Диссертация (1149563), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Сравнение с задачей о почти круговом отверстии (2 = 0)показывает, что наличие включения во всех случаях снижает концентрациюнапряжений в матрице.Рисунок 3.2 — Зависимость напряжений от полярного угла длявключения () = cos 2 при = 0,1 и = 1/3; 3 (a, b)50Рисунок 3.3 — Зависимость напряжений от полярного угла длявключения () = cos 2 при = 0,5 и = 1/3; 3 (a, b)Рисунок 3.4 — Зависимость напряжений от полярного угла длявключения () = cos 4 при = 0,1 и = 1/3; 3 (a, b)51Рисунок 3.5 — Зависимость напряжений от полярного угла длявключения () = cos 4 при = 0,5 и = 1/3; 3 (a, b)Рисунок 3.6 — Зависимость напряжений от полярного угла длявключения () = cos 8 при = 0,1 и = 1/3; 3 (a, b)52Рисунок 3.7 — Зависимость напряжений от полярного угла длявключения () = cos 8 при = 0,5 и = 1/3; 3 (a, b)Для однородной плоскости, когда упругие свойства матрицы ивключения совпадают, распределениеокружных напряжений вдоль единичной окружности и вдоль включения,близкого к круговому ( () = cos 2),с параметрами = 0,3 и = 1 представлено на рис.
3.8. В данном случае + = − = в каждом приближении, однако напряжения на почти круговой кривой отличаются отнапряжений на единичной окружноРисунок 3.8 — Зависимость отполярного угла при = 0,3 и = 1сти.533.7.2Табличные данныеВ табл. 3.1 и табл. 3.2 приведены значения коэффициентов концентрациинапряжений для задачи с включением, близким к круговому ( () = cos 2),полученные для случая одноосного растяжения вдоль оси 2 , т. е.
11 = 12 = 0,∞22 > 0, при различных значениях , по формуле = max /22, в которойзначения найдены по формулам (3.32), (3.33) при = 0.Для сравнения приведем в таблице 3.3 значения коэффициента концентрации напряжений для задачи с круговым включением единичного радиуса.Здесь значения вычисляются по формулам (3.34), (3.35) при = 0. = 0,1 = 0,3 = 0,5−max ∞22+max ∞22−max ∞22+max ∞22−max ∞22+max ∞2203,404,20501/31,870,761,981,032,091,3130,480,970,640,370,8-0,23Таблица 3.1Значения коэффициентов концентрации напряжений для включения () = cos 2 при различных значениях и −max ∞22+max ∞220301/31,810,6230,41,27Таблица 3.2Значения коэффициентов концентрации напряжений для круговоговключения ( = 0) при различных значениях Из приведенных данных следует:∙ При более мягком почти круговом включении ( < 1) концентрация напряжений во включении и матрице выше, чем в случае кругового включения, соответствующего нулевому приближению.
При этом в матрицеконцентрация напряжений выше, чем во включении.54∙ При более жестком почти круговом включении ( > 1) результатыпрямо противоположны.∙ При увеличении параметра концентрация напряжений в первом случае возрастает, во втором — снижается.3.8ВыводыВ данной главе, метод возмущений границы, разработанный в главе 2, применен к решению плоской задачи о совместной деформации цилиндрическоговключения, близкого к круговому, и матрицы. В каждом приближении, решениезадачи сводилось к двум независимым краевым задачам Римана – Гильберта.
Вотличие от работы [29], где решение получено только в первом приближении,разработан алгоритм нахождения любого приближения в терминах элементарных функций.В явном виде для первого приближения приведены выражения комплексных потенциалов и формулы для напряжений на границе включения, формакоторого задана по косинусоидальному закону. Получены распределения и построены графики зависимости коэффициента концентрации окружных напряжений вдоль границы от полярного угла для различных упругих свойств матрицы и включения.
Опираясь на результаты нулевого и первого приближения,исследовано напряженно-деформированное состояние тела с включением в зависимости от геометрических и физических параметров в окрестности упругоговключения. В результате сопоставления графических результатов с задачей опочти круговом отверстии сделан вывод, что наличие включения снижает концентрацию напряжений в матрице.55Глава 4Напряженно-деформированное состояние упругого тела сблизким к круговому отверстием при учетеповерхностного напряженияВ главе 2 для задачи об упругом бесконечном теле с отверстием приплоской деформации был применен метод возмущений границы, который позволил оценить влияние погрешности отклонения формы отверстия от круговой на напряженно-деформированное состояние на границе дефекта.
В данной главе разработанный метод распространен на случай нанометровых отверстий, на границе которых действуют поверхностные напряжения. Для решения задачи используется упрощенная теория поверхностной упругости Гертина – Мердока. В каждом приближении решение задачи сводится к сингулярному интегро-дифференциальному уравнению относительно неизвестного поверхностного приближения. Решение интегрального уравнения представляетсяв виде степенного ряда с неизвестными коэффициентами. Следует отметить,что решение задачи об упругом теле с почти круговым наноотверстием найдено в каждом приближении для любой непрерывно-дифференцируемой функции, определяющей форму отверстия.
Графические результаты представленыдля отверстия, граница которого задана функцией () = cos . Опираясь нарезультаты нулевого (круговое отверстие) и первого приближения, исследовано влияние поверхностных напряжений на напряженное состояние тела вблизинаноотверстия в зависимости от геометрических и физических параметров задачи. Также, проведен сравнительный анализ решения задачи методом конечных элементов при учете поверхностного напряжения с классическим решениемзадачи.564.1Постановка задачиРассматриваем бесконечное упругое тело с наноотверстием, форма которого мало отличается от круга радиуса .
Под действием внешних сил и дополнительных поверхностных напряжений тело находится в условиях плоскойдеформации. Таким образом, приходим к формулировке двумерной краевойзадачи для упругой плоскости комплексного переменного = 1 + 2 с почтикруговым наноотверстием. Граница Γ определяется равенством ≡ = = (1 + ()) ,(4.1)где = , () — непрерывно-дифференцируемая функция, удовлетворяющаяусловию | | 6 1, — малый параметр, равный относительному максимальномуотклонению границы отверстия от окружности радиуса (Рис. 4.1), > 0, ≪ 1.Рисунок 4.1 — Примеры границ почти круговых отверстий для функции () = ( + − )/2 = cos , = 2, 4, 8 (a, b, c)Согласно обобщенному закону Лапласа – Юнга [3; 11], граничное условиеимеет вид [41; 57]: () = + =1 −+ () ≡ () + (), ∈ Γ,ℎ (4.2)57где , — нормальные и касательные усилия в локальной декартовой прямоугольной системе координат , (в уравнении (4.2) ось n перпендикулярнаΓ); = характеризует поверхностное напряжение, отнесенное к ; —внешняя нагрузка.
Метрический коэффициент ℎ (коэффициент Ламе) и радиус кривизны , в единицах радиуса базового отверстия , определяются поформулам [70]1 = = √︁ℎ′1 ′′2 − ′2 ′′11, = =ℎ322′′1 + 21и могут быть переписаны в виде1112( ′ )2 − (1 + ) ′′ + (1 + )2√︀= =, = =.ℎℎ3( ′ )2 + (1 + )2(4.3)Здесь введено обозначение: = ().На бесконечности заданы напряжения в системе координат 1 , 2 иугол поворота lim = ∞ ,→∞lim = 0.→∞(4.4)В случае плоской деформации определяющие соотношения поверхностной[3; 5; 6] и объемной [12] линейной теории упругости, согласно [40; 57], можнозаписать в виде = 0 + ( + 2 ) , 33= 0 + ( + 0 ) ,(4.5) = ( + 2) + , = ( + 2) + ,(4.6) = 2 , 33 =( + ).+(4.7)В равенствах (4.5)–(4.7) величина 0 — остаточное поверхностное напряжение, которое действует при отсутствии деформаций, — окружная поверхностная деформация, и — модули поверхностной упругости, аналогичныепостоянным Ламе и , — компоненты объемной деформации в классической теории упругости.58Для нахождения неизвестного поверхностного напряжения, кроме соотношений (4.2)–(4.7), потребуется условие идеального сцепления поверхности сосновным материалом, выраженное в равенстве окружных деформаций на границе Γ () = (), ∈ Γ.(4.8)Таким образом, сформулирована задача о напряженно-деформированномсостоянии упругого тела с почти круговым наноотверстием при учете поверхностного напряжения.4.2Основные соотношенияДля решения задачи используем комплексные потенциалы Гурса –Колосова и метод Мусхелишвили [12].
Согласно [12; 66], вектор напряжений = + на площадке с нормалью n и вектор перемещений = 1 + 2выражается через две функции Φ и Ψ, голоморфные вне отверстия (областьΩ), при помощи равенства[︁]︁ ¯′, ∈ Ω.(,) = Φ() + Φ() + Φ () + Ψ()Здесь(,) =⎧⎨ ,(4.9) = 1,⎩ −2 , = −κ,где κ = (3 − )/(1 + ) при плоском напряженном состоянии, κ = 3 − 4 приплоской деформации; = || , ¯ = , — угол между осями t и 1 ,отсчитываемый от оси 1 против часовой стрелки.Аналогично предыдущим главам, используя формулу (2.4), вводим новую̃︀ = { : ¯−1 ∈ Ω} с границей Γ,̃︀ котораяфункцию ϒ(), голоморфную в области Ωсимметрична кривой Γ относительно единичной окружности.Выразим функцию Ψ() из (2.4) и подставим в (4.9) при = 1.
В полученном равенстве, устремим → ∈ Γ, ∈ Ω и, учитывая соотношение (4.2),приходим к условию (2.6), которому должны удовлетворять предельные значе-59ния комплексных потенциалов Φ и ϒ. Аналогично главе 2, при = 1, получимвторое условие (2.7), которому должны удовлетворять предельные значениякомплексных потенциалов.С учетом граничного условия (4.2) из (2.6) определим краевое условие ввиде1 −= Φ() + Φ()+ℎ [︂ (︂(︂ )︂)︂ (︂′ − 11+ −Φ() + ϒ ¯+ ′ + 24.3)︂]︂1Φ′ () ¯2 . (4.10)¯Метод возмущенийСледуя методу возмущений, разработанному и примененному в предыдущих главах, представим функции Φ, ϒ и ≡ в виде степенных рядов помалому параметру Φ() =∞∑︁=0!Φ (), ϒ() =∞∑︁=0!ϒ (), () =∞∑︁=0! ().В свою очередь разложим граничные значения функций Φ () на Γ и̃︀ а также функции () в соответствующие ряды Тейлорафункций ϒ () на Γ,в окрестности окружности = 1 по формулам (2.9). В этом случае, выражениедля функции в (4.10) при ∈ Γ: () =∞∞∑︁ ∑︁ ( ())=0!=0!() ().(4.11)Кроме того, другие функции, входящие в (4.10), также разлагаем в степенныеряды по малому параметру (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
