Диссертация (1149563), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В формулах (5.1), (5.2) введены обозначения ± = lim (),→∈Γ± = lim (). Знак «–» берется при ∈ Ω1 , а «+» при ∈ Ω2 .→∈ΓВ случае плоской деформации определяющие соотношения поверхностнойи объемной линейной теории упругости, аналогично главе 4, записываются припомощи равенств (4.5) – (4.7).Из условия непрерывности перемещений при переходе от Ω1 и Ω2 к интерфейсу Γ, получим условие непрерывности деформаций :lim () = (), = 1, 2.→(5.4)Таким образом, сформулирована задача о напряженно-деформированномсостоянии упругого тела с почти круговым нановключением при учете межфазного напряжения.785.2Основные соотношенияВектор напряжений и вектор перемещений в каждой области Ω ( =1, 2) связаны при помощи комплексных потенциалов Φ () и Ψ (), аналогичноравенствам (3.3)–(3.4)(, ) = Φ () + Φ () +Здесь(, ) =[︁⎧⎨ ,Φ′ ()]︁+ Ψ () −2 , ∈ Ω .(5.5) = 1,⎩ −2 , = −κ ,где κ = (3 − )/(1 + ) при плоском напряженном состоянии, κ = 3 − 4при плоской деформации; — угол между осями t и 1 .Следуя алгоритму, разработанному в предыдущих главах, введем новые̃︀ = { : ¯−1 ∈ Ω } с границей Γ,̃︀функции ϒ (), голоморфные в областях Ωкоторая симметрична интерфейсу Γ относительно единичной окружности (3.5).Далее выражаем функции Ψ (), а затем подставляем в соотношения (5.5), связывающие вектор напряжений и вектор перемещений.
В полученном равенствеустремляем → ∈ Γ из разных областей ∈ Ω , тогда краевые условия длякомплексных потенциалов Φ и ϒ на границе контакта будут иметь вид[︂ (︂(︂ )︂)︂ (︂′ − 11(, ) = Φ ()+Φ ()+ ′Φ () + ϒ ¯+ − + 2)︂]︂1Φ′ () ¯2 .¯(5.6)̃︀ , = .Здесь Φ () = lim Φ () при ∈ Ω и ϒ () = lim ϒ () при ∈ Ω→→795.3Метод возмущенийВ силу того, что функция, определяющая форму границы раздела двухсред, зависит от малого параметра , то согласно разработанному в предыдущихглавах алгоритму, комплексные потенциалы Φ (), ϒ () представляем в видесходящихся степенных рядов по (3.8). Аналогично разложению для поверхностного напряжения в предыдущей главе, представим межфазное напряжение в виде ряда: () =∞∑︁=0! ().(5.7)̃︀ разложим в рядыПредельные значения Φ на границе Γ и ϒ на ΓТейлора в окрестности единичной окружности (|| = 1) по формулам (3.9).
Вэтом случае, выражение для функции () =∞∞∑︁ ∑︁ ( ())=0!=0!() ().(5.8)Кроме того, другие функции, входящие в (5.6), также разлагаем в степенные ряды по малому параметру по формулам (2.10). Учитывая определениефункции (3.6) и разложения для радиуса кривизны и метрического коэффициента ℎ (4.12), соотношения (5.1) и (5.2) примут вид+ (,2 ) − − (,1 ) = (), 1 = 2 = 1,1 + (,2 ) − 2 − (,1 ) = 0, = −κ , = 1, 2.(5.9)Подставим (5.6) в (5.9), с учетом разложений (2.10), (3.8), (3.9), (4.12),(5.7), (5.8), и, собирая в полученном равенстве коэффициенты при одинаковыхстепенях , = 0,1, . . . , приходим для каждого приближения к двум независимым краевым задачам Римана – Гильберта о скачке голоморфных функцийΣ () и ()−Σ+ () − Σ () = () + (), || = 1,+ () − − () = (), || = 1.(5.10)80Здесь Σ± =lim Σ (), ± =||→1∓0lim (); функции выражают зависи-||→1∓0мость от искомой функции .
Голоморфные функции Σ (), () вводятсяаналогично задаче о почти круговом включении на макроуровне{︃Σ () ={︃ () =ϒ1 () + Φ2 (), || < 1,ϒ2 () + Φ1 (), || > 1,2 ϒ1 () − 1 κ2 Φ2 (), || < 1,1 ϒ2 () − 2 κ1 Φ1 (), || > 1.Согласно [69], решения задач (5.10) могут быть записаны в видеΣ () = 1 () + 0 + () + 1 + (), ∈ Ω1 ∪ Ω2 , () = 2 () + 1 0 − 2 κ1 1 + 2 (), ∈ Ω1 ∪ Ω2 ,где11 () =2∫︁ ()1, 2 () = −2Γ∫︁ (), −Γ1 () =2∫︁ () + ′ (), −||=1и 0 = 2 −2 , = 0 ( = 1,2, .
. . ), константы 1 , 2 определяются по формулам (4.17), 0 из уравнения (3.14).Функции , ( = 1,2, . . . ) в (5.10) — известные функции, зависящиепри > 0 от всех предыдущих приближений и усилий на бесконечности (5.3).В нулевом и первом приближении имеют вид0 () = 0,)︁)︁1 () = −2 ( () −ϒ20 ¯+ Φ20 () − ϒ10 ¯+ Φ10 () −(︁)︁′′′′− () (Φ20 () − Φ10 ()) + 2¯ () Φ20 () − Φ10 () −(︃(︀ )︀(︀ )︀ )︃ϒ10 ¯−1ϒ20 ¯−1− ¯ (¯)−+ (′′ () + ())0 () − 2 ()0′′ (), (5.11)¯¯′ ())(︁(︀−1)︀(︁(︀−1)︀810 () = 0,(︁)︁)︁1 () = −2 ( () −ϒ20 ¯+ Φ20 () − ϒ10 ¯+ Φ10 () −(︁)︁− () (κ2 Φ′20 () − κ1 Φ′10 ()) + 2¯ () Φ′20 () − Φ′10 () −(︃(︀ )︀(︀ )︀ )︃ϒ10 ¯−1ϒ20 ¯−1− ¯ (¯) −;(5.12)¯¯′ ())(︀−1)︀(︁(︀−1)︀здесь и далее = 2 /1 .Как было продемонстрировано в главе 3, значения комплексных потенциалов в каждом приближении могут быть найдены при помощи формул (3.15).5.4Интегральное уравнение в -ом приближенииДля решения задачи используется упрощенная поверхностная теорияупругости Гертина – Мердока и условие непрерывности перемещений при переходе от двух областей Ω1 и Ω2 к границе контакта Γ (5.4).
Опираясь на алгоритм, описанный в параграфе 4.4, получим зависимость окружных деформаций от компонент нормальных и окружных напряжений (4.19). Далее подставим в определяющее соотношение для . Комплексные потенциалы вновом равенстве выражаются из решения задач Римана – Гильберта по формулам (3.15). Таким образом, аналогично задаче о почти круговом наноотверстии, в каждом приближении ( = 0, 1, . . .
) приходим к системе сингулярныхинтегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестного межфазного напряжения ⎛ (κ + 1)⎜ 1 () +Re ⎝2 − (κ − 1)2⎞∫︁ () + ′ () ⎟ ⎠ = (), || = 1,−||=1(5.13)где = ( +2 )/2; κ = (+3)/(+); — известная функция, зависящаяот предыдущих приближений. Для любого приближения решение интегрально-82го уравнения (5.13) может быть найдено в виде степенного ряда с неизвестными∞∑︀ .коэффициентами () ==−∞5.5Нулевое приближениеСледуя алгоритмам, разработанным в главах 3 и 4, комплексные потенциалы в нулевом приближении, соответствующем решению краевой задачи округовом нановключении, имеют вид(︂ )︂1ϒ10= (1 − )1 + 0 + 2 −2 − (00 + 302 2 ),Φ10 () = 1 + 2 −2 − 02 −2 , || > 1, (5.14)(︂ )︂1ϒ20= ( − 1)(00 + 302 2 ) + 0 + (1 − )2 −2 ,¯Φ20 () = 1 − (1 − )02 −2 + (1 − )0 , || < 1, (5.15)где00 =(︀)︀0κ(1 + 1 ) + (1 − )(1 + 1 ) + (0 + 0 ) +,2( + ) + 2 (κ + 1)02 =.2 + (κ + 3)Здесь введены обозначения=(κ1 + 1)κ2 + 1κ211−, =, =, =, =.1 + κ1 + κ2 + κ2 + κ21 + κ1Константы 1 , 2 определяются по формулам (4.17), 0 из уравнения (3.14).Таким образом, решение интегрального уравнения (5.13) относительно межфаз-83ного напряжения 0 в нулевом приближении0 = 00 + 02 2 + 02 −2 , 02 = 02 .Для краевой задачи об упругой плоскости с наноотверстием, мы предполагаем 2 = 0 в равенствах (5.14), (5.15).
Таким образом, при ∞ = 0, комплексные потенциалы для матрицы совпадают с результатами (4.27), полученнымив главе 4, а комплексные потенциалы для включения обращаются в нуль.В нулевом приближении, выражения для окружного напряжения намежфазной границе кругового включения (|| = ) при = 1, 2 имеют вид:(︀ )︀]︀[︀0 () = Re Φ0 () + 2Φ0 () + ϒ0 ¯−1 .(5.16)Рисунок 5.2 — Зависимость максимального окружного напряжения 0 отрадиуса на границе кругового нановключения ( = 0) при = 1/3; 3 (a, b)На рис. 5.2 построены зависимости коэффициента концентрации напря∞жений (ККН) = max 0 /22, = 1 для матрицы (сплошные кривые) и = 2для включения (прерывистые кривые), от радиуса базового включения приодноосном растяжении вдоль оси 2 , то есть 11 = 12 = 0, 22 > 0, полученныепо формуле (5.16) при 0 = 0, = 0.
Также, как и в главе 4, расчеты выполне-84ны для различных упругих свойств поверхности [8;49]. В одном случае упругиесвойства поверхности определяются значением 1 = 0,1 нм (на рис. 5.2 красные кривые), в другом 2 = −0,152 нм (на рис. 5.2 зеленые кривые). Прямыелинии синего цвета отвечает классическому решению ( = 0). Графическиерезультаты получены для различных значений параметра . КоэффициентыПуассона равны 1 = 2 = 0,34.Следует отметить, что результаты, полученные для окружных напряжений на границе кругового нановключения полностью совпадают с результатами,полученными в работе [50] другим способом.5.6Первое приближениеРассмотрим почти круговое включение, форма которого отклоняется отокружности радиуса в радиальном направлении по косинусоидальному закону(см.
рис 4.1). Решение интегрального уравнения (5.13) в первом приближениидля функции () = ( + − )/2 = cos находим в виде1 () =+2∑︁1 , 1− = 1 , = 0, + 2, = 1,2, . . . .(5.17)=−(+2)Коэффициенты 1 в (5.17) зависят от коэффициентов 00 и 02 нулевогоприближения и, как и функции Φ1 , ϒ1 , = 1, 2, чрезвычайно громоздкие,поэтому здесь не приводятся.Опираясь на результаты, полученные в нулевом приближении, выражениядля окружных напряжений на границе контакта () = 0 () + 1 ().(5.18)85где(︃(︀ −1 )︀ )︃]︃)︀ϒ0 ¯) 2Φ′0 () +1 () = Re Φ1 () + 2Φ1 () + ϒ1 ¯−1 + ¯ (¯+¯(︁[︁(︀ −1 )︀)︁]︁′′′.+ Re ()Φ0 () + 2¯ ()Φ0 () + 2( () − ()) Φ0 () + ϒ0 ¯[︃(︀Формула (5.18) применима для вычисления окружных напряжений награнице контакта в матрице и во включении в первом приближении дляпроизвольной формы нановключения, а именно, для любой непрерывнодифференцируемой функции, которую можно представить в виде разложенияв ряд Фурье.
Так как, сингулярное интегро-дифференциальное уравнение относительно межфазного напряжения выражено для любого приближения, следуяпредложенному алгоритму, решение задачи о почти круговом нановключениив упругой плоскости может быть найдено в каждом приближении.5.7Графические результаты∞,Приведем графические результаты зависимости ККН = max /22 = 1, 2, вдоль границы почти кругового нановключения в первом приближениидля матрицы при = 1 и для включения = 2 от радиуса базового круговогоотверстия при одноосном растяжении вдоль оси 2 , т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
