Автореферат (1149526), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В разделе 2.1 дается математическая постановка задачи.Рассматривается нелинейная система:()˙= () +∑︁ () + ( + 0 0 ()) (),=10 () = () =0 (), (),(1)0 () = 0 (0 (), ), () = ( (), ), = 1, . . . , ,где() ∈ IR – вектор состояний, () ∈ IR – управляющий вектор, ∈ IR× , ∈ IR× , 0 ∈ IR× – постоянные матрицы, ∈ IR , ∈IR , 0 ∈ IR – постоянные векторы.Делаются следующие предположения:1. Для всех > 0 график каждой функции = ( , ) (где рассматриваетсякак параметр, а – как аргумент функции) расположен в двуполостномсекторе между прямыми = 1 и = 2 , где 1 < 2 – некоторыевещественные числа. Таким образом, выполняется неравенство1 2 6 6 2 2 , = 1, . . .
, .(2)2. Нелинейная функция 0 () = 0 (0 (), ) ограничена для всех > 0:+−0 6 0 () 6 0 .3. Заданы последовательность моментов времени 0 = 0 < 1 < . . . < < . . .и кусочно-постоянная функция управления() = ( ), 6 < +1 ,где lim = ∞.→∞64. Для некоторого ℎ ∈ IR (ℎ > 0) выполнены неравенства:+1 − 6 ℎ ∀ > 0.Далее рассматривается закон управления в виде обратной связи() = ( ), 6 < +1 ,(3)где ∈ IR× , который переписывается в виде() = ( − ()),(4)где () = − , 6 < +1 .Задача заключается в исследовании влияния величины верхней границышага дискретизации ℎ на устойчивость замкнутой системы:()˙= () + ( + 0 0 ()) ( − ()) +∑︁ (),=10 () = () =0 (), (), () = − ,(5)0 () = 0 (0 (), ), () = ( (), ), = 1, . .
. , , ∈ [ , +1 ).В разделе 2.2 формулируется и доказывается основной результат, которыйсостоит в получении условий на шаг квантования для обеспечения экспоненциальной устойчивости с заданной степенью затухания системы (5). Вводятсяобозначения:ℬ() = + 0 0 (),ℬ − = + 0 −0,ℬ + = + 0 +0.Предполагается, что , – некоторые симметричные положительно определенные матрицы размера × , 2 , 3 – некоторые произвольные матрицы размера{︀}︀ {︀}︀ {︀}︀ {︀}︀× и κ0− =1 , κ0+ =1 , κ1− =1 , κ1+ =1 – положительные вещественныечисла.Рассматриваются следующие матрицы:⎡Ψ−0⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎣⎡Ψ+0⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎣− (1)Φ−1Φ− 12*Φ 22| ()=0***Φ2(1)Φ 23− (1)− ( ).
. . Φ2...*Φ3.........**0...Φ+1Φ+ 12*Φ 22| ()=0******7Φ2+ (1)...(1)Φ 23+ (1)Φ3............0...⎤( ) ⎥Φ 23 ⎥⎥⎥0⎥,⎥..⎥.⎦− ( )Φ3⎤+ ( )Φ2( ) ⎥Φ 23 ⎥⎥⎥0⎥,⎥..⎥.⎦+ ( )Φ3⎡Ψ−1⎢⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡Ψ+1⎢⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎢⎣− (1)− ( )Φ−4Φ− 12*Φ 22| ()=ℎ****Φ6...**0. . . Φ6**0...Φ+4Φ+ 12+ (1). . . Φ5*Φ 22| ()=ℎΦ 23(1)...Φ 23**+ (1)**Φ6.........0...**0. . . Φ6**0...Φ5(1)Φ 23− (1)Φ5.
. . Φ5( )...Φ 23......0...− ( )0+ ( )( )+ ( )0−ℎ2 ℬ − ⎤⎥−ℎ3 ℬ − ⎥⎥⎥0⎥⎥,..⎥⎥.⎥⎥0⎦−ℎ−2ℎ⎤−ℎ2 ℬ + ⎥−ℎ3 ℬ + ⎥⎥⎥0⎥⎥,..⎥⎥.⎥⎥0⎦−ℎ−2ℎгде “*” обозначает симметричный блок симметричной матрицы, аΦ 11 () = 2 ( + ℬ()) + ( + ℬ()) 2 + 2,Φ 12 () = − 2 + ( + ℬ()) 3 ,()Φ 13 = 2 ,()Φ 23 = 3 , = 1, . . . , ,Φ 22 () = −3 − 3 + (ℎ − ()),Φ− 11 = Φ 11 ()|ℬ()=ℬ− ,Φ+ 11 = Φ 11 ()|ℬ()=ℬ+ ,Φ− 12 = Φ 12 ()|ℬ()=ℬ− ,Φ+ 12 = Φ 12 ()|ℬ()=ℬ+ ,−Φ−1 = Φ 11 −∑︁κ0− 1 2 ,+Φ+1 = Φ 11 −∑︁=1=1− ()Φ2+ ()Φ2Φ−41= 2 + κ0− (1 + 2 ) ,21= 2 + κ0+ (1 + 2 ) ,2∑︁= Φ−−κ1− 1 2 , 11− ()= −κ0− ,+ ()= −κ0+ ,Φ3Φ3+Φ+4 = Φ 11 −∑︁=1− ()Φ5+ ()Φ5κ0+ 1 2 ,κ1+ 1 2 ,=11=+ κ1− (1 + 2 ) ,21= 2 + κ1+ (1 + 2 ) ,22 − ()Φ6+ ()Φ6=−κ1− ,= −κ1+ .Теорема 2.1.
Пусть для заданного > 0 существуют( > 0), ∈ IR× ( > 0), 2 ∈ IR× , 3 ∈ IR× , а{︀}︀ {︀}︀ {︀}︀ные вещественные числа κ0− =1 , κ0+ =1 , κ1− =1 иследующие линейные матричные неравенства:Ψ0− < 0,Ψ0+ < 0,Ψ1− < 0,матрицы ∈ IR×также положитель{︀ + }︀κ1 =1 такие, чтоΨ1+ < 0выполнены. Тогда система (5) экспоненциально устойчива в целом со скоростьюзатухания .8Далее рассматривается более сложный случай, позволяющий добитьсяболее точных результатов за счет использования “расширенного” функционалаЛяпунова-Красовского, предложенного Э.М.
Фридман1 .Предполагается, что ∈ IR× , 1 ∈ IR× , 1 ∈ IR× , 2 ∈ IR× ,()3 ∈ IR× ( = 1, . . . , ) и ∈ IR× – некоторые матрицы.Рассматриваются следующие матрицы:[︃Θ=⎡Ψ−0⎢⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡Ψ+0⎡Ψ−11−ℎ1 − ℎ1 + ℎ +2*− (1)−Φ−1| ()=0 Φ12| ()=0 Φ13| ()=0 Φ2Φ22| ()=0 Φ−23| ()=0**...Φ34......0...*****Φ3...***− (1)0+ (1)+Φ+1| ()=0 Φ12| ()=0 Φ13| ()=0 Φ2( )− ( )+ ( ).
. . Φ2...Φ24(1)...Φ34+ (1)......0...Φ33| ()=0Φ34******Φ3...***0⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥,⎥⎥⎥⎥⎦. . . Φ3(1)*( )( )+ ( )⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥,⎥⎥⎥⎥⎦. . . Φ3− ( )ℎ1⎤( )ℎ2( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥,⎥⎥⎥⎥⎥⎦. . . Φ5Φ24(1)...Φ24(1)...Φ34ℎ......0...ℎ1 3...*Φ33| ()=ℎΦ34******Φ6...***0****− (1)+ (1)Φ22| ()=ℎ Φ+23| ()=ℎ( )Φ24***(1)*+Φ+4| ()=ℎ Φ12| ()=ℎ Φ13| ()=ℎ Φ5⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣Φ24Φ34Φ22| ()=ℎ Φ−23| ()=ℎ− ( ).
. . Φ2...Φ33| ()=0− (1),(1)*Φ22| ()=0 Φ+23| ()=0Φ24**]︃ℎ1 − ℎ−Φ−4| ()=ℎ Φ12| ()=ℎ Φ13| ()=ℎ Φ5⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡Ψ+1⎢⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎢⎣ + ℎ +2− ( ). . . Φ6**(1) ( ) ℎ3−ℎ−2ℎ+ ( )ℎ1⎤( )ℎ2( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥,⎥⎥⎥⎥⎥⎦. . . Φ5Φ24(1)...Φ24(1)...Φ34ℎ+ (1)......0...ℎ1 3...**Φ33| ()=ℎΦ34*****Φ6...***0****+ ( ). . . Φ6**(1) ( ) ℎ3−ℎ−2ℎFridman, E. A Refined Input Delay Approach to Sampled-Data Control / E. Fridman // Automatica. — 2010. —Vol.
46, no. 2. — P. 421–427.9гдеΦ11 () = 2 + 2 + 2 − 1 − 1 − (1 − 2(ℎ − ())) + ,2 + ,2+ 2 ℬ() − + (1 − 2(ℎ − ()))( − 1 ),Φ12 () = − 2 + 3 − 2 + (ℎ − ())Φ13 () = 1Φ22 () = −3 − 3 + (ℎ − ()),Φ23 () = 2 + 3 ℬ() − (ℎ − ())( − 1 ), + − 21 − 21,2()()= 3 , Φ34 = 3 , = 1, . . . , ,Φ33 () = + − (1 − 2(ℎ − ()))()()Φ14 = 2 − 3 ,()Φ24 −Φ−13 () = 1 + 2 ℬ − + (1 − 2(ℎ − ()))( − 1 ), +Φ+13 () = 1 + 2 ℬ − + (1 − 2(ℎ − ()))( − 1 ), −Φ−23 () = 2 + 3 ℬ − (ℎ − ())( − 1 ), +Φ+23 () = 2 + 3 ℬ − (ℎ − ())( − 1 ),Φ−1 ()= Φ11 () −∑︁κ0− 1 2 ,Φ+1 ()= Φ11 () −=1− ()Φ2− ()Φ3∑︁+ ()Φ2κ0− 1 2 ,− ()− ()Φ61()= Φ14 + κ0+ (1 + 2 ) ,2Φ+4 = Φ11 () −∑︁κ0+ 1 2 ,=1=1Φ5κ0+ 1 2 ,=11()= Φ14 + κ0− (1 + 2 ) ,2+ ()−= −κ0 , Φ3 = −κ0+ ,Φ−4 = Φ11 () −∑︁11()+ ()()= Φ14 + κ1− (1 + 2 ) , Φ5 = Φ14 + κ1+ (1 + 2 ) ,22+ ()−+= −κ1 , Φ6 = −κ1 , = 1, .
. . , .Теорема 2.2. Пусть для заданного > 0 существуют матрицы ∈ IR× ( >0), ∈ IR× ( > 0), 2 ∈ IR× , 3 ∈ IR× , ∈ IR× , 1 ∈ IR× , ∈ IR× ,()1 ∈ IR× , 2 ∈ IR× и 3 ∈ IR× (i=1,. . . ,N), а также положительные{︀}︀ {︀}︀ {︀}︀{︀}︀вещественные числа κ0− =1 , κ0+ =1 , κ1− =1 и κ1+ =1 такие, что следующие линейные матричные неравенства:Θ > 0,Ψ−0 < 0,Ψ+0 < 0,Ψ−1 < 0,Ψ+1 < 0выполнены. Тогда система (5) экспоненциально устойчива в целом со скоростьюзатухания .Замечание 2.2. Полученные результаты могут быть применены к случаю наличия запаздывания в дискретных измерениях.
Пусть для некоторого ℎ1 ∈ IR (ℎ1 >0) выполнено+1 − 6 ℎ1 , ∀ > 0.10Рассмотрим закон обратной связи() = ( − ), 6 < +1 ,(6)где ∈ IR× – матрица усилений, – постоянное на каждом интервале 6 < +1 запаздывание такое, что 0 6 6 ℎ2 , ∀ > 0.Закон (6) можно переписать следующим образом:() = ( − ()),где () = − + , 6 < +1 , 0 6 () 6 ℎ1 + ℎ2 . В итоге получаем, чтоданный случай можно свести к предыдущему, положив ℎ = ℎ1 + ℎ2 .В разделе 2.3 проводится анализ робастной экспоненциальной устойчивости с заданной степенью затухания нелинейной многосвязной системы Лурьес регулятором (3).
Рассматривается нелинейная система с неопределенностями:1(︁)︁∑︁˜˜()˙= ( + Δ) () +(˜ + Δ˜ ) () + + Δ 0 () (),=1˜0 () =˜ () =˜0 (),˜ (),(7)˜0 () = ˜0 (˜0 (), ),˜ () = ˜ (˜ (), ), = 1, . . . , 1 ,где () ∈ IR – вектор состояния, () ∈ IR – вектор управлений, ∈ IR× , ∈ IR× – постоянные известные матрицы, ˜ ∈ IR , ˜ ∈ IR , ˜0 ∈ IR –постоянные известные векторы.Помимо предположений 1–4, делается предположение, что неопределенности Δ, Δ˜ , Δ имеют следующую структуру:Δ =2∑︁¯ ¯ ,Δ = 0 ,Δ˜ =3∑︁¯ , = 1, . .
. , 1 ,(8)=1=1где ¯ ∈ IR , ¯ ∈ IR ( = 1, . . . , 2 ), ¯ ∈ IR , ( = 1, . . . , 1 , = 1, . . . , 3 ) –известные постоянные векторы, 0 ∈ IR× – известная постоянная матрица,и , , – неизвестные вещественные числа, удовлетворяющие следующимнеравенствам:+0 < − 6 6 ,+0 < − 6 6 ,0 < − 6 6 + ,(9)+ − + − +где − = 1, . . .
, 1 , = 1, . . . , 3 ) – извест , , , , , ( = 1, . . . , 2 ,ные положительные вещественные числа (случай, когда они могут быть отрицательными, также может быть сведен к текущему).В результате, система (7) сводится к виду (1), и полученные теоремыраспространяются на случай исследования робастной устойчивости.11В третьей главе полученные результаты применяются к различным задачам управления механическими объектами. Для всех рассматриваетмых системпутем анализа разрешимости систем линейных матричных неравенств, приведенных в Главе 2, находится верхняя граница шага дискретизации, при которомсистема экспоненциально устойчива с достаточно малой степенью затухания.В разделе 3.1 рассматривается задача стабилизации маятника в вертикальном положении с помощью дискретной обратной связи.В разделе 3.2 исследуется задача робастной стабилизации в вертикальномположении маятника с трением с помощью дискретного регулятора в различныхслучаях: случае известных параметров, случае неизвестного коэффициента трения, случае неизвестной массы маятника, случае неизвестной длины маятника,а также в случае неизвестного коэффициента трения, длины и массы одновременно.
Кроме того полученные оценки являются более точными в сравнениес оценками, полученными с помощью метода представления нелинейностей вкачестве политопической неопределенности, предложенного Э. М. Фридман.В разделе 3.3 рассмотрена задача синхронизации трех мобильных роботов в случае постоянного шага дискретизации.В разделе 3.4 изучается система «маятник на тележке», где решается задача раскачки и дискретной стабилизации маятника и тележки. Также для этой системы приводятся описания экспериментальных лабораторных установок LegoMindstorms NXT, позволяющих проводить натурные эксперименты, наглядно демонстрирующие результаты полученных алгоритмов.В разделе 3.5 представлен пример сетевого управления синхронизациейдвух систем «маятник на тележке».В четвертой главе рассматривается задача управления энергией Гамильтоновых систем в случае квантованных измерений сигнала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
