Автореферат (1149526), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Подход продемонстрирован на примере управления энергией маятника с помощью обратной связис квантованием, содержащем в себе все трудности, характерные для нелинейныхчастично-устойчивых систем.В разделе 4.1 предлагается постановка задачи. Рассматривается уравнение маятника1()¨ = − sin () + 2 (),(10)где – угол отклонения ( = 0 в нижнем положении), – управляющий вращающий момент, – гравитационная постоянная, и – масса и длина маятникасоответственно. Предполагается, что (, )˙ – полная энергия маятника, т.е.1(, )˙ = 2 ˙ 2 + (1 − cos ).2Рассматривается задача стабилизации уровня энергии системы (10).Предполагается, что = [, ]˙ , ∈ IR2 , и ℎ (ℎ < 2) – некоторое поло12жительное число.
Рассматривается множество ℎ = { : 0 < () 6 ℎ} . Предполагается, что * (0 < * < ℎ) – целевой уровень энергии, а целевая функция1выглядит следующим образом: () = (() − * )2 . Требуется найти закон2обратной связи = (), обеспечивающий достижение цели управленияlim ((, 0 )) = 0.→∞(11)Алгоритм управления основан на методе скоростного градиента, предложенном А. Л. Фрадковым в 1979 г., и выглядит следующим образом: = () = −= − (() − * ) ,(12)где > 0 и = [0, 1] .⋃︀Далее предполагается, что множество = { : ∈ ℎ , ∈ N} ⋃︀является конечным подмножеством множества ℎ , где ∈ IR2 , и рассматривается следующий квантователь: () : IR2 → . Также предполагается,{︀}︀⋃︀что = ∈ IR2 : () = – области квантования такие, что = ℎ .Следовательно, () = для всех ∈ , ∈ N.
Когда не принадлежит объединению областей квантования, квантователь насыщается, т.е. () = , если∈/ ℎ .Предполагается, что для измерения вектора состояния доступны толькоквантованные сигналы (). Тогда закон управления (12) не применим. Следовательно, вместо непрерывного управления (12) рассматривается квантованныйпо состоянию закон (12): = (()) = − ((()) − * ) ().(13)Таким образом, требуется исследовать условия достижимости целиуправления (11) с помощью квантованного по состоянию закона управления(13). Также отмечается, что поскольку квантование осуществляется по состоянию, правая часть дифференциального уравнения (10), (13) является разрывной.Решения дифференциального уравнения (10), (13) понимаются по Филиппову.В разделе 4.2 сформулирован и доказан основной результат, состоящийв получении оценок как для границы ошибки квантизации, так и для границобласти притяжения и области начальных данных.Предполагается, что () = () − = [1 (), 2 ()] – вектор ошибкиквантования, и квантователь выбран таким образом, что|1 ()| 6 Δ1 , |2 ()| 6 Δ2 для всех ∈ ℎ .√︀Следовательно, |()| 6 Δ21 + Δ22 = Δ для всех ∈ ℎ .13Закон (13) переписывается следующим образом: (()) = () + (),при этом имеет место| ()| 6 √Δ для всех ∈ ℎ , где√ неравенство132ℎΔ = 2 2 Δ32 +Δ22 + (4ℎ − * )Δ2 + 2 2ℎ sin 2 .
Для множества2{ ∈ ℎ : 6 () 6 }, где > > 0 – некоторые числа, вводится обозна−1чение [,].Предполагается, что ℎ* – некоторая положительная константа, удовлетворяющая условию ℎ* < min{* , ℎ − * }. Рассматриваются следующие функциискалярной переменной :32 Δ21 () = * − ℎ* −,2√︃2 () =)︂2(︂(︃√)︃0 ()Δ ℎ* 6+1 ,1− 1−−2где 0 () = min {2 − * − ℎ* , 1 ()} ,√166 Δ3223 () = 4ℎ* − −,2 () (︂)︂1 21 ()4 () = arccos 1 −2 () − Δ2 .12Основной результат заключается в следующей теореме.Теорема 4.2. Пусть следующая система неравенств0 < < 2ℎ* ,1 () > 0,2 () > 0,3 () > 0,4 () > 0(14)разрешима относительно . Тогда для любого решения = ℎ1 системы (14) и−1любых начальных условиях (0) ∈ [траектории замкнутой систе* −κ2 ,* +κ2 ]−1мы (10), (13) удовлетворяют () ∈ [для всех > 0, и существует* −ℎ* ,* +ℎ* ]−1 > 0 такое, что () ∈ [для всех > , где* −κ1 ,* +κ1 ]√︃√︃√√31 2 2 6 Δ26 Δ32κ1 =ℎ +, κ2 = ℎ* −.4 1ℎ1 2 (ℎ1 )ℎ1 2 (ℎ1 )Следствие 4.1.
Для любых κ̃1 , κ̃2 , удовлетворяющих κ̃1 < κ̃2 < ℎ* , существуют достаточно малые Δ1 , Δ2 такие, что для любых начальных условий−1(0) ∈ [траектории замкнутой системы (10), (13) удовлетворя* −κ̃2 ,* +κ̃2 ]−1ют () ∈ [* −ℎ* ,* +ℎ* ] для всех > 0, и существует > 0 такое, что−1() ∈ [для всех > .* −κ̃1 ,* +κ̃1 ]В разделе 4.3 приводятся численные примеры, в которых подробно инаглядно демонстрируются результаты Теоремы 4.2.В заключении приведены основные результаты работы.14ЗаключениеВ результате исследования получены новые условия на шаг квантованиядля обеспечения экспоненциальной устойчивости с заданной степенью затухания, а также экспоненциальной робастной устойчивости с заданной степеньюзатухания, нелинейных многосвязных систем Лурье с дискретным регулятором.Эффективность результатов продемонстрирована в задачах дискретного управления следующими механическими объектами: управление маятником, робастное управление маятником с трением, синхронизация трех мобильных роботов,стабилизация маятника на тележке, синхронизация систем «маятник на тележке», управляемых через сеть.
Также продемонстрирован подход, позволяющийоценить точность достижения цели управления энергией маятника с помощьюобратной связи с квантованием.Публикации автора по теме диссертации1. Сейфуллаев, Р. Э. Анализ дискретно-непрерывных нелинейных многосвязных систем на основе линейных матричных неравенств / Р. Э. Сейфуллаев, А. Л.
Фрадков // Автоматика и телемеханика. — 2015. — № 6.— С. 57–74.2. Сейфуллаев, Р. Э. Исследование устойчивости гибридных нелинейныхсистем с помощью S-процедуры и линейных матричных неравенств /Р. Э. Сейфуллаев // Материалы 5-ой Российской мультиконференции попроблемам управления. Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах . — 2012. — С. 223–226.3. Сейфуллаев, Р.
Э. Управление колебательными системами методом скоростного градиента с реализацией на базе LEGO Mindstorms NXT / Р. Э. Сейфуллаев // Материалы 7-ой научно-технической конференции «Мехатроника, автоматизация, управление». — 2010. — С. 349–352.4. Сейфуллаев, Р. Э. Управление нелинейным осциллятором методом скоростного градиента / Р. Э. Сейфуллаев // Материалы XII конференции молодыхученых «Навигация и управление движением».
— 2010. — С. 220–226.5. Сейфуллаев, Р. Э. Управление энергией маятника с помощью обратной связи с квантованием / Р. Э. Сейфуллаев // XVII конференция молодых ученых «Навигация и управление движением». — 17-20 марта 2015, СанктПетербург.
(www.elektropribor.spb.ru/kmu2015/refs?paper=tsu126).156. Сейфуллаев, Р. Э. Учебно-лабораторный комплекс для исследования системуправления нелинейными колебаниями / Р. Э. Сейфуллаев, А. С. Пятыгин //Тезисы II Межд. науч.-практ. конф. «Научно-техническое творчество молодежи – путь к обществу, основанному на знаниях». — 2010. — С. 238–239.7. Accuracy of Fridman’s Estimates for Sampling Interval: A NonlinearSystem Case Study / E. Usik, R. Seifullaev, A. Fradkov, T.
Bryntseva //IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). — 2014. — WorldCongress, Vol. 19, Part 1. — P. 11165–11170.8. LEGO Mindstorms NXT Robots and Oscillators in Control Education /S. A. Filippov, A. L. Fradkov, I. V. Ashikhmina, R. E. Seifullaev // IFACProceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). — 2010. — Periodic ControlSystems, Vol. 4, Part 1. — P. 156–160.9. Seifullaev, R. E.
Energy based and sampled-data control of the cart-pendulumsystem / R. E. Seifullaev // Conference Abstracts of International Student Conference “Science and Progress”. — 2011. — P. 80.10. Seifullaev, R. E. Energy Based Control of Cart-Pendulum System / R. E. Seifullaev // Preprints of 14th International Student Olympiad on Automatic Control.— 2011. — P. 50–54.11. Seifullaev, R.
E. Robust nonlinear sampled-data system analysis based onFridman’s method and S-procedure / R. E. Seifullaev, A. L. Fradkov //International Journal of Robust and Nonlinear Control. — Publishedonline in Wiley Online Library (wileyonlinelibrary.com): 28 JAN 2015. —DOI: 10.1002/rnc.330412.
Seifullaev, R. E. Sampled-Data Control of Nonlinear Oscillations Based onLMIs and Fridman’s Method / R. E. Seifullaev, A. L. Fradkov // IFACProceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). — 2013. — Periodic ControlSystems, Vol. 5, Part 1. — P.
95–100.13. Seifullaev, R. E. Speed Gradient Energy and Sampled-Data Control ofCart-Pendulum System / R. E. Seifullaev // IFAC Proceedings Volumes(IFAC-PapersOnline). — 2012. — Advances in Control Education, Vol. 9,Part 1. — P. 478–483.14. Synchronization of Nonlinear Systems Over Intranet: Cart-pendulumCase Study / M. Ananyevskiy, R. Seifullaev, D. Nikitin, A. Fradkov //Proceedings of IEEE Conference on Control Applications. — 2014. —P. 1214–1219.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
