Диссертация (1149563), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(2.10)).60В результате получим разложения для всех функций в (4.10) при ∈ Γ.Учитывая разложения=∞∑︁=0! (), =∞∑︁=0! (),(4.12)в нулевом и первом приближениях находим:0 = 1, 0 = 1, 1 = − ′′ () − (), 1 = − ().(4.13)Подставим ряды (2.9), (2.10), (4.11), (4.12) в (4.10). Собирая затем в полученном равенстве коэффициенты при ( = 0,1, . . .), приходим для каждого приближения к краевой задаче Римана – Гильберта о скачке кусочно–голоморфной функции Ξ−′Ξ+ () − Ξ () = − ( () + ()) + ().(4.14)Здесь{︃Ξ± = lim Ξ (),||→1∓0Ξ () =Φ (), || > 1,ϒ (), || < 1.Функция Ξ , удовлетворяющая условию (4.14) и условиям на бесконечности(4.4), определяется равенством [12]Ξ () = − () + () + (),(4.15)где1 () =2∫︁ () + ′ ()1, () = −2||=1∫︁ (), −(4.16)||=1и 0 = 1 + 2 −2 , = 0 ( = 1,2, . .
. ),∞∞41 = 11+ 22+81 ∞∞∞∞, 22 = 22− 11+ 212.κ1 + 1(4.17)61Функции ( = 1, 2, . . . ) в (4.15) — известные функции, зависящие при > 0 от всех предыдущих приближений. В нулевом и первом приближении:0 () = −(),(︀ −1 )︀ϒ¯0 1 () = −′ () − ¯ (¯)+ ()Φ′0 () − 2¯ ()Φ′0 () +¯(︁(︀ −1 )︀)︁′+2( () − ()) Φ0 () + ϒ0 ¯+ (′′ () + ())0 () − 2 ()0′′ ().4.4Вывод интегрального уравненияДля решения задачи, используем закон Гука для плоской деформации,соотношения поверхностной и объемной теории упругости, а также условиенепрерывности деформаций (4.5)–(4.8).
На примере задачи о круговом наноотверстии в упругом теле, подробно разберем алгоритм вывода сингулярногоинтегро-дифференциального уравнения относительно неизвестного поверхностного напряжения . При отсутствии внешней нагрузки (() ≡ 0), для задачио круговом наноотверстии, граничное условие (4.2) примет вид + = () + ′ () = ()(4.18)Компоненту окружной деформации выражаем через компоненты нормальных и окружных напряжений, используя (4.6): = − ( + 2).2 − ( + 2)2(4.19)Из соотношений (2.6) и (2.7) нормальные и окружные напряжений связанымежду собой следующим образом + = 4ReΦ0 (),[︂ − (︂ )︂]︂1= 2Re Φ0 () + ϒ0 ¯ .(4.20)(4.21)62Выражаем и из (4.20) и (4.21) и подставляем в (4.19), таким образомполучим[︂(︂ )︂]︂1 + 31 =ReΦ0 () + ϒ0 ¯ .2+Используя условие идеального сцепления поверхности с основным материалом(4.8), находим , и из первого равенства (4.5) поверхностное напряжение примет следующий вид[︂(︂ )︂]︂10 = 0 + Re κΦ0 () + ϒ0 ¯ ,(4.22)здесь введены обозначения = ( + 2 )/2; κ = ( + 3)/( + ).Из решения задачи Римана – Гильберта (4.15), комплексные потенциалымогут быть найдены по формуламΦ0 () =−0− ()2+ 1 + 2 , ϒ0(︂ )︂21+=−()++.102¯(4.23)Следует отметить, что согласно Н.
И. Мусхелишвили [12], для интегралатипа Коши1() =2∫︁ (),−||=1граничные значения определяются по формулам Сохоцкого – Племеля:11 () = ± () +22±∫︁ (),−(4.24)||=1здесь функция () удовлетворяет условию Гельдера, а правая часть интегралапонимается в смысле главного значения по Коши.Подставляем (4.24) в (4.23), и полагая, что неизвестная функция 0 ()достаточно гладкая, можем продифференцировать под знаком интеграла [71].Таким образом, с учетом (4.18) и (4.22), получим сингулярное интегро-63дифференциальное уравнение относительно ⎛ (κ + 1)⎜ 1Re ⎝0 () +2 − (κ − 1)2⎞0 () + 0′ () ⎟ ⎠ =−∫︁||=1[︂(︂)︂]︂122=20 + (κ + 1) 1 + 1 + 2 + 2 , || = 1.2 − (κ − 1)(4.25)В правой части уравнения находятся константы 1 , 2 , которые зависят от напряжений, действующих на бесконечности, и могут быть найдены по формулам(4.17).4.5Интегральное уравнение в -ом приближении.
НулевоеприближениеСледуя алгоритму, предложенному в предыдущем параграфе, решениепоставленной задачи в каждом приближении будет сводится к решению сингулярного интегро-дифференциально уравнения относительно поверхностногонапряжения⎛ (κ + 1)⎜ 1Re ⎝ () +2 − (κ − 1)2⎞∫︁ () + ′ () ⎟ ⎠ = (), || = 1,−||=1(4.26)где функция 0 зависит от нагрузки () (0 = 0 при () = 0), а при > 0выражаются через все предыдущие приближения при помощи (4.16) в форместепенной функции.Решение интегрального уравнения (4.26) ищем в виде степенного ряда, т.
е.∞∑︀ () = . Для случая, когда граница отверстия свободна от внешней=−∞нагрузки (() = 0), комплексные потенциалы в нулевом приближении, соот-64ветствующем краевой задаче о круговом отверстии, равныΦ0 () = 1 + 2 −2 − 02 −2 , ϒ0 () = 1 + 2 −2 − 00 − 302 2 ,(4.27)где 00 = 41 1 − 0 , 02 = 2 2 и0 = − (κ + 1) (κ + 1)0, 1 =, 2 =.+4( + )2 + (κ + 3)(4.28)Тогда, решение интегрального уравнения (4.25), а именно поверхностное напряжение 0 , имеет вид0 = 00 + 02 2 + 02 −2 ,(4.29)и выражение для окружного напряжения на границе кругового отверстия(|| = ) определяется соотношением∞∞∞∞∞ = 0 +(1−1 )(11+22)+(2−32 )(22−11) cos 2 −2(2−32 )12sin 2.(4.30)Это выражение совпадает с решением, полученным в работе [57] другимспособом.На рис.
4.2 построены зависимости коэффициента концентрации на∞отпряжений (КНН) = max /22радиуса при одноосном растяжениивдоль оси 2 , то есть 11 = 12 = 0,22 > 0, полученные по формуле (4.30)при 0 = 0, = 0. Расчеты выполнены для различных упругих свойствповерхности [8; 49]. В одном случаеупругие свойства поверхности определяются значением 1 = 0,1 нм (нарис. 4.2 красная кривая), в другомРисунок 4.2 — Зависимость ККН отрадиуса кругового отверстия2 = −0,152 нм (на рис. 4.2 зеленаякривая).65Прямая линия синего цвета отвечает классическому решению ( = 0).4.6Первое приближениеРассмотрим почти круговое наноотверстие, граница которого определяется соотношением (4.1) для функции () = ( + − )/2 = cos , = 1,2, .
. .(см. рис. 4.1). Интегральное уравнение в первом приближении будет иметь вид1 () + (κ + 1)Re 1 () = 1 (),2 − (κ − 1)(4.31)где1 () = (κ + 1)Re 1 ().2 − (κ − 1)Для поиска поверхностного напряжения 1 и соответствующих комплексныхпотенциалов Φ1 и ϒ1 , представим 1 в форме степенного ряда. Следуя алгоритму поиска неизвестного поверхностного напряжения в каждом приближении,получим решение краевой задачи в первом приближении.Подставляя (4.1), (4.13) и (4.27)–(4.29) во второе уравнение (4.16), находимфункцию 1 . С учетом функции 1 , решение интегрального уравнения (4.31)может быть представлено в форме:1 () =+2∑︁1 , 1− = 1 , = 0, + 2, = 1,2, .
. . .(4.32)=−(+2)Рассмотрим частные случаи формы почти кругового наноотверстия при = 2, 4, 8 (см. рис. 4.1). Коэффициенты 1 в уравнении (4.32) зависят от коэффициентов 00 и 02 в нулевом приближении. Таким образом, коэффициентыимеют вид66∙ при = 212)︀)︀(︀(︀ 702 − 2 + 2, 11 = 0,10 =+(︀(︀)︀)︀1 1,500 − 3(0 + 1 ) − κ 1,500 + 0 + 1=, 13 = 0,2 + 0,5 (κ + 3)1 (14,502 − 53 − κ(4,502 + 3 + 22 ))14 =;2 + 0,5 (3κ + 5)∙ при = 41 = 0, = 0, 1, 3, 5,(︀14)︀1 3 − 42 + 10,502 − κ (2,502 + 3 )12 =,2 + 0,5 (κ + 3)(︀(︀(︀)︀)︀)︀1 7,500 − 5(0 + 1 ) − κ 7,500 + 3 0 + 1,=2 + 0,5 (3κ + 5))︀)︀(︀(︀1 26,502 − 73 − κ 10,502 + 42 + 316 =;2 + 0,5 (5κ + 7)∙ при = 81 = 0, = 0, 5, 7, 9,(︀)︀1 3 − 82 + 34,502 − κ (14,502 + 53 ),16 =2 + 0,5 (5κ + 7)(︀(︀(︀)︀)︀)︀31,5−9(+)−κ31,5+7+10001000118 =,2 + 0,5 (7κ + 9)(︀(︀)︀)︀1 26,502 − 113 − κ 34,502 + 82 + 31 =, = 10.2 + 0,5 (9κ + 11)Здесь введены обозначения 0 = 1 − 00 и 3 = 2 − 02 .
Константы , = 0, 3 зависят от напряжений, действующих на бесконечности, и могут бытьнайдены по формулам (4.17) с учетом (4.28).Подставим коэффициенты 1 в (4.32), а затем (4.32) в (4.14), (4.15), тогда комплексные потенциалы в первом приближении могут быть вычислены поформуламΦ1 () = −1− () + 1− (), ϒ1 () = −1+ () + 1+ (),(4.33)67где 1± () = 1 () и 1± () = 1 () при ±|| < ±1.Используя разложения (2.9), (4.11), (4.13) и комплексные потенциалы(4.27), (4.33), выражение для окружных напряжений на границе почти кругового наноотверстия в первом приближении имеет вид(︃(︀ −1 )︀ )︃)︃)︀ϒ¯0 ) 2Φ′0 () ++ = Re Φ1 () + 2Φ1 () + ϒ1 ¯−1 + ¯ (¯¯)︁(︁(︁(︀ −1 )︀)︁′′′+ ()Φ0 () + 2¯ ()Φ0 () ++ Re 2( () − ()) Φ0 () + ϒ0 ¯(︃(︀+ 0 + (1 − 1 )(11 + 22 ) + (2 − 32 )(22 − 11 ) cos 2 − 2(2 − 32 )12 sin 2.(4.34)Следует отметить, что формула (4.34) подходит для вычисления в первомприближении значений окружных напряжений, действующих на границе произвольного отверстия нанометрового размера.
Это решение найдено для любойграницы наноотверстия, заданной при помощи непрерывно-дифференцируемойфункции, представимой в виде разложения в ряд Фурье.4.7Графические результаты∞На рис. 4.3 – 4.5 представлены зависимости ККН = max /22на гра-нице отверстий рис. 4.1 от радиуса базового кругового отверстия при од∞вдоль оси 2 (размерный эффект), полученные поноосном растяжении 22формуле (4.34) при 0 = 0, = 0. Расчеты выполнены при = 58,17 ГПа; = 26,13 ГПа для различных упругих свойств поверхности [8; 49].
В первомслучае упругие свойства поверхности определяются значением 1 = 0,1 нмпри = 6,8511 Н/м; = −0,376 Н/м (на рис. 4.3 – 4.5 красные кривые). Вовтором случае 2 = −0,152 нм при = 3,4939 Н/м; = −5,4251 Н/м (нарис. 4.2 зеленые кривые). Прямые линии синего цвета отвечает классическомурешению ( = 0).68Рисунок 4.3 — ККН на границе отверстия рис. 4.1a в зависимости от радиусабазового кругового отверстия при = 0,1; 0,2; 0,3 (соответственно a, b, c)Рисунок 4.4 — ККН на границе отверстия рис. 4.1b в зависимости от радиусабазового кругового отверстия при = 0,1; 0,2; 0,3 (соответственно a, b, c)Рисунок 4.5 — ККН на границе отверстия рис.
4.1c в зависимости от радиусабазового кругового отверстия при = 0,1; 0,2; 0,3 (соответственно a, b, c)69Анализируя графические зависимости на рис. 4.3 – 4.5, заметим, что с увеличением радиуса базового отверстия максимальные значения окружного напряжения стремятся к классическому решению ( = 0), при котором не учитывается поверхностное напряжение. Однако, с уменьшением радиуса при < 0 максимальные значения окружного напряжения неограниченно возрастают, а при > 0 убывают, что наглядно демонстрирует влияние поверхностного напряжения для наноструктур.4.8Решение задачи в пакете конечно-элементного анализа ANSYS4.8.1Построение моделиДля решения задачи используется пакет конечно-элементного анализаANSYS. В силу симметрии, рассматриваем лишь четверть конструкции.
Наначальном этапе создается сеточная модель без учета поверхностного напряжения. Так как напряжения действуют на бесконечности и требуется добитьсяотсутствия влияния границ пластины, размеры пластины должны быть достаточно велики по сравнению с отверстием. В ходе компьютерного моделирования, рассматривались различные варианты размеров, и было получено, чтодля достижения сеточной сходимости результатов метода конечных элементовк аналитическому решению, размер пластины должен быть в двадцать и болеераз больше размера отверстия.Следуя [72; 73], основной материал пластины и поверхностный слой рассматриваются как различные фазы одного и того же материала, но с разными упругими свойствами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
