Диссертация (1149563), страница 5
Текст из файла (страница 5)
2.1c), выражения для комплексных потенциаловпримут видΦ1 () =( + 1)2 ( − 3)2 2( − 1)1++, +2 −2(2.18)ϒ1 () = ( − 1)2 −2 + ( + 3)2 +2 + 2(1 + )1 .В этом случае выражение для окружного напряжения на границе∞∞∞∞∞ = 11+ 22+ 2 (22− 11) cos 2 − 412sin 2+(︀)︀∞∞+ 2( − 1) (11+ 22) cos + 2[2 ( − 4)2− + 2+ ++ 2 (−(2+) + ( − 4)−2 )].(2.19)272.5РезультатыНа рис. 2.2−2.4 кривыми зеленого цвета представлено распределениеокружных напряжений на границах соответствующих отверстий (см.рис.
2.1), полученные по формулам (2.17),(2.19) для случая одноосного растяжения 22 при различных значениях малого параметра . Линии красного цветаотвечают нулевому приближению, т. e. окружности единичного радиуса ( = 0).Характерное влияние на распределение окружных напряжений по всей границе оказывает форма отверстия. Из рисунков 2.2−2.4 следует, что чем больше, тем больше максимальные значения напряжений . Важно отметить, чтоиз приведенных зависимостей следует: концентрация напряжений в близких ккруговым отверстиях больше, чем в круговых как единичного радиуса, так ирадиуса 1 + .28Рисунок 2.2 — Зависимость напряжений от полярного угла для отверстия () = cos 2 при = 0,1; 0,2; 0,3(соответственно a, b, c)29Рисунок 2.3 — Зависимость напряжений от полярного угла для отверстия () = cos 4 при = 0,1; 0,2; 0,3(соответственно a, b, c)30Рисунок 2.4 — Зависимость напряжений от полярного угла для отверстия () = cos 8 при = 0,1; 0,2; 0,3(соответственно a, b, c)31Для сравнения точного решения задачи с эллиптическим отверстием иприближенного с отверстием () = cos 2 приведем результаты расчетовокружных напряжений при одноосном растяжении вдоль оси 2 , т.
е. при11 = 12 = 0. Формы этих отверстий показаны на рис. 2.5 (кривые 4 и 3 соответственно), граница эллиптического отверстия касается границы близкого ккруговому на концах большой и малой осей эллипса.Рисунок 2.5 — Границы круговых отверстий 1, 2, эллиптического отверстия 4и почти кругового отверстия 3 при = 0,2; 0,5 (соответственно a, b)В таблице 2.1 сопоставлены приближенные значения коэффициента концентрации напряжений = /22 для почти кругового отверстия, вычисленные по формуле (2.17) при = 0 и точные значения этого коэффициента для эллиптического отверстия при одноосном растяжении перпендикулярнобольшой оси эллипса [2], а также соответствующие значения радиуса кривизны . Из рис.
2.5a видно, что кривая 3 практически совпадает с эллипсом иестественно, что при = 0,1 эти кривые почти неразличимы, следовательно коэффициенты и в таблице 2.1 примерно равны для этого случая. Уже при = 0,2, радиус кривизны отверстия () = cos 2 при = 0 больше, чем эллипса, как и следовало ожидать, значения коэффициента меньше соответствующих значений коэффициента .
С увеличением параметра , разница между коэффициентами концентрации становится больше. Это объясняется тем,32что эллиптическое отверстие сильно отличается от почти кругового (согласнорис. 2.5b). При практически постоянном значении радиуса кривизны, изменение коэффициента концентрации связано с зависимостью формы кривой отпараметра (см. рис. 2.5).0,10,20,30,40,5( )3,43,84,24,650,930,90,890,890,93,4444,75,677( )Таблица 2.1Коэффициенты концентрации напряжений для эллипса ( ) икриволинейного отверстия ( ) в зависимости от параметра 2.6Решение задачи в пакете конечно-элементного анализа ANSYS2.6.1Построение моделиДля построения модели в пакете конечно-элементного анализа ANSYSиспользуем элемент конструкции plane183 − пластина, состоящая из восьмиузловых элементов [67; 68].
Строим пластину в плоскости . Напряженнодеформированное состояние модели от материала не зависит, коэффициентПуассона равен 0,3, в силу симметрии можно рассматривать четверть конструкции. Так как напряжения действуют на бесконечности, размеры пластиныдолжны быть достаточно велики по сравнению с отверстием. Рассматривалисьразличные варианты размеров, и в ходе анализа было получено, что для достижения сеточной сходимости результатов метода конечных элементов к аналитическому решению, размер пластины должен быть в пять и более раз большеразмера отверстия.Качество сеточной модели в ANSYS значительно влияет на сходимость,скорость получения решения и его точность.
Если сходимости не удается достичь, следует улучшать (детализировать) конечно-элементную сетку. В задаче33об упругом теле с отверстием, близким к круговому, при рассмотрении различных вариантов разбиений было получено, что для достижения результатов сминимальной погрешностью требуется использовать равномерную сетку. Ключевые точки для построения этой сетки выбираем при отношении 1:5 радиуса отверстия и самой пластины, по границе пластины с интервалом 0,1, самоотверстие разбиваем произвольно [67; 68]. Данное разбиение оптимально длядостижения лучшей сходимости и результатов с погрешностью в один − двапроцента (рис.
2.6). В силу того, что рассматривается лишь четверть пластинызадаем следующие граничные условия по двум ее краям: закрепляем нижнююгрань конструкции по оси и грань слева по оси . Далее на верхней границе задаем единичное давление (см. рис. 2.6). Увеличивая интервал или изменяяразмеры пластины, в зависимости от формы отверстия, может варьироватьсяпогрешность сходимости решения методом конечных элементов к аналитическому решению.Рисунок 2.6 — Пример разбиения четверти упругой плоскости с почтикруговым отверстием на сетку конечных элементов342.6.2Результаты расчетовРассмотрим случай почти кругового отверстия, форма которого задаетсяфункцией cos 2, максимальное отклонении границы отверстия от окружностиединичного радиуса равно 0,5 (кривая 3 на рис. 2.5b).
Методом возмущений поформуле (2.19) получено, что коэффициент концентрации напряжений примерно равен 5. Выполняя действия, описанные в предыдущем параграфе, строиммодель упругого тела с отверстием, близким к круговому, в двумерной постановке задачи, используя пакет конечно-элементного анализа ANSYS. На различных разбиениях сетки получаем сходимость к аналитическому решению спогрешностью в два процента (рис. 2.7).Рисунок 2.7 — Окружные напряжения у границы отверстия () = cos 2 при = 0.535Таким образом, решение задачи о напряженно-деформированном состоянии упругого тела с почти круговым отверстием, построенное методом возмущений, дает достаточно хороший результат в первом приближении. Сопоставляяэто решение с решением в пакете конечно-элементного анализа ANSYS обнаружено, что погрешность первого приближения, в большинстве рассмотренныхслучаев вплоть до значения = 0,5, не превышает четырех процентов.
Болееточную оценку можно получить при помощи анализа следующих приближений, используя алгоритм нахождения первого приближения по формулам (2.5),(2.8), (2.12) и (2.13).2.7ВыводыВ данной главе применен метод возмущений границы к решению плоскойзадачи теории упругости о напряженно-деформированном состоянии бесконечного тела с близким к круговому отверстием. В общем случае разработан алгоритм нахождения любого приближения и приведены формулы, по которым этоприближение может быть найдено. Опираясь на полученные в первом приближении комплексные потенциалы для почти кругового отверстия, в программном пакете MAPLE построены графики зависимости концентрации напряженийот полярного угла при различных значениях малого параметра .Так как точного решения задачи об упругой плоскости с почти круговымотверстием () = cos , = 2,3,...
не существует, то для анализа погрешности использовано точное решение задачи об упругой плоскости с эллиптическимотверстием, граница которого на концах большой и малой оси касается границы близкого к круговому отверстия. В результате сопоставления графическихрезультатов в первом приближении для почти кругового отверстия с точнымрешением для эллиптического обнаружено, что погрешность первого приближения в рассмотренных случаях менее пяти процентов. Также на основе первого приближения сделан вывод о том, что на напряженно-деформированноесостояние упругой плоскости с отверстием, близким к круговому, влияет форма36этого отверстия. Распределение окружных напряжений на границе зависит какот величины малого параметра , так и от радиуса кривизны отверстия.В пакете конечно-элементного анализа ANSYS построено решение близкое к найденному, методом возмущений с погрешностью в два − три процентавплоть до значения = 0,5, что позволяет сделать вывод о приемлемой точности метода в первом приближении для рассмотренных вариантов отверстий.37Глава 3Совместная деформация цилиндрическогомакровключения и матрицыВ данной главе метод возмущений, примененный для случая почти кругового отверстия, обобщен для решения более сложной и общей задачи онапряженно-деформированном состоянии в окрестности упругого включения,для которой точного аналитического решения не существует.
Достаточно хорошая точность первого приближения, которая была выявлена во второй главе,позволяет здесь для получения результатов так же, как и в задаче с почтикруговым отверстием, ограничиться рассмотрением первого приближения.3.1Классическая постановка задачиРассмотрим бесконечное упругое тело с включением, форма которого мало отличается от окружности единичного радиуса. Считаем, что под действиемнагрузки на бесконечности, тело находится в условиях плоской деформации.Таким образом, приходим к двумерной постановке краевой задачи для упругойплоскости комплексного переменного = 1 + 2 с почти круговым включением.
Пусть матрице соответствует область Ω1 , включению — Ω2 . Упругиесвойства каждой области Ω , = 1,2, определяются коэффициентом Пуассона и модулем сдвига . Общая граница Γ определяется тем же соотношением(2.1).38Рисунок 3.1 — Границы включений, определяемые функцией () = cos 2 при = 0,1; 0,2; 0,3 (соответственно 1, 2, 3) и круговое включение (4)Кривые на рис. 3.1 построены при () = cos 2, их максимальное отклонение от окружности = 0,3. Для сравнения на рис. 3.1 приведена такжеграница кругового включения, для которого известно решение соответствующей краевой задачи [38; 69].Предполагаем, что на границе контакта двух сред Γ выполнены условияидеального сцепления−Δ () = + − − = 0, Δ () = + − = 0,(3.1)а на бесконечности заданы напряжения в декартовой прямоугольной системекоординат 1 , 2 ( = 1 + 2 ) и угол поворота lim = ∞ ,→∞lim = 0.→∞(3.2)39Здесь = + , = 1 + 2 ; , — нормальное и касательное напряжения, действующие на площадке с нормалью n; 1 , 2 —компоненты вектораперемещений в системе координат 1 , 2 .
В формуле (3.1) введены обозначения± = lim (), ± = lim (). Знак «–» берется при ∈ Ω1 , а «+» при→∈Γ→∈Γ ∈ Ω2 .3.2Основные соотношенияСогласно работе М. А. Грекова [66], напряжения и перемещения в каждомобласти Ω ( = 1, 2) выражаются через четыре голоморфные функции Φ ()и Ψ ()(, ) = Φ () + Φ () +Здесь[︁Φ′ ()⎧⎨ ,]︁+ Ψ () −2 , ∈ Ω .(3.3) = 1,(3.4)⎩ −2 , = −κ ,где κ = (3 − )/(1 + ) при плоском напряженном состоянии, κ = 3 − 4(, ) =при плоской деформации; — угол между осями t и 1 .Следуя Мусхелишвили [12], введем новые функции ϒ (), голоморфные в̃︀ = { : ¯−1 ∈ Ω } с границей Γ,̃︀ которая симметрична интерфейсуобластях ΩΓ относительно единичной окружности,ϒ () = −Φ (¯ −1 ) + −1 Φ′ (¯ −1 ) + −2 Ψ (¯ −1 ), ¯−1 ∈ Ω .(3.5)Выразив функции Ψ () из (3.5) и подставив в (3.3), приходим при ∈ Ωк следующему выражению[︂1(, ) = Φ () + Φ () + 2¯(︂(︂ )︂)︂ (︂)︂]︂11Φ () + ϒ+ −Φ′ () −2 .¯¯(3.6)40Устремляя → ∈ Γ, ∈ Ω [69], соотношение (3.6) сводится к краевымусловиям для комплексных потенциалов Φ и ϒ на границе контакта[︂ (︂(︂ )︂)︂ (︂′ − 11+ −Φ () + ϒ ¯(, ) = Φ ()+Φ ()+ ′ + 2)︂]︂1Φ′ () ¯2 .¯(3.7)̃︀ , = .Здесь Φ () = lim Φ () при ∈ Ω и ϒ () = lim ϒ () при ∈ Ω→→3.3Метод возмущений̃︀ причем Γ = Γ̃︀ только при = 0, тоВ уравнении (3.7) ∈ Γ, а ¯−1 ∈ Γ,есть в случае кругового включения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
