Диссертация (1149563), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В общем случае при 0 < ≪ 1 кривые̃︀ представляют собой малое возмущение единичной окружности. В связиΓиΓс этим для нахождения неизвестных функций Φ (), ϒ () и решения задачив целом можно применить метод возмущений, предложенный М. А. Грековым[66]. Раскладываем искомые функции в ряды по степеням малого параметра ,аналогично задаче с отверстиемΦ () =∞∑︁=0!Φ (), ϒ () =∞∑︁=0!ϒ (),(3.8)̃︀ — ва их предельные значения Φ , ϒ на соответствующих границах Γ и Γряды Тейлора в окрестности единичной окружности (|| = 1)Φ () =∞∑︁(1 ())=0!()Φ (),(︂ )︂ ∑︁(︂ )︂∞11(1 (¯)¯) ϒϒ ¯ =.!¯¯=0(3.9)Кроме того, другие функции, входящие в (3.7), также разлагаем в степенные ряды по малому параметру (см. гл. 1).Учитывая определение функции (3.6), соотношение (3.1) примет вид1 + (,2 ) − 2 − (,1 ) = 0,(3.10)41где = 1, = 1, 2 при 1 = 2 = 1 и = при = −κ .3.4Задачи Римана – ГильбертаПодставим (3.7) в (3.10) с учетом разложений (3.8), (3.9) и собрав в полученном равенстве коэффициенты при , = 0,1, .
. . , приходим для каждого приближения к двум независимым краевым задачам Римана – Гильберта оскачке голоморфных функций Σ () и ()−Σ+ () − Σ () = (), || = 1,+ () − − () = (), || = 1.(3.11)±Здесь Σ± = lim Σ (), = lim (); , — известные функции, зави||→1∓0||→1∓0сящие при > 0 от всех предыдущих приближений и усилий на бесконечности(3.2). Голоморфные функции Σ (), () вводятся следующим образом{︃Σ () ={︃ () =ϒ1 () + Φ2 (), || < 1,ϒ2 () + Φ1 (), || > 1,2 ϒ1 () − 1 κ2 Φ2 (), || < 1,1 ϒ2 () − 2 κ1 Φ1 (), || > 1.(3.12)(3.13)Согласно [69], решения задач (3.11) могут быть записаны в видеΣ () = 1 () + 0 + () + 1 , ∈ Ω1 ∪ Ω2 , () = 2 () + 1 0 − 2 κ1 1 + 2 (), ∈ Ω1 ∪ Ω2 ,где11 () =2∫︁Γ ()1, 2 () = −2∫︁ (), −Γ∞∞и 0 = 2 −2 , = 0 ( = 1,2, . .
. ), 41 = 11+ 22+ 81 ∞ /(κ1 + 1),∞∞∞22 = 22− 11+ 212.42Константа 0 определяется из уравнения [69](1 − 2 )0 − (2 + 1 κ2 )0 = 2 (1 + κ1 )1 .(3.14)Значения для комплексных потенциалов в каждом приближении получаем из (3.12), (3.13) по формуламΦ () = Σ () − () κ Σ (¯ −1 ) − (¯ −1 ), ϒ (¯ −1 ) =, + κ + κ(3.15)где ∈ Ω , = 3 − , = 1, 2.3.5Нулевое приближениеВ нулевом приближении 0 = 0, 0 = 0. В качестве значений комплексныхпотенциалов в нулевом приближении будем использовать решение задачи длякругового включения, полученное в [69](︂ )︂1 (κ2 + 1)0 + (1 κ2 − 2 κ1 )11=+ 2 ¯2 ,ϒ102 + 1 κ2(3.16)Φ10 () = 1 +1 − 2 2, || > 1,1 + 2 κ1 2(︂ )︂2 (κ1 + 1)2 ¯21ϒ20=+ 0 ,¯1 + 2 κ1(3.17)Φ20 () =(2 − 1 )0 + 2 (κ1 + 1)1, || < 1.2 + 1 κ2Для краткости, здесь и далее в главе 5, будем использовать обозначения=1−(κ1 + 1)κ2 + 12, =, =, = .1 + κ1 + κ2 + κ2143Тогда формулы (3.16), (3.17) перепишутся в виде(︀ )︀ϒ10 ¯−1 = (1 − )1 + 0 + 2 ¯2 , Φ10 () = 1 + 2 −2 ,(︀ )︀ϒ20 ¯−1 = 0 + (1 − )2 ¯2 , Φ20 () = 1 + (1 − )0 .3.6(3.18)(3.19)Первое приближениеСледуя описанному алгоритму, получим значения () и () в первомприближении)︂(︁)︁)︁(︀ −1 )︀(︀ −1 )︀1 () (︁ϒ20 ¯+ Φ20 () − ϒ10 ¯+ Φ10 () −1 () = −2 1 () − (︁)︁′′′′− 1 () (Φ20 () − Φ10 ()) + 2¯1 () Φ20 () − Φ10 () −(︃(︀ −1 )︀ )︃(︀ −1 )︀ϒ20 ¯ϒ10 ¯−,(3.20)− ¯1 (¯)¯¯(︂)︂(︁)︁)︁(︀ −1 )︀(︀ −1 )︀1 () (︁+ Φ20 () − ϒ10 ¯ϒ20 ¯+ Φ10 () −1 () = −2 1 () − (︁)︁′′′′− 1 () (κ2 Φ20 () − κ1 Φ10 ()) + 2¯1 () Φ20 () − Φ10 () −(︃(︀ )︀(︀ )︀ )︃ϒ10 ¯−1ϒ20 ¯−1− ¯1 (¯) −.(3.21)¯¯(︂Из формул (3.18), (3.19) вытекают следующие соотношенияΦ10 () = 1 + 2 2 , Φ′10 () = −22 −3 , Φ′10 () = −22 3 ,Φ20 () = 1 + (1 − )0 , Φ′20 () = 0, Φ′20 () = 0,(︀ )︀ϒ10 ¯−1= 22 −1 ,¯(︀ )︀ϒ20 ¯−1= 2(1 − )2 −1 .¯(3.22)443.6.1Комплексные потенциалыПодставляя значения (3.18), (3.19), (3.22) в соотношения (3.20), (3.21), решаем соответствующие краевые задачи Римана – Гильберта.
Используя формулы (3.15), получим значения искомых комплексных потенциалов Φ1 , ϒ1 впервом приближении для почти кругового включения, форма которого определяется функцией () = cos 2:Φ11 () =(︀)︀1[ −2 1 (1 − ) + 1 + 0 − (1 (2 − ) + 0 ) +1 + κ1(︀)︀+ −4 2 ( + 2) − 2 (2 + κ1 ) ], ∈ Ω1 , (3.23)1[2 (κ2 + ) + 2 ((κ2 + 2 − κ1 ) + 2( − 1)) − + κ2(︀(︀)︀)︀− 3 2 (κ2 2(1 − )0 + 1 + 1 ( − 1) + 0 (2 − ) + 1 −̃︀ 1 , (3.24)− (1 (2 − ) + 0 )) + 52 4 (κ2 + )], ∈ Ωϒ11 () =Φ21 () =(︀(︀)︀)︀1[ −2 0 (2 − ) + 1 − 1 + 1 ( − 1) + 0 (2 − ) + + κ2+ 2 −4 (((3 − κ1 ) − 2) + 2(1 − ))], ∈ Ω2 , (3.25)1[2 (κ1 + 1) + 22 ( − 1 + ) − 3 2 (0 (2 − )+1 + κ1(︀(︀)︀)︀+ 1 + κ1 2(1 − )0 + 1 + 1 ( − 1) − (1 (2 − ) + 0 ))+̃︀ 2 .
(3.26)+ 52 4 (κ1 + 1)],∈Ωϒ21 () =Для случая границы включения, определяемой функцией () = cos при > 2 (см. рис. 2.1b и рис. 2.1c), выражения для комплексных потенциалов45примут вид(︀)︀1[ − ( − 1) 1 (1 − ) + 1 + 0 − (1 (2 − ) + 0 ) +1 + κ1(︀)︀+ −(+2) 2 ( + ) − 2 ( + κ1 ) + 2− ( − 3)2 (1 − )], ∈ Ω1 ,Φ11 () =(3.27)ϒ11 () =(︀(︀)︀)︀1[ ( + 1)(κ2 20 ( − 1) + (1 − ) 1 + 1 − 0 (2 − )− + κ2− 1 + (1 (2 − ) + 0 )) + −2 2 (κ2 ( − 1) − (1 − ) + ( − κ1 ))+̃︀ 1 , (3.28)+ +2 ( + 3)2 (κ2 + )], ∈ ΩΦ21 () =(︀)︀1[ − ( − 1)(0 (2 − ) − 1 + 1 ( − 1) + 0 (2 − ) + + κ2+ 1 ) + −(+2) 2 ((( + 1 − κ1 ) − ) + (1 − ))], ∈ Ω2 , (3.29)ϒ21 () =(︀(︀)︀)︀1[ (+1)(κ1 20 ( − 1) + 1 + 1 (1 − ) −0 (2−)−1 + κ1− 1 + (1 (2 − ) + 0 )) + −2 2 ((κ1 ( − 2) + ) − (1 − )) +̃︀ 2 .
(3.30)+ +2 ( + 3)2 (κ1 + 1)],∈ΩЕсли положить в (3.23) – (3.26) 2 = 0, 2 = 0 (тогда = 0, = 0, = 3/4,0 = 0), то получим значения комплексных потенциалов для задачи об упругойплоскости с почти круговым отверстием, и при ∞ = 0 соотношения (3.23) –(3.26) примут видΦ11 () = 32 −4 + 21 −2 , ϒ11 () = 2 + 2 + 61 2 + 52 4 ,что совпадает с формулами (2.16), полученными в главе 2. Как и следовалоожидать, в этом случае Φ21 () = 0, ϒ21 () = 0. Аналогично соотношения(3.27) – (3.30) совпадут с (2.18), при этом комплексные потенциалы Φ21 , ϒ21 ,соответствующие почти круговому включению, обратятся в нуль.463.6.2Формулы для напряженийНайдем в первом приближении выражение для окружных напряжений на интерфейсе Γ.
Для этого в (3.6) положим = 0 + /2, = 1, = 1, 2.Тогда правая часть соотношения (3.6) равна − . Подставляя разложенияфункций Φ и ϒ (3.8), (3.9) в (3.6), и собирая только члены при 0 , получимдля каждого (︀ )︀]︀[︀0 () = Re Φ0 () + 2Φ0 () + ϒ0 ¯−1 .Собирая члены при 1 , приходим к следующему соотношению1 () = Re[1 ],где(︀ )︀1 ()Φ′0 ()+1 = Φ1 () + 2Φ1 () + ϒ1 ¯−1 + 1 ()Φ′0 () + 2¯(︃(︀ −1 )︀ )︃(︂)︂ (︁(︀ −1 )︀)︁ϒ¯()01′.+2 − 1 () Φ0 () + ϒ0 ¯+ ¯1 (¯) 2Φ0 () +¯Тогда формула для окружных напряжений в первом приближении имеетвид () = 0 () + 1 ().(3.31)На границе контакта окружные напряжения имеют разрыв, поэтому, напримере кругового включения, найдем выражения 0 и для матрицы ( = 1),и для включения ( = 2).
Подставляя значения Φ10 , ϒ10 из (3.18) и учитываясоотношения (3.22), получим формулу для окружных напряжений при = 110 = − =(︀)︀(︀)︀(︀)︀]︀1 [︀(3 + 1) 2 2 + 2 −2 + (4 − ) 1 + 1 + 0 + 0 .2(3.32)Если положить в (3.32) 2 = 0, 2 = 0, то при ∞ = 0 приходим к выражению∞∞∞∞∞− = 10 = 11+ 22+ 2 (22− 11) cos 2 − 412sin 2,47что совпадает со значением для кругового отверстия, полученным в главе 2.Подставляя значения Φ20 , ϒ20 из (3.19) и учитывая соотношения (3.22),получим формулу для окружных напряжений при = 220 = + =(︀)︀(︀)︀(︀)︀]︀1 [︀(1 − ) 2 2 + 2 −2 + 3 1 + 1 + (4 − 3) 0 + 0 .2(3.33)Если положить в (3.33) 2 = 0, 2 = 0, то, как и следовало ожидать, получим+ = 0.Опираясь на результаты, полученные в нулевом приближении, и используя формулы (3.31), приходим к выражениям для окружного напряжения награнице контакта для матрицы ( = 1) и для близкого к круговому включению( = 2) в первом приближении(︀ )︀1 = − = Re[Φ11 () + 2Φ11 () + ϒ11 ¯−1 ++ 22 −2 (1 (¯) − 1 ()) − 42 2 (1 () + 1 (¯)) +(︂)︂(︀)︀1 ()+2 − 1 () 1 + 2 2 + (1 − )1 + 0 + 2 −2 ]+)︀(︀)︀(︀)︀]︀(︀1 [︀+ (3 + 1) 2 2 + 2 −2 + (4 − ) 1 + 1 + 0 + 0 , (3.34)2(︀ )︀2 = + = Re[Φ21 () + 2Φ21 () + ϒ21 ¯−1 + 21 (¯)(1 − )2 −2 +(︂)︂(︀)︀1 ()+2 − 1 () 1 + (1 − )0 + 0 + (1 − )2 −2 ]+(︀)︀(︀)︀(︀)︀]︀1 [︀+ (1 − ) 2 2 + 2 −2 + 3 1 + 1 + (4 − 3) 0 + 0 .
(3.35)2Аналогично равенствам (3.31), при помощи соотношений (3.7), выражениядля нормальных и касательных напряжений в первом приближении запишутсяв виде:(︀ )︀1−= = Re[Φ11 () − ϒ11 ¯−1 − 22 −2 (1 (¯) + 1 ()) + 42 1 ()2 −(︂)︂(︀)︀1 ()−2 − 1 () 1 + 2 2 + (1 − )1 + 0 + 2 −2 ]+)︀(︀)︀(︀)︀]︀1 [︀ (︀+ 1 + 1 − ( + 1) 2 2 + 2 −2 − 0 + 0 ,248(︀ )︀1−= = Im[Φ11 () − ϒ11 ¯−1 − 22 −2 (1 (¯) + 1 ()) + 42 1 ()2 −(︂)︂(︀)︀1 ()−2 − 1 () ) 1 + 2 2 + (1 − )1 + 0 + 2 −2 ]+)︀(︀)︀(︀)︀]︀1 [︀ (︀+ 1 + 1 − ( + 1) 2 2 + 2 −2 − 0 + 0 ,2(︀ )︀2+= = Re[Φ21 () − ϒ21 ¯−1 − 21 (¯)(1 − )2 −2 −)︂(︂(︀)︀1 ()− 1 () 1 + (1 − )0 + 0 + (1 − )2 −2 ]+−2 )︀(︀)︀(︀)︀]︀1 [︀ (︀+ 1 + 1 − (1 − ) 2 2 + 2 −2 − 0 + 0 ,2(︀ )︀2+= )(1 − )2 −2 −= Im[Φ21 () − ϒ21 ¯−1 − 21 (¯)︂(︂(︀)︀1 ()− 1 () 1 + (1 − )0 + 0 + (1 − )2 −2 ]+−2 )︀(︀)︀]︀)︀(︀1 [︀ (︀+ 1 + 1 − (1 − ) 2 2 + 2 −2 − 0 + 0 ,21122где и напряжения, действующие в области Ω1 , а напряжения и —в области Ω2 .3.73.7.1РезультатыГрафические результатыПриведем графические результаты распределения окружных напряжений вдоль границы почти кругового включения в первом приближении в сравнении с нулевым приближением (круговое включение) при одноосном растяжениивдоль оси 2 , т.
е. при 11 = 12 = 0, 22 > 0, для некоторых значений параметров , , ; коэффициенты Пуассона равны 1 = 2 = 0,34. Считаем, что49граница близкого к круговому включения отклоняется от единичной окружности в радиальном направлении по косинусоидальному закону (см. рис. 2.1).На рис. 3.2 – 3.7 приведены изменения окружных напряжений для включения, форма которого определяется функцией () = cos , = 2; 4; 8 при = 0,1; 0,5, = 1/3 и = 3. Можно заметить, как меняются напряжения приувеличении параметра (по вертикали) и при изменении формы включения взависимости от (по горизонтали). Так, в случае более мягкого почти кругового включения ( < 1) зона сжатия в матрице шире, чем для идеально кругового включения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
