущей задачи, когда s = 2. Модель этой задачи представлена на рис. III.1.1. Простейшими независимыми лагранжевыми координатами в данной задаче являются горизонтальноеперемещение тележки и углы поворота маятников. В этих координатах элементарная работауправляющей силы отлична от нуля только на элементарном перемещении тележки. Учитывая, что колебания по формам с ненулевыми частотами возбуждаются в силу теоремы одвижении центра масс, за новые независимые лагранжевы координаты примем перемещение центра масс механической системы и углы поворота маятников. Перемещение тележкилинейно зависит от этих координат, поэтому в них все уравнения Лагранжа второго рода будут содержать управляющую силу, причем само перемещение центра масс удобно принять заодну из главных координат.

Целесообразно, однако, чтобы все координаты были главными,так как это, как было видно ранее, существенно облегчает процедуру построения искомойуправляющей силы на основе принципа максимума Понтрягина. Поэтому переход к главнымкоординатам является актуальным в задаче о гашении колебаний тележки с маятниками.Этому переходу применительно к случаю двух маятников и посвящен данный параграф.

Внем показывается, что данный переход можно осуществить без громоздких преобразований,связанных с записью кинетической и потенциальной энергии рассматриваемой механической66системы в главных координатах. Первоначально составляются уравнения Лагранжа второгорода относительно простейших лагранжевых координат, которыми являются горизонтальноеперемещение тележки и углы поворота маятников. Затем из них исключается перемещениетележки.

Оставшиеся два уравнения относительно двух углов поворота маятников позволяют определить две ненулевые собственные частоты и соответствующие им формы колебанийданной механической системы. Зная эти частоты и формы, будем знать, как при собственныхколебаниях углы поворота маятников связаны с главными координатами. Переходя в двухуравнениях относительно двух углов к главным координатам, получим две независимые линейные комбинации искомых уравнений в главных координатах. Это и позволяет определитьих достаточно просто. Присоединяя к ним уравнение движения центра масс и переходя вовсех уравнениях к безразмерным переменным, в результате получим систему трех уравненийв главных координатах, записанную в простейшей форме.Определение собственных частот и собственных форм колебаний тележки сдвумя маятниками.

Характеристики

Список файлов диссертации