Диссертация (1149563), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Согласно [72], основной материал пластины моделируется плоскими элементами типа shell281 — оболочка, состоящая из восьмиузловых элементов, а приповерхностный слой моделируется элементами типаlink180. Строим пластину в плоскости . Материал рассматриваем со следующими упругими свойствами = 58,17 ГПа; = 26,13 ГПа, упругие свой-70ства на поверхности определяются при помощи постоянных = 6,8511 Н/м; = −0,376 Н/м.Качество сеточной модели в ANSYS значительно влияет на сходимость,скорость получения решения и его точность. Если сходимости не удается достичь, следует улучшать (детализировать) конечно-элементную сетку. В задачеоб упругом теле с наноотверстием близким к круговому при рассмотрении различных вариантов разбиений было получено, что для достижения результатовс приемлемой точностью используется функция ”LESIZE” для разбиения границ пластины с определенным интервалом, функция ”LMESH” для формирования узлов и линейных элементов вдоль линий, а также функция ”AMESH”для формирования узлов и элементов в самой пластине [67; 68].
Следует отметить требование на ограничение размеров элементов, а именно: переход отболее мелкой сетки к более крупной должен быть ”плавным”, что обеспечиваетнебольшое различие размеров элементов в малой окрестности любого из узлов [67]. Так как, размер отверстия намного меньше размеров самой пластинысетка конечных элементов вблизи границы отверстия должна быть более мелкой по сравнению с разбиением на удаленных краях пластины, где действуютрастягивающие напряжения.В силу того, что рассматривается лишь четверть пластины, задаем следующие граничные условия по двум ее краям: закрепляем нижнюю грань конструкции по оси и грань слева по оси . Далее на верхней границе задаемединичное давление.
Увеличивая интервал или изменяя размеры пластины, взависимости от формы отверстия, может варьироваться погрешность сходимости решения методом конечных элементов к аналитическому решению.4.8.2Результаты компьютерного моделированияРассмотрим задачу об упругой плоскости с почти круговым отверстиемнанометрового размера, форма которого определяется функцией () = cos 2 иотклонение границы отверстия от окружности радиуса = 2 нм равно 0,1 (красная кривая на рис. 4.3a). Методом возмущений по формуле (4.34) получено, что71ККН примерно равен 3,24.
Выполняя действия, описанные в предыдущем параграфе, строим модель упругого тела с наноотверстием, близким к круговому,в двумерной постановке задачи при помощи пакета конечно-элементного анализа ANSYS. На различных разбиениях сетки получаем сходимость к аналитическому решению с погрешностью в один процент. Поле напряжений вблизиотверстия при одноосном растяжении представлено на рис. 4.6.Рисунок 4.6 — Напряженное состояние пластины вблизи отверстия () = cos 2 при = 2 нм и = 0,1Относительная разность ККН с учетом свойств поверхности, отличныхот основного материала, представлены в таблице 4.1.
Здесь введено новоеобозначение max отвечающее значению окружного напряжения для ККН∞ = max /22, найденного методом конечных элементов при помощи пакета∞ANSYS. В таблице 4.1 и далее в этом параграфе, = max /22при = 0,т. e. ККН для классической задачи без учета поверхностного напряжения. Ана-72лизируя представленные результаты можем сделать вывод о том, что влияниеповерхностного эффекта возрастает с увеличением значения , т.
е. при большем отклонении границы отверстия от круговой формы., нм1357( − )/0,117,8%7%4,3%3,1%0,219%7,7%4,8%3,5%0,319,6%8%5%3,7%Таблица 4.1Влияние формы возмущения и размера отверстия на ККННа рис. 4.7 представлены графические зависимости ККН на границеотверстия () = cos 2 (см. рис 4.1a) для различных значений малого параметра от радиуса базового кругового отверстия .Рисунок 4.7 — Зависимость ККН от радиуса при = 1 (синие кривые) и = 0 (красные прямые) для различных значений 73На рис. 4.8 представлены относительные разности ККН между численнымрешением методом конченых элементов и аналитическим решением методомвозмущения границы для различных значений малого параметра от радиуса базового кругового отверстия .
Для вычисления относительной разностииспользуем формулу Δ = ( − )/.Рисунок 4.8 — Относительная разность ККН Δ для численного ианалитического решения задачиТаким образом, при радиусе отверстия в диапазоне от 1 до 20 нм проявляется размерный эффект (size effect) характерный для наноструктурныхматериалов.4.9ВыводыВ данной главе методом возмущений границы решена задача о почтикруговом наноотверстии в упругом теле при учете поверхностного напряжения. В каждом приближении решение задачи сведено к последовательному решению сингулярного интегро-дифференциального уравнения относительно поверхностного напряжения.
Разработан точный математический алгоритм решения интегрального уравнения для любого приближения в виде степенного74ряда с неизвестными коэффициентами. В отличие от работы [57], решение построено без привлечения конформного отображения. Рассмотрены различныеформы наноотверстий близких к круговым. Выведена формула для окружногонапряжения в первом приближении и продемонстрирован размерный эффект,который проявляется в зависимости напряженного состояния границы от размера и формы наноотверстия.Также, методами компьютерного моделирования при использовании пакета конечно-элементного анализа ANSYS построена модель упругой пластины сотверстием нанометрового размера, форма которого мало отличается от круговой.
Проанализировано напряженное состояние пластины на границе отверстияпри одноосном растяжении. Опираясь на результаты компьютерного моделирования, сделан вывод о приемлемой точности результата в первом приближении.Сопоставляя решение задачи, полученное при помощи метода возмущений границы, с решением методом конечных элементов обнаружено, что погрешностьпервого приближения, для рассмотренных случаев вплоть до = 0,3, не превышает пяти процентов.
В том числе, проведено сравнение результатов в пакетеANSYS с классическим решением задачи без учета поверхностного напряжения.Таким образом, проанализирован эффект поверхностных напряжений,возникающих в нанометровом диапазоне, вследствие различия упругих свойствповерхности и основного материала. В частности:∙ с увеличением радиуса базового кругового отверстия, максимальныезначения окружных напряжений на границе стремятся к классическомурешению без учета поверхностного напряжения;∙ с уменьшением радиуса базового отверстия для различных упругихсвойств поверхности максимальные значения окружных напряженийбудут неограниченно возрастать или убывать в зависимости от коэффициента ;∙ с увеличением отклонения границы отверстия от круговой формы, возрастает влияние поверхностного напряжения на напряженное состояниевблизи отверстия.
Так, при = 0,3 для отверстия радиусом 2 нм относительная разность решения задачи с учетом поверхностного напряженияи классического решения составляет примерно десять процентов.75Глава 5Напряженно-деформированное состояние упругого тела спочти круговым включением при учете межфазногонапряженияВ данной главе рассматривается плоская задача о напряженно-деформированном состоянии упругого тела с включением нанометрового размера придействии нагрузки на бесконечности с учетом межфазного напряжения. Как ив предыдущих главах, считается, что граница включения мало отличается отокружности и может быть определена произвольной функцией.
Предполагается, что тело находится в однородном поле напряжений. На границе контактадвух сред выполнены условия идеального сцепления. Как и в главе 4, используется обобщенная поверхностная теория упругости Гертина – Мердока. При помощи метода возмущений, решение задачи в каждом приближении сводитсяк однотипному сингулярному интегро-дифференциальному уравнению относительно межфазного напряжения. Решение интегрального уравнения представляется в виде степенного ряда с неизвестными коэффициентами. Задача решена для любого приближения и любой непрерывно-дифференцируемой функции, определяющей форму включения. При использовании пакета компьютерной математики MAPLE построены графические зависимости ККН от радиусабазового кругового включения в первом приближении. Исследован размерныйэффект, в частности проанализировано влияние размера и формы нановключения на напряженное состояние границы упругого включения.765.1Постановка задачиРассмотрим упругую плоскость комплексного переменного = 1 + 2 свключением нанометрового размера, форма которого мало отличается от кругарадиуса .
Пусть матрице соответствует область Ω1 , включению — Ω2 . Упругиесвойства каждой области Ω , = 1,2, определяются коэффициентом Пуассона и модулем сдвига . Общая граница Γ представляется в виде (4.1).На рис. 5.1 кривая построена при () = cos 2, ее максимальное отклонение от окружности = 0,1. Для сравнения на рис. 5.1 приведена также границакругового включения, для которого известно решение соответствующей краевой задачи [50].Рисунок 5.1 — Почти круговое включение (сплошная линия) в бесконечнойупругой пластине под действием усилий на бесконечности ( = 0,1)77Предполагаем, что на межфазной границе контакта двух сред Γ отсутствуют разрывы перемещений, а скачок напряжений ( = 1, 2) будем определять через межфазное напряжение = /, используя обобщенный законЛапласа – Юнга [40; 57].
Условия контакта имеют вид:Δ () = + − − =1 −≡ (),ℎ (5.1)−Δ () = + − = 0,(5.2)где радиус кривизны и метрический коэффициент ℎ определяются по формулам (4.3), аналогично главе 4.Напряжения (, = 1, 2), в декартовой прямоугольной системе координат 1 , 2 , и угол поворота материальной частицы на бесконечности определяются следующим образомlim = ∞ ,→∞lim = 0.(5.3)→∞Здесь () = + , = 1 +2 ; , — нормальные и касательныеусилия, действующие на площадке с нормалью n; 1 , 2 —компоненты вектораперемещений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
