Диссертация (1149563), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Продемонстрирован размерный эффект, а именно: влияние размера наноотверстия на напряженное состояние границы.13Также в пакете конечно-элементного моделирования ANSYS построенамодель пластины с наноотверстием, форма которого мало отличается от круговой. По результатам компьютерного моделирования определено напряженноесостояние пластины с отверстием нанометрового размера. Проанализированыотверстия различной формы и размера.
Проведено сравнение напряженного состояния методом конечных элементов и аналитическим методом возмущений.В том числе, осуществляется сравнение результатов с классическим решениембез учета поверхностных свойств материала.В главе 5 рассматривается бесконечное упругое тело с почти круговымвключением нанометрового размера. Аналогично главе 4, для решения задачииспользуется поверхностная теория упругости Гертина – Мердока. Считается,что на межфазной границе отсутствуют разрывы перемещений, а скачок напряжений определяется действием межфазного напряжения согласно обобщенному закону Лапласа – Юнга. При помощи метода возмущений, решение задачи для каждого приближения сводится к однотипному сингулярному интегродифференциальному уравнению относительно неизвестного межфазного напряжения. Решение интегрального уравнения представляется в виде степенногоряда с неизвестными коэффициентами.
В первом приближении получены результаты для почти кругового включения, граница которого задана косинусоидальной функцией. В пакете компьютерной математики MAPLE построеныграфические зависимости напряжений для включения и матрицы. Продемонстрирован размерный эффект, т. е. влияние размера нановключения на напряженное состояние границы включения.В заключении сформулированы основные результаты работы.14Глава 1Обзор литературыВ данной главе представлен обзор научной литературы по исследуемойтематике.
В первом параграфе дан краткий обзор современного состояния исследований по проблеме дефектов в твердом теле на макроуровне. В частности,приведены некоторые задачи механики твердого тела, для которых применялсяметод возмущений границ. Во втором параграфе описаны особенности свойствнаноструктурных материалов, и теоретические методы, используемые для изучения этих свойств. Также упоминаются экспериментальные работы, которыеподтвердили гипотезы поверхностной теории упругости и позволили развитьподходы для исследования соответствующих математических моделей.1.1Современное состояние исследований проблемы намакроуровнеОдной из важнейших задач теории упругости являются плоские задачи.Характерными концентраторами напряжений в материалах и элементах приборов и конструкций являются различного рода отверстия или включения (группы отверстий или включений).
Что касается круговых отверстий и включений,то на практике всегда существуют малые отклонения от круговой формы, иданный факт следует учитывать при расчете.Несмотря на то, что в классических работах Г. Н. Савина [2] и Н. И. Мусхелишвили [12] разработана общая теория и методика решения задач для упругойплоскости с отверстием на макроуровне, а также аналитически решены задачидля большого класса гипотрохоидальных и -циклоидальных отверстий, даннаятема до сих пор остается актуальной, если форма отверстия — в данном случае,близкая к круговой — не вписывается в указанный класс. Новые аналитическиерешения интересны в том смысле, что служат основой для рассмотрения со-15держательных механических задач (разрушения, потери устойчивости плоскойформы равновесия и др.). Поэтому нужны новые подходы в получении аналитических решений, их тестирование, сопоставление результатов с численнымиметодами (например, с решением методом конечных элементов) и экспериментальными данными.В случае, когда форма границы мало отличается от круговой, для решения задачи можно применить аналитический метод, именуемый методом возмущения границы.
Методом возмущений можно построить решение целого рядаважных проблем механики твердого тела. Для применения метода, как правило, используются интегральные представления и интегральные уравнения. Таким способом были исследованы трещины, близкие к круговым [29;30], а такжеполуограниченные трещины с фронтом, близким к прямой линии [31; 32]. Также метод возмущений применялся к различного рода задачам о деформацииупругого тела, имеющего волнистую внешнюю границу или границу разделаего разнородных частей. Так, Х. Гао [33] исследовал концентрацию напряжений у волнистой поверхности в двумерном и трехмерном случаях, используяфункции Грина и решения соответствующих задач [34; 35].Для решения плоской задачи теории упругости разработан метод комплексных потенциалов Колосова и метод Мусхелишвили [12; 36], без привлечения интегральные уравнения и интегральные представления.
Применяя методвозмущений с использованием соотношений Мусхелишвили и потенциалов Колосова [12], были построены решения задачи о криволинейной трещине [37], атакже решены двумерные задачи о включении, близком к круговому [38]. Однако, в названных работах авторы ограничиваются построением первого приближения, которое в случае плоской задачи теории упругости находилось различными способами. В то же время, при использовании комплексных представлений Колосова – Мусхелишвили разработан единый путь построения решенияметодом возмущений, который позволил создать алгоритм поиска любого приближения для широкого круга краевых задач [15; 23; 39–41].Следует отметить, что в настоящее время в научной мировой практикенакоплен богатый материал по изучению поверхностных дефектов на макроуровне, например, работы A. М.
Линькова, Г. П. Черепанова, М. А. Грекова,Н. Ф. Морозова, H. Gao, W. D. Nix, L. B. Freund, D. W. Hoffman и др. Однако16менее исследованным остается поведение и свойства наноразмерных материалов, в том числе тел с различными нанодефектами.1.2Теория поверхностной упругостиВ течение последней половины века в материаловедении, теории упругости и наномеханике было приложено немало усилий для изучения механического поведения наноматериалов (балок, пластин, проводов, пленок и др.)и композитов, содержащих наноразмерные неоднородности (включения, порыи отверстия), см. обзоры [42–44].
Исследование свойств материалов и упругихполей в наноструктурах и нанокомпозитах имеет важное значение для дальнейшего развития нанотехнологий, в частности, связанных с анализом, проектированием и изготовлением устройств на наноуровне.Свойства материала определяются химическим составом и структурой.Изучение поверхностных явлений представляет огромный интерес, так как дает возможность получить информацию о физико-механическом поведении всего материала.
Стоит отметить, что при переходе от макро к наномасштабномууровню увеличивается отношение числа атомов на поверхности тела к числуатомов в объеме. Это означает, что отношение объема, занимаемого атомамина соответствующей поверхности/интерфейсе и вблизи нее, к объему основного материала становится значительным. Энергия атомов, находящихся на поверхности/интерфейсе называется свободной энергией поверхности [7]. Поверхностное напряжение, связывающее изменение свободной энергии поверхностис изменением поверхностной деформации [45], оказывает большое влияние насвойства наноматериалов и поле напряжений в них. Зависимость напряженногосостояния от размеров на наноуровне также является одним из подтвержденийэтого влияния [8; 46; 47].Основные понятия свободной энергии поверхности/интерфейса и поверхностного/межфазного напряжения в твердых телах были впервые сформулированы Дж.
Гиббсом и позднее развивались другими исследователями. Гертин и Мердок [5; 6] и Гертин с соавторами [48] разработали математические17модели, учитывающие поверхностное напряжение, в механике сплошных сред.Во многих экспериментальных работах А. Д. Коротаева, С. В. Овчинникова,R. J.
Needs, H. L. Duan, X. M. Sun, J. X. Wang, D. P. Yu, R. C. Cammarata былопоказано, что с уменьшением размеров деформируемых тел до нанометрового диапазона, проявляются масштабные эффекты их механического поведения.Данный факт связан с тем, что физико-механические свойства приповерхностных слоев будут иметь значительное отличие от аналогичных свойств в глубинетела. Однако на макроуровне это отличие практически не оказывает влиянияна свойства и поведение всего тела в целом.
В то же время, для наноразмерных структур, порядка нанометра или нескольких десятков нанометров, этоотличие существенно, что проявляется во влиянии поверхностных напряженийна физические свойства материалов. Miller и Shenoy [8], при использованииметодов молекулярной динамики, смоделировали наноразмерные пластины ибалки при одноосном растяжении и изгибе, и обнаружили, что полученные результаты согласуются с результатами поверхностной теории упругости Гертина – Мердока.
Как следствие, стало возможным развивать подходы для моделирования деформируемого тела, как многоуровневой системы, и рассматриватьповерхностные слои, как отдельные подсистемы с собственными физическимии механическими свойствами, отличными от объемной части материала.В рамках поверхностной теории упругости Гертина – Мердока, изучен рядклассических задач, связанных с исследованием свойств поверхности на наноуровне, в том числе, обнаружены некоторые размерные эффекты для соответствующих наноразмерных материалов, например [49–56]. Так, влияние поверхностного напряжение на напряженное состояние упругой полуплоскости рассматривалось в работе [40] для случая, когда внешние силы, приложенные кплоской поверхности изменялись в нанометровом диапазоне.
Полученные результаты продемонстрировали размерный эффект, т. е. существенное влияниеповерхностного напряжение на напряженное состояние границы, и, в отличииот работ [3; 5; 9; 50], учитывают внешнюю нагрузку. Размерный эффект проявляется в зависимости напряженного состояния вблизи эллиптического нанометрового отверстия [57] и нанометрового включения [51; 52] от их размеров придействии поверхностных напряжений. В работе [56], для задачи об устойчивостинанопластины в задаче Кирша при учете поверхностной упругости и остаточ-18ных поверхностных напряжений на лицевых поверхностях, размерный эффектбыл выявлен в виде зависимости критической нагрузки от радиуса отверстия.Также, анализ напряженного состояния пленочного покрытия, содержащего наноразмерные дефекты поверхности, при диффузионных процессах, проводилсяв работе [41] в рамках поверхностной теории упругости [5;6] в сочетании с универсальным методом возмущений границ.Влияние масштабного фактора на механические характеристики материала для двумерной полосы из монокристаллического материала, обладающегогексагональной плотноупакованной решеткой, было изучено в работах [58; 59].Исследования были продолжены на трехмерный случай в работе [60], в которойприводится оценка масштабных эффектов, возникающих при применении континуальной теории упругости для наноразмерных объектов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
