Диссертация (1149563), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Авторами сделанвывод о применимости классической механики сплошных сред к объектам нанометрового размера, в частности, отмечен учет изменения механических характеристик при приближении масштабов рассматриваемых объектов к несколькимнанометрам.В последние годы активно изучаются механические свойства графена [61],эти свойства представляют особый интерес, так как данный материал является самым тонким из известных (один слой атомов). В работе [62] изучаетсяупругие характеристики графенового листа, в частности, изгибная жесткость,определенная как коэффициент пропорциональности между компонентами тензора напряжений и крутильных деформаций.

Здесь кристаллическая решеткамоделируется набором тел-точек, связанных между собой посредством сил и моментов. В результате, в рамках дискретной модели, получена аналитическая зависимость изгибной жесткости от параметров взаимодействия на микроуровне,которая с приемлемой точностью согласуется с результатами компьютерногомоделирования. Следует отметить, что поведения и свойства наноразмерныхобъектов изучались также без привлечения понятия поверхностной энергии,например [63]. Здесь имеется в виду приближенная континуальная модель нанопластины с графеновыми слоями для вычисления прогиба и частот свободныхколебаний шарнирно опертой многослойной пластины.19В задаче о потере устойчивости плоской формы равновесия нанопластиныс круговым дефектом (отверстием и вставкой) [64;65] при учете поверхностныхнапряжений исследуется влияние жесткостных свойств пластины от ее геометрических параметров на значение критической нагрузки.

Важно заметить, чтов отличии от работы [56], где определены и исследованы эффективные тангенциальные и изгибные модули упругости, здесь учитывается только изгибнаяжесткость пластины.Таким образом, развитию разнообразных математических моделей и решению соответствующих проблем механики, связанных с деформированием,потерей устойчивости и разрушением тел на наномасштабном уровне посвящены работы многих ученых. В тоже время, существующие методы решения и сами решения немногих краевых задач, учитывающих поверхностные и межфазные напряжения в наноразмерных структурах, носят частный характер.

Какследствие, актуальным направлением является разработка новых теоретических методов для построения фундаментальных решений задач о напряженнодеформированном состоянии упругих тел с наноразмерными поверхностнымии межфазными дефектами.20Глава 2Почти круговое макроотверстие в упругом телеВ данной главе методом возмущений границы построено аналитическоерешение задачи о напряженно-деформированном состоянии упругого тела спочти круговыми дефектами при действии нагрузки на бесконечности. Путемразложения комплексных потенциалов по степеням малого параметра решениезадачи сведено в каждом приближении к однотипной краевой задаче Римана –Гильберта. Первое приближение найдено в виде выражения от элементарныхфункций.

Результаты, полученные на основе первого приближения, представлены в виде зависимостей окружных напряжений на границе отверстия от полярного угла при одноосном растяжении. Методом конечных элементов в пакетеANSYS построено решение аналогичной задачи. Произведено сравнение результатов, полученных при помощи этих методов.2.1Классическая постановка задачиРассмотрим упругую плоскость комплексного переменного = с отверстием, форма которого мало отличается от круга единичного радиуса; , −полярная система координат, − мнимая единица. В общем случае считаем, чтона границе отверстия Γ действуют нормальные и касательные усилия + = (), ∈ Γ,а на бесконечности заданы напряжения в декартовой прямоугольной системекоординат 1 , 2 ( = 1 + 2 ) и угол поворота lim = ∞ ,→∞lim = 0.→∞21Граница отверстия Γ определяется соотношением ≡ = = (1 + ()) ,(2.1)где | | 6 1, − малый параметр, равный максимальному отклонению границыотверстия от единичной окружности, > 0, ≪ 1.Рисунок 2.1 — Границы почти круговых отверстий, определяемые функцией () = cos при = 2, 4, 8 (соответственно a, b, c)На рис.

2.1 кривые построены при () = +−2= cos , где () = .Максимальное отклонение кривых от единичной окружности = 0,2. Для сравнения на рис. 2.1 приведена также граница кругового отверстия единичного радиуса, для которого известно точное решение соответствующей краевой задачи.222.2Граничное условие для комплексных потенциаловДля решения задачи используем комплексные потенциалы Гурса –Колосова и метод Мусхелишвили [12]. Согласно [12; 66] вектор напряжений = + на площадке с нормалью n и вектор перемещений = 1 + 2выражаются через две голоморфные вне отверстия (область Ω) функции Φ,Ψпри помощи равенств[︁]︁ ¯′, = Φ() + Φ() + Φ () + Ψ()(2.2)]︁ ¯′= κΦ() − Φ() − Φ () + Ψ(),2[︁где = || , ¯ = , − угол между площадкой и осью 1 ; κ == (3 − )/(1 + ) при плоском напряженном состоянии, κ = 3 − 4 при плоской деформации; , − соответственно коэффициент Пуассона и модуль сдвига упругого тела; 1 , 2 − компоненты вектора перемещений вдоль осей 1 , 2соответственно.

Черта сверху означает комплексное сопряжение, штрих − производную по аргументу.Поведение функций Φ() и Ψ() на бесконечности определяется соотношениямиlim Φ() = 1 ,→∞lim Ψ() = 2 ,→∞где∞∞∞∞∞41 = 11+ 22, 22 = 22− 11+ 212.(2.3)Следуя [12], введем новую функцию ϒ(), голоморфную в конечной обла̃︀ которая симметрична кривой Γ относисти = { : ¯−1 ∈ Ω} с границей Γ,тельно единичной окружности,ϒ() = −Φ(¯ −1 ) + −1 Φ′ (¯ −1 ) + −2 Ψ(¯ −1 ), ¯−1 ∈ Ω.(2.4)23Подставив (2.4) в первое равенство (2.2), осуществим предельный переходпри → ∈ Γ, ∈ Ω.

Тогда приходим к следующему равенству:(︂ )︂)︂ (︂(︂1+ −Φ() + ϒ ¯() = Φ() + Φ() +2[︂1)︂]︂1¯′ ()Φ,¯(2.5)где Φ() = lim Φ() при ∈ Ω и ϒ() = lim ϒ() при ∈ .→→Возьмем приращение в (2.5) вдоль касательной к Γ. Тогда, учитывая(2.1), получим = = (′ () + ())(). В результате равенство (2.5)сводится к краевому условию, которому должны удовлетворять функции Φи ϒ: () + () = Φ() + Φ()+[︂ (︂(︂ )︂)︂ (︂′ − 11+ ′+ −Φ() + ϒ ¯ + 2)︂]︂1Φ′ () ¯2 . (2.6)¯Направим приращение в (2.5) по нормали к границе отверстия Γ, для этогоположим = 0 + /2, где 0 — угол наклона касательной к границе Γ.

Такимобразом, получим второе условие, которому должны удовлетворять предельныезначения комплексных потенциалов Φ и ϒ () − () = Φ() + Φ()−[︂ (︂(︂ )︂)︂ (︂′ − 11Φ() + ϒ ¯+ −− ′ + 2где — окружное напряжение на границе отверстия.)︂]︂1Φ′ () ¯2 , (2.7)¯242.3Метод возмущенийВ силу того, что форма границы зависит от малого параметра , функции Φ(),ϒ() также должны зависеть от этого параметра и, следовательно, ихможно представить в виде сходящихся степенных рядов по , используя методвозмущений, предложенный в работе М. А.

Грекова, С. Н. Макарова [39]Φ() =∞∑︁=0!Φ (), ϒ() =∞∑︁=0!ϒ ().(2.8)В свою очередь разложим граничные значения функций Φ () на Γ и̃︀ а также функцию () в соответствующие ряды Тейлорафункций ϒ () на Γ,в окрестности окружности = 1. Тогда приходим к следующим выражениямдля функций в (2.6) при ∈ Γ:Φ() =∞∞∑︁ ∑︁ (1 ())=0!=0!Φ() (),() =∞∑︁(1 ())=0!() (),(︂ )︂ ∑︁(︂ )︂∞∞ ∑︁ (1 (¯1)¯) 1ϒ ¯ =ϒ,!!¯¯=0(2.9)=0Кроме того, полагая = 1 () и | − ′ | < 1, можно записать∞∑︁′ − ′( ′ − ) ,= −1 − 2 ′ + =0∞∞∑︁∑︁112 − ¯ = [ −(−) ],=( + 1)(−) .2=1=0(2.10)Подставим ряды (2.9) и (2.10) в (2.6).

Собирая затем в полученном равенстве коэффициенты при ( = 0,1, . . .), приходим для каждого приближенияк краевой задаче Римана−Гильберта о скачке функции Ξ (), голоморфной внеединичной окружности = 1−Ξ+ () − Ξ () = (),|| = 1.(2.11)25Здесь Ξ± = lim Ξ (), − известные функции, зависящие при > 0||→1∓0от всех предыдущих приближений, и{︃Ξ () =Φ (), || > 1,ϒ (), || < 1.(2.12)Согласно Н. И.

Мусхелишвили [12] решение задачи (2.11) можно записатьв виде1Ξ () =2∫︁ () + (), −(2.13)||=1где 0 = 1 + −1 + 2 −2 , = 0, = 1,2, . . . , и = κ/ (2(κ + 1)),а − главный вектор сил, приложенных к границе отверстия.В нулевом и первом приближениях функции в (2.11) и (2.13) равны(︀ −1 )︀¯ϒ′0 + 1 ()Φ0 ()+0 () = −(), 1 () = −′ () − ¯1 (¯)¯(︂)︂ (︁)︁(︀ )︀1 ()′+2 1 () − 1 ()Φ0 ().Φ0 () + ϒ0 ¯−1 − 2¯(2.14)Будем считать далее, что контур отверстия свободен от внешних нагрузок,т.

е. () ≡ 0. Тогда, согласно (2.12), (2.13), комплексные потенциалы в нулевомприближении имеют видϒ0 () = Φ0 () = 1 + 2 −2 .(2.15)262.4Первое приближениеПотенциалы (2.15) отвечают решению соответствующей краевой задачи для кругового отверстия единичного радиуса. Для нахождения первогоприближения рассмотрим отверстие, форма которого определяется функцией () = cos 2 (рис.

2.1a). Подставим (2.15) в (2.14), а затем 1 в (2.13), и используем свойства интегралов типа Коши. После интегрирования получим с учетом(2.12) выражения для комплексных потенциалов в первом приближенииΦ1 () = 32 −4 + 21 −2 , ϒ1 () = 52 4 + 61 2 + 2 + 2 .(2.16)Учитывая (2.3), (2.8), (2.15) и (2.16), из равенств (2.6) и (2.7) находим впервом приближении следующее выражения для напряжений на границе: = 0, = 0,∞∞∞∞∞ = 11+ 22+ 2 (22− 11) cos 2 − 412sin 2+[︀ ∞(︀)︀]︀(︀)︀∞+ 2 (11+ 22) cos 2 + 2 24 − 1 + 2 2−4 − 1 .(2.17)Для случая границы отверстия, определяемой функцией () = cos при > 2 (см. рис. 2.1b и рис.

Характеристики

Список файлов диссертации