Диссертация (1149530), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Ониобеспечивают необходимую точность, но не удобны для расчета интерференции впоглощающих слоях, так как число необходимых уравнений быстро растет счислом слоев (например, для расчета отражения света от поверхности с 3-слойнойпленкой составляется 5 уравнений, с 11-слойной – 21 уравнение и т.д.) [2,4,8].1.2.3. Адмиттансный методИногдадлярасчетовспектральныххарактеристикприменяетсявычислительная схема, основанная на использовании адмиттанса [2].Оптический адмиттанс Y(z,k) представляет собой величину, обратнуюимпедансу. Импеданс Z(z,k) вводится соотношением:Z ( z, k )  1 / Y ( z, k )  E ( z, k ) / H ( z, k )Итак,адмиттанс–отношениетангенциальныхсоставляющихнапряженности магнитного H(z,k) и электрического E(z,k) полей:Y ( z, k )  H ( z, k ) / E ( z, k )(1.2.4)Амплитудный коэффициент отражения выражается через адмиттанс на внешнейгранице покрытия:r (k ) qa  Y ( z a , k )qa  Y ( z a , k )(1.2.5)где qa – эффективный показатель преломления внешней среды.Адмиттанс является характеристикой волнового движения в данной точке, ане характеристикой среды, в которой волна распространяется.

Для расчета Y(z,k)используется рекуррентное соотношение и соответствующие граничные условия:22Y j 1 Y j  iN j tgФ j1  i(Y j / N j )tgФ j, Ym  N m(1.2.6)где Фj=2πNj dj/λ – фазовая толщина j-ого слоя.Энергетическиекоэффициентыотражения(R)ипропускания(T)вычисляются с помощью Y0:R | (1  Y0 / n0 ) /(1  Y0 / n0 ) | 2mmj 0j 0T  [Re{N m1} / n0 ] | (n0 / N m1 ) exp{i  Ф j }[( N j 1  Y j ) /( N j  Y j )] | 2(1.2.7)На формулах (1.2.6) и (1.1.7) базируется «адмиттансный» метод расчетаоптических свойств пленочных систем.

Следовательно, зная структуру покрытияи параметры окружающих сред, с помощью приведенных выше формул можнорассчитать оптические характеристики покрытия – коэффициенты отражения,пропускания и поглощения, а также фазовые сдвиги, возникающие при отражениии прохождении через него световой волны, для заданных длин волн и угловпадения [2]. Однако, этот метод неудобен для расчета систем, состоящих из слоевнеравной оптической толщины.1.2.4.

Матричный методНаиболеематричныйраспространеннымметод.Идеяэтогометодомметодарасчетовзаключаетсяспектроввявляетсяиспользованиихарактеристических матриц Mj. В основе нахождения характеристических матрицлежитподход,основанныйнарешенииуравненийМаксвелладляэлектромагнитной волны внутри системы слоев. Общая теория этого расчета,развитая Абелем [49], изложена в работах [39, 43].Взаимодействие световой волны с произвольным покрытием следует изрешения системы уравнений Максвелла:rotE  iwH ,c23rotH  iwE ,cdivE  0 ,divH  0Здесь Е – вектор электрического поля световой волны, H – вектор магнитногополя, ε – диэлектрическая проницаемость среды, μ – магнитная проницаемость.Эту систему несложно превратить в одно уравнение второго порядкаотносительно электрического или магнитного полей и искать решение в видеплоских волн, что вытекает из основного условия задачи – наличия плоскихграницразделамеждуслоями.Прирассмотренииоптическихзадачцелесообразно находить решение для электрического поля световой волны,поскольку магнитная проницаемость в оптической области частот равна для всехматериалов единице, т.е.

магнитное поле оказывается вторичным. Таким образом,получается одно волновое уравнение:E  k 2 E  0 ,где k 2  w2 / c 2Решение этого уравнения для слоя с номером j может быть записано ввиде:E  a j E1 j ( x  x j )  b j E2 j ( x  x j ) ,где xj - граница j-ого слоя; aj, bj – коэффициенты, определяемые из условийнепрерывности поля на границах слоя.aj a    С j  j 1  ,b b  j j 1 где Сj – матрица преобразования коэффициентов решения от одной среды кдругой.Нормальное падение света. Взаимодействие плоской монохроматическойсветовой волны с неоднородной средой, какой является многослойное покрытие,описывается с помощью волнового уравнения, вытекающего из уравненийМаксвелла, в котором волновой вектор изменяется от слоя к слою. Решая24граничную задачу при нормальном падении электромагнитной волны, можнополучитьматричноеуравнение,связывающееполныетангенциальныесоставляющие векторов электрического и магнитного полей в j и (j-1) слоях [2, 39,43, 45]: E j 1   cos  j  H    iN sin j j 1   j(i / N j ) sin  j  E j E   M j  j ,H cos  j H j  j(1.2.8)где Фj=2πNj dj/λ – фазовая толщина j-слоя.Матрица Mj, имеющая размер (2х2), называется характеристическойматрицей, или матрицей интерференции j-слоя.

Ее детерминант равен единице.Выписав последовательно соотношение (1.2.8) для всех слоев покрытия,начиная с m-го, и исключив значения амплитуд полей на всех границахвнутренних слоев последовательной подстановкой, можно получить выражение,связывающее амплитуды электрического и магнитного полей на нулевой и mграницах:0    m1   M 1 M 2 M 3 ...M m  m   M sys  m    M j  N m 1 0 m   m  j 1(1.2.9)Матрица Msys называется характеристической матрицей интерференционнойсистемы. Из выражения (1.2.9) следует, что для определения характеристическойматрицы системы необходимо перемножить матрицы отдельных слоев впоследовательности, совпадающей с направлением распространения световойволны. Поскольку детерминант матрицы Msys равен произведению детерминантовматриц отдельных слоев, то он также равен единице.Пусть mij – матричные элементы так называемой характеристическойматрицы многослойной системы, которую обычно записывают в виде:m12 mM sys   11 m21 m22 илиi12 M sys   11 i 21  22 (1.2.10)25Тогда выражения для расчета амплитудных коэффициентов отражения r ипропускания t плоской электромагнитной волны связаны с матричнымиэлементами соотношениями:r=(N011+iN0Nm+112-i21-Nm+122) / (N011+iN0Nm+112+i21+Nm+122)t=2N0 / (N011+iN0Nm+112+i21+Nm+122)(1.2.11 а)r=[(m11+Nm+1m12)N0-(m21Nm+1m22)] /[(m11+Nm+1m12)N0+(m21+Nm+1m22)](1.2.11 б)t=2N0/[m11+Nm+1m12)N0+(m21+Nm+1m22)]ЭнергетическиекоэффициентыотраженияRипропусканияTмногослойной системы и соответствующие фазовые сдвиги легко определяютсяиз выражений (1.2.11 а) или (1.2.11 б).R=r2,T=t2 [Re{Nm+1}]/N0(1.2.12)Из уравнений (1.2.8) и (1.2.9) следует, что многослойная системаописывается матрицей, элементы которой не зависят от оптических параметровокружающих сред.

Кроме того, изменение фазовой толщины Фj и показателяпреломления Nj влияет только на матрицу j-слоя. При этом частные произведенияj 1Mi иi 1mMiостаются неизменными. Эти свойства полезны при изученииi  j 1влияния параметров слоя на характеристики покрытия, а также при решенииразличных конструкторских задач, поскольку позволяют значительно сократитьобъем вычислений.При нормальном падении электромагнитной волны фазовая толщина Фj,комплексныйпоказательпреломленияNjиматричныехарактеристической матрицы j–слоя определяются выражениями:элементы26Фj=2Njdj / , Nj=nj-ij,Im{m11}=Im{22}=cos{2 njdj / }ch{jdj},Re{m11}=Re{m22}= - sin{2 njdj / }sh{jdj},Im{m12}=(njA+jB) / C,Re{m12}= - (jA-njB) / C,Im{m21}=njA-jB,Re{m21}= - (jA-njB),A=sin{2 njdj / }ch{jdj},Вслучае,когда(1.2.13)В=cos{2 njdj / }sh{jdj}.слоипокрытияхарактеризуютсявещественнымипоказателями преломления Nj=nj, формулы (1.2.13) значительно упрощаются:Фj=2 njdj / ,Re{m11}=Re{m22}=cos{2 njdj / },Im{m11}=0,Im{m22}=0,Im{m12}=sin{2 njdj / } / nj,Re{m12}=0,Im{m21}=nj sin{2 njdj / },Re{m21}=0.(1.2.14)Угловое падение света.

Формулы (1.2.8) - (1.2.14) пригодны для расчетаспектров отражения и пропускания при нормальном падении света намногослойную систему, но их можно использовать для всех расчетов принаклонном падении света посредством введения определенного формализма.Вводятсяпредставленияоб«эффективномпоказателепреломления»и«эффективной фазовой толщине», которые не имеют физического смысла и вопределеннойстепениделаютпоследовательноерассмотрениереальнойструктуры электромагнитного поля в пленочной системе менее строгим. Однакоих использование приводит к математически корректным результатам. Такимобразом, в случае наклонного падения света в формулах (1.2.8)-(1.2.14)достаточно заменить показатель преломления Nj и фазовую толщину Фj«эффективным показателем преломления» Njeff и «эффективной фазовойтолщиной» Фjeff, вычисляемым по формулам:27 N j /(cos  j )N effj N j cos  j( p  поляризация)(1.2.15)( s  поляризация)Фjeff = Фj cosj(как для p-, так и для s-поляризации)Выражение для cosj имеет вид [34]:cosj=[({pj2+qj2}½+ pj) / 2]½ - i[({pj2+qj2}½ -pj) / 2]½,pj=1+(j2-nj2)[(n0sin0) / (nj2+j2)]2,qj=-2njj[n0 sin0) / (nj2+j2)]2.Используясоотношения(1.2.15),можновычислитькоэффициентыотражения (Rs, Rp) и пропускания (Ts, Tp) s- и p-поляризованных компонентовизлучения,азатемопределитьистинныеспектральныехарактеристикиинтерференционного покрытия.

Если падающий свет не поляризован, токоэффициенты отражения и пропускания вычисляются по формулам:R=(Rp+Rs) / 2,T=(Tp+Ts) / 2.(1.2.16)При эллиптической поляризации падающего излучения с относительнымиамплитудами аp и аs используются формулы:R=(аp2+аs2Rs) / (аp2+аs2),T=(аp2Tp+аs2Ts) / (аp2+аs2).(1.2.17)В общем случае при наклоне плоскости поляризации падающей волны кплоскости падения под углом :R=Rpcos2+Rssin2,T=Tpcos2+Tssin2.(1.2.18)Все соотношения для расчета оптических характеристик ИП выведены наоснове математической модели, описанной ранее в п.1.2.1. [2, 39, 43, 45].

Онииспользовались в программах анализа и синтеза интерференционных покрытийFilm Manage.281.3.Методика определения показателяпреломления непоглощающих пленокВ общем виде, вещества пленки и подложки будем считать однородными ипоглощающими.Системапленка-подложка(П-П)находитсяввоздухе(показатель преломления N1=N4=1). Комплексный показатель преломленияпленки обозначим, как Nf=nf - ikf, а подложки Ns=ns - iks (см.

рис. 1.3.1).Геометрическая толщина пленки df сравнима с длиной волны и поэтому припрохождении через нее света наблюдаются интерференционные явления.Толщина подложки ds намного больше длины волны и интерференционныеявления не наблюдаются. Падение света будем считать нормальным.Рис. 1.3.1. Система «пленка-подложка»Искомыми величинами являются геометрическая толщина пленки df, еепоказатели преломления n(λ) и поглощения k(λ).Предварительно физическая толщина пленки df определяется из спектровпропускания по положениям экстремумов в шкале длин волн.29Для определения показателей преломления пленок по спектрам пропусканияи отражения в системе «пленка-подложка» использовалась методика, описанная в[18]. Подложка считается слабо-поглощающей и характеризуется вещественнымпоказателем преломления ns (т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации