Диссертация (1149563), страница 11
Текст из файла (страница 11)
при 11 = 12 = 0,22 > 0, для некоторых значений параметров , , ; коэффициенты Пуассонаравны 1 = 2 = 0,34. Считаем, что граница близкого к круговому нановключения отклоняется от единичной окружности в радиальном направлении по косинусоидальному закону (см. рис. 4.1). Расчеты выполнены при = 58,17 ГПа; = 26,13 ГПа для различных упругих свойств поверхности [8; 49]. В первомслучае упругие свойства поверхности определяются значением 1 = 0,1 нм при = 6,8511 Н/м; = −0,376 Н/м (на рис. 5.3 – 5.7 красные кривые).
Во второмслучае 2 = −0,152 нм при = 3,4939 Н/м; = −5,4251 Н/м (на рис. 5.3 – 5.7зеленые кривые). Прямые линии синего цвета отвечает классическому решению( = 0).86Рисунок 5.3 — Зависимость максимального окружного напряжения отрадиуса базового кругового включения для функции () = cos 2 при = 0,1, = 1/3 (a); = 3 (b)Рисунок 5.4 — Зависимость максимального окружного напряжения отрадиуса базового кругового включения для функции () = cos 2 при = 0,2, = 1/3 (a); = 3 (b)87Рисунок 5.5 — Зависимость максимального окружного напряжения отрадиуса базового кругового включения для функции () = cos 4 при = 0,1; = 1/3 в матрице = 1 (a) и во включении = 2 (b)Рисунок 5.6 — Зависимость максимального окружного напряжения отрадиуса базового кругового включения для функции () = cos 8 при = 0,1; = 1/3 в матрице = 1 (a) и во включении = 2 (b)88Из графических зависимостей на рис.
5.3 – 5.6 для математической моделиупругой плоскости с наноразмерным включением, можно сделать следующиевыводы:∙ Исследовано влияние межфазных эффектов вблизи концентраторов напряжений в виде почти круговых включений различной формы. Так, суменьшением радиуса при > 0 максимальные значения окружногонапряжения в матрице и во включении неограниченно убывают, а при < 0 — возрастают. Однако, с увеличением радиуса базового кругового включения, уже при ≈ 20 нм, различие значений напряжений склассическим решением, без учета межфазных эффектов, практическиотсутствует. Данный факт наглядно демонстрирует размерный эффект,характерный для наноразмерных материалов.∙ Рассмотрены различные формы нановключений, близких к круговым,в зависимости от параметров и .
Из рис. 5.3, 5.4 можно заметить,как меняются максимальные окружные напряжения при увеличениипараметра . В частности, для более мягкого включения ( < 1) сувеличение ККН также будет увеличиваться, а для более жесткоговключения ( > 1) результаты прямо противоположны. С увеличением числа возмущений границы (параметр ) максимальное значениенапряжений будет увеличиваться рис. 5.3, 5.5, 5.6.∙ Сравнение более мягкого ( < 1) и более жесткого ( > 1) наноразмерного включения на рис.
5.3, 5.4 показало, что в первом случаеконцентрация напряжений в матрице будет больше. В тоже время, дляболее жесткого включения результаты противоположны.∙ Сравнение с задачей о почти круговом наноотверстии (2 = 0) показывает, что наличие включения во всех случаях снижает концентрациюнапряжений в матрице.89Для однородной плоскости, когда упругие свойства матрицы ивключения совпадают, а различаются только упругие свойства на границе контакта, ККН на границе контакта матрицы и включения, близкого ккруговому ( () = cos 2), с параметрами = 0,1 и = 1 представленына рис. 5.7. Как было показано в главе 3, 1 = 2 для классической задачи без учета межфазного напряженияна границе. Так, для упругих свойствРисунок 5.7 — Зависимостьмаксимального окружного напряжения от радиуса базового круговоговключения для функции () = cos 2 при = 0,1; = 15.8поверхности при = 1 > 0 максимальное значение окружного напряжения во включении ниже, чем в матрице, а для упругих свойств поверхности при = 2 < 0 наоборот.ВыводыВ данной главе для задачи об упругом теле с почти круговым наноразмерным включением при плоской деформации на основе метода возмущений для любого приближении построено аналитическое решение, позволяющее оценить влияние погрешности отклонения формы включения от круговой на напряженное состояние границы упругого включения.
Также, при помощи упрощенной теории поверхностной упругости Гертина – Мердока, разработан алгоритм составления последовательности интегральных уравнений длявычисления неизвестного межфазного напряжения в каждом приближения.Графические результаты получены в первом приближении для почти кругового нановключения, границы которого задана по косинусоидальному закону. При помощи программного пакета MAPLE построены графики зависимо-90стей ККН от радиуса базового кругового включения в матрице и во включении для различных материалов. Проанализировано влияние межфазных эффектов вблизи включений различной формы и обнаружено, что учет различия упругих свойств на межфазной границе оказывает значительное влияниена напряженно-деформированное состояние вблизи включения с радиусом до30 нм (размерный эффект).
С увеличением размера включения, решение задачибудет стремиться к классическому решению без учета межфазного напряжения.91ЗаключениеПредставленная диссертационная работа посвящена разработке новыханалитических методов решения задачи о почти круговом дефекте в твердомтеле на макро- и наномасштабном уровне. Также, в работе исследовано влияние размера дефекта, его формы и степени отклонения его границы от круговойформы на напряженно-деформированное состояние тела.
Основные результаты,полученные в работе, заключаются в следующем.∙ Решена задача о напряженно-деформированном состоянии бесконечного упругого тела с почти круговым дефектом в условиях плоской деформации при действии нагрузки на бесконечности.∙ Разработан метод возмущений границы, позволяющий получить решение задачи для любого приближения и для любой формы дефекта, атакже оценить как влияют малые отклонения границы дефекта от круговой формы на напряженное состояние границы дефекта.∙ Получено решение плоской задачи теории упругости для бесконечного тела с почти круговым макроотверстием при использовании пакетаконечно-элементного анализа ANSYS и проведен сравнительный анализнапряженно-деформированного состояния, полученного методом возмущений и методом конечных элементов.∙ Аналитически решена задача о совместной деформации цилиндрического макровключения, близкого к круговому, и матрицы.
Данное решениепозволяет оценить влияние отклонения формы межфазной границы откруговой на напряженное состояние границы упругого включения.∙ Для задач на наноуровне в общем случае построены однотипные сингулярные интегро-дифференциальные уравнения, к которым в каждомприближении сводится решение задачи. Разработан алгоритм точногорешения интегрального уравнения в виде степенного ряда с неизвестными коэффициентами.∙ Исследован эффект поверхностных напряжений и получено новое аналитическое решение задачи о напряженно-деформированном состоянииупругого тела с отверстием нанометрового размера.92∙ Получено аналитическое решение задачи о напряженно-деформированном состоянии упругого тела с включением, близким к круговому,при учете межфазного напряжения.∙ Для всех задач проанализировано влияние малого отклонения границыдефекта от круговой формы, размера дефекта и его формы на напряженное состояние границы.∙ Для задач с включением рассмотрено влияние относительной жесткостиматериалов на напряженное состояние тела.∙ Обнаружено, что для задач на наноуровне поверхностные и межфазные напряжения оказывают значительное влияние на напряженнодеформированное состояние вблизи дефектов с радиусом базового отверстия < 30 нм.93Список литературы1.
Kirsch E. G. Die Theorie der Elastizitat und die Bedurfnisse der Festigkeitslehre // Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure. 1898. Vol. 42.P. 797-807.2. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: НауковаДумка, 1968. 887 с.3. Duan H. L., Wang J., Karihaloo B. L. Theory of tlasticity at the nanoscale //Advances in Applied Mechanics. 2009. Vol. 42. P. 1-68.4.
Wang J., Huang Z., Duan H. et al. Surface stress effect in mechanics ofnanostructured materials // Acta Mechanica Solida Sinica. 2011. Vol. 24.P. 52-82.5. Gurtin M. E., Murdoch A. I. A continuum theory of elastic material surfaces// Arch. Ration. Mech. and Anal. 1975. Vol. 57, N 4. P. 291–323.6.
Gurtin M. E., Murdoch A. I. Surface stress in solids // International Journalof Solid Structures. 1978. Vol. 14, N 6. P. 431–440.7. Gibbs J. W. The Scientific Papers of J. Willard Gibbs, vol 1. Longmans–Green,London. 1906. 476 p.8. Miller R. E., Shenoy V. B. Size-dependent elastic properties of nanosizedstructural elements // Nanotechnology. 2000. Vol. 11, N 3. P.
139–147.9. Гольдштейн Р. В., Городцов В. А., Устинов К. Б. Влияние остаточных поверхностных напряжений и поверхностный упругости на деформированиешарообразных включений нанометровых размеров в упругой матрице //Физическая мезомеханика. 2010. Т. 13. № 5. С. 127–138.10. Подстригач Я. С., Повстенко Ю. З. Введение в механику поверхностныхявлений в деформируемых телах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
