Диссертация (1149516), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тогда + ≡ , + ≡ , + ≡ .Рассмотрим синхронный режим наблюдателя по отношению к ((), ), и пусть ˆ0 — соот0ветствуящая последовательность векторов (3.30), удовлетворяющая ˆ+1= (ˆ0 ) для > 1.Для случая = 0 несложно показать, что при малых начальных отклонениях |0 − ˆ0 | <0 , sup ‖(0 + ) − (ˆ ˆ0 + )‖ < отклонения |1 − ˆ1 |, ‖ˆ1 − 1 ‖ также малы.− 660Рассмотрим ранее определенные матрицы . Так как + ≡ , то последовательность{ }∞=0 содержит не более чем различных матриц , а именно 0 , . . . , −1 .Таким образом, из теорем 3.5–3.8, а также теоремы 3 из [32] получаем следующее условиеустойчивости в малом синхронного режима.Теорема 3.9. Пусть матричное произведение −1 · · · 0 устойчиво по Шуру, т.
e. все собственные значения этой матрицы лежат строго внутри единичного круга. Тогда синхронный режимпо отношению к ((), ) асимптотически устойчив в малом.60Глава 4Задача наблюдения в системегормональной регуляции тестостерона4.1Описание системы гормональной регуляции тестостеронаВ мужском организме в процессе регуляции уровня тестостерона основную роль играют двагормона: лютеинизирующий гормон и гонадотропин рилизинг гормон, которые генерируются вотделах головного мозга (соответственно, гипофизе и гипоталамусе). По этическим соображениям уровень последнего не поддается непосредственному измерению. В связи с этим возникаетзадача восстановления текущего значения гонадотропин рилизинг гормона по доступным измерениям уровней остальных гормонов.Рассмотрим следующую систему третьего порядка, которая является частным случаем системы (1.3)–(1.4) и состоит из непрерывной части˙ 1 () = −1 1 (),˙ 2 () = 1 1 () − 2 2 (),(4.1)˙ 3 () = 2 2 () − 3 3 (),и импульсной части−1 (+ ) = 1 ( ) + ,−3 (+ ) = 3 ( ),−2 (+ ) = 2 ( ),+1 = + , = Φ(3 ( )),61 = (3 ( )).(4.2)Не умаляя общности, полагаем 0 = 0.
Нелинейные функции Φ(·) и (·) (модуляционные характеристики) выбраны следующим образом:(3 /ℎ)Φ(3 ) = Φ1 + Φ2,1 + (3 /ℎ)2, (3 ) = 1 +1 + (3 /ℎ)(4.3)где Φ1 , Φ2 , 1 , 2 , ℎ – положительные параметры, > 1 целое число, откуда следует выполнениеследующих неравенств0 < Φ1 6 Φ(·) < Φ1 + Φ2 ,0 < 1 < (·) 6 1 + 2 .(4.4)Такая система третьего порядка может быть применена для моделирования и изучения процесса секреции, освобождения и регуляции тестостерона в мужском организме [30,31,66], Здесь1 (), 2 (), 3 () — концентрации гормонов: гонадотропин рилизинг гормона GnRH, лютеинизирующего гормона LH и тестостерона Te, соответственно.
Постоянные 1 , 2 , 3 , 1 , 2 — положительные параметры, отражающие кинетику взаимодействия гормонов, участвующих в цепочке регулирования тестостерона следующим образом. В отличие от Te, который генерируется вмужских половых органах (тестикулах), LH и GnRH генерируются в отделах головного мозга,соответственно в гипофизе и гипоталамусе. Поэтому динамика LH и GnRH (GnRH особенно)тесно связана с динамикой нейронов мозга.
Секреция GnRH носит импульсный характер и имеет короткий период полураспада. При этом GnRH стимулирует выделение LH, в свою очередьLH стимулирует секрецию Te, а Te, по принципу отрицательной обратной связи, подавляет импульсную секрецию GnRH в гипоталамусе [96]. Таким образом, уровни гормонов связаны другс другом внутренними обратными связями, и цепочка взаимодействующих гормонов являетсязамкнутой. Частота и амплитуда мгновенных импульсных выбросов GnRH может быть описанас помощью разностных уравнений (4.2), задающих законы частотной и амплитудной модуляции,причем концентрация тестостерона (3 ()) выполняет роль модулирующего сигнала, a концентрация GnRH (1 ()) является импульсным модулированным сигналом.
Импульсная математическая модель (4.1)–(4.2), описывающая динамику гормональной оси (GnRH) – (LH) – (Te), былапредложена и изучена в работе [31]. В дальнейшем было показано, что она имеет хорошее согласование с клиническими данными [67]. Возможности модели проиллюстрированы на рис. 4.1и рис. 4.2.Уровни гормонов LH и Te, можно определить путем анализа крови, однако, концентрациигормона GnRH, секретируемого в гипоталамусе, недоступны для непосредственного измерениябез нанесения вреда организму. Моменты времени и амплитуды импульсных выбросовгормона GnRH не измеряемы, их требуется оценить.621.5x1(t)10.500100200300400100200300400500600700800900100050060070080090010008x2(t)64200Time, t (min)Рисунок 4.1: Красный цвет: концентрации гормона LH (2 ()) , полученные с помощьюмногократного забора крови с десятиминутными интервалами у здорового 27-летнегомужчины.
По вертикали откладывается концентрация гормона, а по горизонтали — время заборапроб крови. Синий цвет: кривые изменения концентраций гормонов GnRH (1 ()) (оцененная) иLH (2 ()) (смоделированная), полученные с помощью модели (4.1)–(4.2). Copyright 2013, AIPPublishing LLC [66].Обозначим () = [1 () 2 () 3 ()] , и перепишем систему (4.1)–(4.2) в матричной формев виде (1.3)–(1.4):()˙= (),() = (),() = (), < < +1 ,(4.5)где⎡⎤⎡⎤−1 00⎢⎥[︁]︁010⎢⎥⎣⎦ = ⎢ 1 −2 0 ⎥ , =, = 0 0 1 ,⎣⎦0 0 102 −3() обозначает концентрации измеряемых гормонов (LH и Te), () — концентрацию гормона(Te), с помощью которого формируется импульсная обратная связь. Очевидно, матрица — гурвицева, т.
е. все ее собственные числа имеют отрицательные вещественные части, что на практике означает, что все молекулы гормонов в конечном итоге распадаются. Также легко видеть,что пара матриц (, ) наблюдаема.638x26420010020030040010020030040050060070080090010005006007008009001000500x34003002001000Time, tРисунок 4.2: Красный цвет: концентрации гормонов LH (2 ()) и Te (3 ()), полученные спомощью многократного забора крови с десятиминутными интервалами у здорового 27-летнегомужчины. По вертикали откладывается концентрация гормона, а по горизонтали — время заборапроб крови.
Синий цвет: смоделированная кривая изменения концентрации Te. Copyright 2013,AIP Publishing LLC [66].Вектор () претерпевает скачки в моменты , когда происходит импульсная секреция GnRHс соответствующими весами :−(+ ) = ( ) + , = Φ(( )),+1 = + ,(4.6) = (( )),[︁]︁где = 1 0 0 , функции Φ(·), (·) заданы с помощью (4.3). Легко видеть, что = 0, = 0, следовательно, функции (), () являются непрерывными.4.2Синтез коэффициентов усиления наблюдателя для 1циклаРассмотрим систему (1.3)–(1.4) и наблюдатель (2.1), (2.3) с дополнительной обратной связью вдискретной части наблюдателя с матрицей коэффициентов усиления .
В работе [104] путеммоделирования установлено, что наличие такой дополнительной обратной связи наиболее актуально для -циклов c малым значением (см. также раздел 4.3.1). Поэтому наиболее важнымна практике является случай 1-цикла в системе (4.5)–(4.6), описывающий модель гормональной регуляции тестостерона, для которого в данном разделе будет предложен алгоритм синтеза64наблюдателя (2.1), (2.3) (матриц коэффициентов усиления и ), обеспечивающего асимптотическую устойчивость в малом синхронного режима, а также быструю сходимость [108].Находясь в обозначениях раздела 2.2, рассмотрим решение ((), ) системы (1.3)–(1.4),удовлетворяющее свойствам +1 ≡ , +1 ≡ , +1 ≡ (т.
е. решение является 1-циклом),а также синхронный режим наблюдателя (2.1), (2.3) по отношению к решению ((), ). Тогдавсе элементы соответствующей векторной последовательности ˆ0 в (2.4) совпадают и равны00 ). Следовательно, выполнено и +1 ≡ , т. е. вˆ00 , а также выполнено условие ˆ00 = (ˆпоследовательности { }∞=0 все матрицы совпадают: = 0 . Таким образом, в случае 1-цикладля асимптотической устойчивости в малом синхронного режима требуется устойчивость поШуру матрицы Якоби 0 оператора (·) в точке ˆ00 , т.
е. спектр матрицы 0 должен лежатьвнутри единичного круга.Обозначим через ( ) спектр некоторой матрицы ∈R , т. е. ( )={1 ( ), . . . , ( )}, где ( ) — собственное число матрицы . Спектральный радиус будем обозначать следующим образом:( ) = max{|1 ( )|, . . . , | ( )|}.Приведем дополнительные свойства матрицы Якоби 0 , необходимые для дальнейших рассуждений.Теорема 4.1. Матрицы Якоби 0 обладает следующими свойствами.1. Матрица 0 может быть представлена в виде:0 = 0 ( ) + 0 ().2. Существует невырожденное преобразование такое, что матрицы˜0 ( ) = −1 0 ( ) и˜ 0 () = −1 0 () имеют следующую структуру:⎡⎤O O ×1⎦,˜0 ( ) = ⎣*1× *1×1⎡*˜ 0 () = ⎣O1×65* ×10⎤⎦.(4.7)3. Определитель матрицы 0 вычисляется следующим образом:det 0 = e0∑︀=1 ()(Φ′0 0 + 1 + Φ′0 0 ) .(4.8)4. След матрицы 0 вычисляется следующим образом:tr 0 =∑︁e ()0 + Φ′0 0 + 1.(4.9)=15.
Характеристический многочлен матрицы 0 вычисляется следующим образом:∑︀[︁)︀(︀( − Φ′0 0 − 1) det −0 − ( + 0′ ) −]︁− Φ′0 adj(e−0 − ( + 0′ ))(0′ 0 − 0 ) , (4.10)det( − 0 ) = () = e0=1 ()где adj(·) обозначает присоединенную матрицу.Доказательство.и1. Из (3.11) легко видеть, что⎤⎡0 [︁⎦ Φ′ 0 ( ) = ⎣011 − Φ′ 0⎡⎤0 [︁⎦ + ′ 0 () = ⎣00]︁]︁−(0 + 0 ) .2. Рассмотрим следующую матричнозначную функцию, заданную на R → R(+1)×(+1) :⎡⎤ ⎦.ℐ() = ⎣O 1Заметим, что для произвольных , ∈ R , выполнено:ℐ −1 () = ℐ(−),ℐ()ℐ() = ℐ( + ).Рассмотрим следующее преобразование подобия = ℐ(0 ) выражения (4.7):˜0 = ℐ −1 (0 )0 ℐ(0 ) = ℐ −1 (0 ) (0 + 0 ) ℐ(0 ).Тогда имеем⎡⎤OO ×1⎦,˜0 ( ) = ⎣′′Φ0 Φ0 0 + 1⎡⎤]︁0 [︁˜′′⎣⎦0 () = + 0 0 0 − 0 .066(4.11)3.
Так как = 0, то справедливо det(e0 ( + 0′ )) = det e0 = e0∑︀=1 ()̸= 0. Изсвойств дополнений Шура имеем:[︁det 0 = det ˜0 = det e0 Φ′0 0 + 1 − Φ′0 ×]︁)︀−1 0 ′(︀e (0 0 − 0 ) ,× e0 ( + 0′ )и, пользуясь равенством = 0 и свойствами определителя матричной экспоненты, получаем формулу (4.8).4. Прямыми вычислениями получаем(︁)︁(︀)︀˜ 0 () =tr 0 = tr ˜0 = tr −1 (0 ( ) + 0 ()) = tr ˜0 ( ) + (︁)︁(︁)︁˜˜= tr 0 ( ) + tr 0 ()) = tr e0 + Φ′0 0 + 1.5. Пользуясь свойствами дополнений Шура, легко видеть, что характеристический многочлен матрицы ˜0 (и, соответственно, подобной ей 0 ) может быть вычислен следующимобразом:(︀)︀() = det( − ˜0 ) = det − e0 ( + 0′ ) ( − Φ′0 0 − 1) −− Φ′0 adj( − e0 ( + 0′ )) × 0 (0′ 0 − 0 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
