Диссертация (1149445), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Элементы i, , i,  отнесены к экватору Земли.Будем считать (Бордовицына, Томилова, Чувашов, 2012), что спутник подверженвлиянию сжатия Земли, описываемого второй зональной гармоникой геопотенциала, а такжепритяжению Луны и Солнца, которые рассматриваются как материальные точки, движущиесяпо эллипсам с вращающимися линиями апсид и узлов. При сделанных предположенияхаргумент разложения возмущающей функции в ряд (1.4) в однократно осредненной задачебудет иметь следующий вид  (l  2 p  q) M   (l  2 p )  (l  2 p)  m(  ) ,(1.5)а в двукратно осредненной задаче запишется как  (l  2 p)  (l  2 p )  m(  ),(1.6)  t  t  ,   t  t0  ,   0  M   M 0  n  t  t0  ,   0  0 t  t  ,      t  t .  (1.7)причем0000Условие возникновения резонанса можно представить в виде  0,  0.(1.8)Будем называть выражения (1.8) резонансными соотношениями.

Вековые частоты вдвижении спутника    ,J L SJ2LS  определяются как влиянием второй зональной гармоники152223 r0  5cos i  1   3 J n  r0  cos i (1  e 2 ) 2 , Jn,J2J22 2 24a a  (1  e 2 ) 2(1.9)так и влиянием третьего тела: Луны (L) и Солнца (S)33 mL, S  a  2  3e 2 L,S   n(2  3sin 2 i) cos i, 16 m  a  1  e 2 L,SЗдесьe, i, n–3 mL, Sn16 mэксцентриситет,(1.10)322 a  4  5sin i  e(2  3sin 2 i). 2a 1 eнаклонениеисреднеедвижениеспутника,e, i, n – эксцентриситет, наклонение и среднее движение третьего тела, mL, S m –отношение масс третьего телаmL,Sи Землиm . В данных формулах отчетливопрослеживается зависимость величины частот от наклонения орбиты спутника, поэтому такогорода резонансы называют зависимыми от наклонения.Считая влияния Луны и Солнца аддитивными, с учетом формул (1.3 – 1.7) получимлевые части резонансных соотношений (1.8) (Таблица 1.1), определяющие наличие вековыхрезонансов низких порядков для однократно и двукратно осредненных задач трех тел:Земля – спутник – Луна, Земля – спутник – Солнце.

Будем называть для краткости левую частьрезонансного соотношения (1.8) типом резонансного соотношения.Таблица 1.1 — Типы резонансных соотношений низких порядков№123456Тип резонансногосоотношения      SM S  S      SM S  S     2   SM S  2S  M S  2  S  M S  2  S  M S   S№1122  2 LM L  223  LM L  142415     L    LM L  2516      LM L  L2613  M S   S178  2 SM S  2189  SM S  19    S      S21Тип резонансногосоотношения  M L   L№    S   2  2 S    S   2  2 S    S 12710Тип резонансногосоотношения    S      S20     2   LM L  2L  M L  2  L  M L  2  L  M L   L28    L      L    L      L    L   2  2 L    L   2  2 L    L 292716Сюда вошли (Бордовицына, Томилова, 2013a) резонансные соотношения со среднимидвижениями Луны M L и Солнца M S , резонансы нодальных и апсидальных вековых частот  0.спутника и возмущающих тел, а также резонанс собственных частот спутника Соотношения с номерами 1 – 9 и 15 – 23 относятся к резонансам со средним движениемСолнца и Луны соответственно, причем соотношения 1 – 3 и 15 – 17 описывают смешанныйапсидально-нодальный резонанс, соотношения 4 – 7, 18 – 21 описывают нодальный резонанс,соотношения 8 – 9, 22 – 23 дают апсидальный резонанс со средним и движениями Луны иСолнца.

Соотношения 10 – 13 и 24 – 27 описывают смешанный вековой резонанс, асоотношения 14 и 28 – чисто нодальный резонанс. Соотношение 29 представляет собойрезонанс типа Лидова-Козаи, который по своей природе является геометрическим резонансом,так как зависит только от взаимного расположения объектов и не связан с частотами движениявозмущающих тел.Применяемая здесь методика выявления того или иного резонанса в орбитальнойдинамике объекта сводится к исследованию малости соотношений (1.8) для использованныхпри составлении таблицы 1.1.

индексов l, p, p , q, q и m . Далее для тех же значений индексоврассматривается эволюция во времени соотношений (1.5) и (1.6), так называемых критическихаргументов (Александрова, Томилова, Бордовицына, 2014). Это необходимо (Мюрей,Дермот, 2010; Morbidelli, 2002) для того, чтобы установить, какой характер имеют резонансныеконфигурации: устойчивый – при либрационном изменении соотношений (1.5) и (1.6), илинеустойчивый – при циркуляционном изменении. При исследовании долговременной эволюцииво времени соотношений (1.8), (1.5) и (1.6) значения элементов орбиты спутника определяютсяс помощью численного моделирования.1.3 Численная методика исследования долговременной орбитальной эволюцииоколоземного объекта1.3.1 Описание математической модели действующих силВ описании математической модели ограничимся только теми возмущающими факторами, которые рассматриваются в настоящем исследовании.Возмущение от несферичности геопотенциала.

Алгоритм КаннингемаСледуя(Аксенов,1977),будемдействующий на внешнюю точку в виде:представлятьпотенциалпритяженияЗемли,17GmVr0  n  r n 10     Pn,m (sin ) Cn,m cos m  Sn,m sin m   ,n 0 m0  r (1.11)где G и m — соответственно гравитационная постоянная и масса Земли r0 – средний радиусЗемли, r – радиус-вектор внешней точки; ,  – широта и долгота, Cn,m , Sn,m – нормализованные гармонические коэффициенты, характеризующие структуру гравитационного поля Земли;Pn,m (sin ) – полностью нормированные присоединенные функции Лежандра порядка n и сте-пени m, связанные с классическими Pn,m формулойPn,m  N n,m Pn,m ,где n  m  2n  1  2  Em , n  m !N n,m 1, m  0,Em   2, m  0.Для вычисления составляющих разложения и их производных введем функциюVn,m Pn,m (sin )(cos m  i sin m )r n1.Перепишем (1.11) какnV  Gm Re   r0n (Cn,m  iSn,m )Vn,m .(1.12)n 0 m 0Выразим прямоугольные координаты x1 , x2 , x3 через сферические r , ,  :x1  r cos  cos , x2  r cos  sin , x3  r sin .Перепишем Vn,m через координаты x1 , x2 , x3 :Vn,m Pn,m (sin )( x1  ix2 ) mcos m .(1.13)Существует три рекуррентных способа (Cuningam, 1970; Брумберг, 1980, Холшевников,Питьев, Титов, 2005) вычисления функций Vn,m и их частных производных по x1 , x2 , x3 .

В алгоритме Л.Е. Каннингема рекуррентные соотношения выводятся для выражения (1.13).18Используя введенные обозначения, можно получить для вычисления нормированныхшаровых функций Vn,m и их частных производных по x1 , x2 , x3 нижеследующие рекуррентныесоотношения (Бордовицына,1984):222(21)(1)nnm4n  1 x3 1V,()Vn,m Vnmnmnm1,2,(2n  3)(n 2  m 2 ) r 2n2  m2 r 231r 2   xi2 , V0,0  .ri 1Vn,m Em (2n  1) x1  ix2Vn 1,m1 , (n  m)Em-1 (2m)r2Vn,mx1Vn,mx2Vn,mx2Vn,mx3 2n  1 n  m  2  n  m  1 Vn1,m1 2 2n  3 2  2n  1 n  m  2  n  m  1 Vn 1,m1,  m  0 Em-1  2n  32 2n  1 n  2  n  1 Re V , m  0n 1,12  2n  3 2n  1 n  m  2  n  m  1 Vn 1,m 1i2 2n  3 2  2n  1 n  m  2  n  m  1 Vn1,m1,  m  0i2Em-1  2n  3 2n  1 n  2  n  1 Im V , m  0n 1,12  2n  3 2n  1 n  m  1 n  m  1Vn1,m ,  m  0  . 2n  3 Vn,mx1(1.14)(1.15)В алгоритме, предложенном А.

Дрожинером и В.А. Брумбергом (Брумберг, 1980) действительная и мнимая часть в Vn,m разделены следующим образомVn,m  X n.m  iYn,m .Соотношение (1.12) переписывается в видеnV  Gm   r0n (Cn,m X n,m  Sn,mYn,m ),n 0 m 0(1.16)19а рекуррентные соотношения выводятся для X n,m и Yn,m .В алгоритме К.В. Холшевникова (Холшевников, Питьев, Титов, 2005) гравитационныйпотенциал записывается в форме (1.16). Поскольку градиент шаровой функции сам являетсяшаровой функцией, а ее порядок повышается на единицу, можно записатьgrad V  GmN 1n  r0n1 ( A n,m X n,m  Bn,mYn,m ).n l 1 m 0Безразмерные компоненты векторов A n,m и B n,m представляются как линейные комбинации коэффициентов Cn,m и S n,m .В программном комплексе «Численная модель движения систем ИСЗ» используетсяалгоритм Каннингема.Вычисление возмущений от третьего телаПри наличии в движении ИСЗ возмущений от третьего тела в уравнениях движенияпоявляется сила, определяемая формулой (Бордовицына, Авдюшев, 2007)x R x  x   i 3 i  i3  ,xir  где   x1  x1 2   x2  x2 2   x3  x3 2(1.17)– расстояние от спутника до возмущающего тела;x   x1 , x2 , x3  – вектор положения возмущающего тела; r | x |, а   GmL,S – произведениепостоянной тяготения на массу возмущающего тела Луны ( L ) или Солнца ( S ).Возмущающее влияние Луны и Солнца на движение ИСЗ принято считатьнезависимыми друг от друга, поэтому формулой (1.17) можно пользоваться и в том, и в другомслучаях.

При одновременном учете возмущений от Луны и Солнца в правой частиуравнений (1.1) будут два слагаемых типа (1.17).Основной проблемой при вычислении влияния Луны и Солнца является вычислениекоординат возмущающего тела. Для этого используются фонды координат больших планет:DE405/LE405 – для высокоточных вычислений на временном интервале (1600 – 2200 гг.) иDE406 – для исследования долговременной орбитальной эволюции околоземных космическихобъектов.201.3.2 Алгоритм MEGNO-анализа орбитальной эволюции объектовХарактеристики хаотичности движенияВ качестве основной характеристики хаотичности движения будем рассматриватьусредненный параметр MEGNO (Cincotta, Girdano, Simo, 2003), который представляет собойвзвешенную на ограниченном интервале времени интегральную форму ляпуновскогохарактеристического числа (LCN).Пусть динамическая система определится системой уравненийdx(t )  f (x(t ), ), x  R 2n ,dt(1.18)где x(t ) – шестимерный вектор состояния системы, а  – вектор параметров модели сил.

Характеристики

Список файлов диссертации