Диссертация (1149445), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Пустьдалее   t     t , x0 , t0  есть решение системы (1.18) при начальных условиях  t0 , x0  , тогдаLCN определится как (t )1  lim ln,t  t (t0 )(1.19)где  (t ) , так называемый касательный вектор, который измеряет эволюцию начального бесконечно малого отклонения   t0    0 между решением   t  и очень близкой орбитой. Эта эволюция с точностью до бесконечно малых первого порядка может быть описана вариационнымуравнением видаdf    (t )  J (f ((t ))) (t ), J (f ((t )))  ((t )),dtx(1.20)где J    t   есть матрица Якоби системы дифференциальных уравнений. Параметр LCN можетбыть представлен также в интегральной форме:t1   ( s )ds,  lim t  t  ( s )0(1.21)причем    ,        /  .Параметр MEGNO Y  t  вводится как взвешенная по времени интегральная форма LCN:Y  t  t2   ( s )sds,t 0  ( s )(1.22)21а средняя величина Y  t  получается какt1Y (t )   Y ( s )ds .t0(1.23)Эволюция Y  t  во времени обладает рядом особенностей для различных типов орбит.Так, например, известно, что для квазипериодических (регулярных) орбит Y  t  осциллируетоколо 2.

Более того, для квазипериодических орбит Y  t  всегда стремится к 2, а дляустойчивых орбит типа гармонического осциллятора Y  t   0 .В задачах численного моделирования целесообразно (Valk et al., 2009) заменитьинтегральные соотношения (1.22) и (1.23) дифференциальными уравнениями и интегрироватьсовместно с уравнениями движения (1.18) и уравнениями в вариациях (1.20) и еще двауравнения  ddyyt,w2 , dtdtt(1.24)причем величины y и w связаны с параметрами MEGNO какY (t )  2 y (t ) / t , Y (t )  w(t ) / t .(1.25)Использование параметра MEGNO (Valk et al., 2009) позволяет получить более полнуюинформацию о динамике орбит и их касательного вектора.

Интегрирование уравнений (1.18) и(1.24) рекомендуется осуществлять в прямоугольных координатах и скоростях. Это позволяетисследовать орбиты с любыми эксцентриситетами и наклонениями.Для интегрирования следует использовать эффективный метод высокого порядка иразрядную сетку ЭВМ, гарантирующие, что ошибки интегрирования не попадут в вычисленныевеличины MEGNO.Очевидно, что выбор величины начального вектора  0 может оказывать влияние нахарактер получаемой эволюции движения, поэтому рекомендуется (Cincotta, Girdano,Simo, 2003) подбор величины вектора проводить на заведомо регулярных орбитах, длякоторых Y  t   2 .Алгоритм вычисления характеристик хаотичности движения ИСЗПусть движение искусственного спутника Земли в инерциальной прямоугольнойсистеме координат x, y, z описывается системой дифференциальных уравнений вида (1.1) сначальными условиями (1.2).

В рамках данной задачи будем полагать, что P  0 .22Алгоритм вычисления параметров MEGNO построим, следуя (Бордовицына, Александрова, Чувашов, 2010). Уравнения движения (1.1) будем интегрировать совместно с уравнениями ввариациях (1.20) и уравнениями (1.24). В нашем случае  0 есть малая вариация начальных условий (1.25),  (t ) есть вариация текущих параметров, а матрица Якоби состоит из двух блоков OA J , BO (1.26)где A – единичная матрица, а матрица B имеет вид VB  QJ  x RL J x RS J x.(1.27)В формуле (1.27) для краткости через J  U x  обозначена матрица частныхпроизводныхвторогопорядкаотгеопотенциала,ачерезJ  RL x иJ  RS x  соответственно матрицы частных производных второго порядка от возмущающихфункций Луны и Солнца.Вычисление вторых частных производных от потенциала притяжения Земли можетпроизводиться двумя способами. В основу этих способов вычисления положено представлениепотенциала Земли в виде (1.12) и его производных в виде nVV Gm Re   r0n (Cn,m  iSn,m ) n,m ,xjxjn  0 m 0(1.28) n 2Vn,m 2Vn Gm Re   r0 (Cn,m  iSn,m ),xj xkxj xkn0 m0(1.29)где функции V и их частные производные вычисляются в прямоугольной системе координатжестко связанной с Землей.Рекуррентные соотношения для вычисления нормированных функций вычисляются поформуле (1.14), их производные – по формуле (1.15), а вторые частные производные могут бытьвыражены через первые производные следующим образом:23Vn1,m 1 1Vn 1,m1 2Vnm1XYm,(0)nmnmx1x122x122Vn1,1 Vn 0XRe,n0x1x12Vn1,m 1 1Vn1,m 1 2Vnm1X nmYnm, (m  0) x1x2x2x222Vn1,1 2Vn 0XRe,n0x2x122Vn 1,m1 iVn1,m1 Vnm iX nmYnm, (m  0) 2x2x22x22Vn1,1 2Vn 0  X n 0 Im,2x2x22Vn 1,m1 1Vn 1,m1 Vnm1X nmYnm, (m  0) x1x3x3x322Vn1,1 2Vn 0  X n 0 Re,x1x3x32VV Vnm iiX nm n1,m1 Ynm n1,m1 , (m  0) x2 x3 2x3x322V Vn 0  X n 0 Im n1,1 ,x2 x3x32Vn 1,m Vn 0  Z nm,2x3x3(1.30)где E  (2n  1)(n  m  1)(n  m  2),X nm   m 2n  3 Em1  E  (2n  1)(n  m  1)(n  m  2),Ynm   m 2n  3 Em1 (2n  1)(n  m  1)(n  m  1),Z nm 2n  31 Em   , m  0,  2 Em1  1, m  0, Em  2, m  1; Em1  1, m  1.Кроме того, вторые частные производные могут быть выражены непосредственно черезфункции Vn,m .

При компьютерной реализации вычислений отдается предпочтение способувычисления частных производных от геопотенциала по формулам (1.30), так как он требует24сохранения в памяти ЭВМ несколько меньшего объема табличной информации и используетменьший объем арифметических операций.Вычисление вторых частных производных, обусловленных притяжением Луны иСолнца, осуществляется по нижеследующим формулам.Используя формулу (1.17) для функций RL  ( x1 , x2 , x3 ) и RS  ( x1 , x2 , x3 ) ( j , k  1, 2, 3) ,можно легко получить следующие основные соотношения 2 RL  3( xLj  x j )( xLk  xk ) L3  E jk  ,2x j xk  L L(1.31) 2 RS  3( xSj  x j )( xSk  xk ) S3  E jk  ,2x j xk  S S(1.32)0, j  k ,E jk  1, j  k .Здесь L и S – произведения постоянной тяготения на массу соответствующихвозмущающих тел; xLj и xSj – прямоугольные координаты возмущающих тел в инерциальнойгеоцентрической системе координат ( j  1, 2, 3) ;L 3 ( xLj  x j )2 ,  S j 13 ( xSj  x j )2 .j 1В приведенных формулах координаты возмущающих тел определяются в рамках тех жетеорий, которые используются обычно при вычислении частных производных RL x j иRS x j .Таким образом, предлагаемый алгоритм для вычисления характеристики MEGNOхаотичности движения ИСЗ состоит в совместном численном интегрировании уравнений (1.1),(1.20) и (1.24) с использованием формул (1.26) – (1.32) и (1.14), (1.15) для вычисления функцийправых частей этих уравнений.1.3.3 Особенности реализации численной модели движения ИСЗ на кластере«Скиф Cyberia».

Оценка точностиСовместное интегрирование уравнений (1.1), (1.20) и (1.24) в используемой нами моделидвижения ИСЗ осуществляется численно неявным одношаговым методом Эверхарта(Everhart, 1974)высокогопорядка.Комплекспрограмм,реализующийчисленноеинтегрирование уравнений (1.1), (1.20) и (1.24) с функциями правых частей этих уравнений,25определенных формулами (1.14), (1.15) и (1.26) – (1.32), основан на программе «Численнаямодель движения систем ИСЗ». Указанная программа реализует численное решениеуравнений (1.1) с соответствующими правыми частями (Бордовицына и др., 2009). Программадополнена блоком решения уравнений (1.20) и (1.24) для вычисления параметров MEGNO(Бордовицына, Александрова, Чувашов, 2010).В «Численной модели движения систем ИСЗ» используется новый код интегратораЭверхарта GAUSS_15, разработанный Авдюшевым В.А. (Авдюшев, 2010).

Новый код обладаетрядом преимуществ по сравнению с более ранними версиями интегратора RA15 и егомодификациями типа RADAU_27, такими, как значительное сокращение программного кода;отсутствие всех констант, связанных с порядком метода (большое количество которыхзатрудняло обобщение кода на другие порядки); оптимальный подбор стартового шагаинтегрирования, поскольку шаг выбирается по оценке интегрирующей схемы второго порядка сучетом поведения правых частей уравнений движения.Кроме того, интегратор обладает новыми возможностями:1.

интегрирование на шаге до полной сходимости итерационного процесса;2. запоминание величины предпоследнего шага после выполнения процедуры интегрирования, что весьма полезно при многократном использовании программного кода в режимепеременного шага;3. быстрый выбор стартового шага, требуемый лишь для первого обращения к интегратору (при повторном обращении используется запоминаемый шаг предыдущего обращения).Используемый программный комплекс реализован на кластере ТГУ «Скиф Cyberia» сиспользованием параллельных вычислений.Кластер «Скиф Cyberia» по структуре доступа к оперативной памяти относится к видукластеров с распределенной оперативной памятью и позволяет задействовать в процессеобработки данных значительные ресурсы как оперативной памяти узла (до 4 Гб), так ипроцессорнойпамяти.Основнойприменяемыйвпрограммномкомплексепринципраспределения вычислений по ядрам кластера – это распределение по объектам. Программныйкомплекс позволяет отслеживать одновременно эволюцию орбит более 1000 объектов.Применение методов распараллеливания позволяет при запуске программного комплексаодновременно задействовать до 300 процессоров кластера и оптимально распределить междуними объекты.

При таком распараллеливании быстродействие программного комплексаувеличивается в десятки раз по сравнению с одновременным интегрированием орбит 1000объектов на одном процессоре. Второй важной особенностью кластера является возможностьварьировать разрядную сетку от 32 до 128 бит. Это позволяет управлять точностью численноймодели и ее быстродействием.26Поскольку в данной работе представлены результаты исследования долговременнойорбитальной эволюции объектов, приведем оценку точности (Бордовицына, Томилова,Чувашов, 2012) прогнозирования движения ИСЗ, которую можно гарантировать прииспользовании данного программного комплекса.

На рисунке 1.1 для спутников Эталон-1 иЭталон-2 приведены (в логарифмической шкале) оценки точности численного моделированиядвижения на интервале времени 100 лет, полученные с использованием 64 и 128 битнойразрядных сеток. Оценки получены по результатам прямого и обратного интегрирования. Онипоказывают, что при работе на 64 битной разрядной сетке на 100 летнем интервале временигарантирована точность 10 метров, а на 128 битной сетке – миллиметровая точность.Эталон-2Эталон-10.010.010.0010.0010.00010.00011E-0051E-005r, кмr, км1E-0061E-0071E-0081E-0061E-0071E-0081E-0091E-0091E-0101E-0101E-01164-битная разрядная сетка128-битная разрядная сетка1E-0121E-01364-битная разрядная сетка128-битная разрядная сетка1E-0111E-0120204060t, годы801000204060t, годы80Рисунок 1.1 — Оценка точности прогнозирования векторов положения объектов100272 ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ ОТРАБОТАВШИХОБЪЕКТОВ СПУТНИКОВЫХ РАДИОНАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ ГЛОНАСС,GPS И BEIDOU IGSO2.1 Общие закономерности орбитальной эволюции неуправляемыхобъектов СРНСНастоящий раздел работы посвящен анализу результатов исследования резонансныхвозмущений и их влияния на долговременную орбитальную эволюцию объектов СРНС.

Этиисследования были начаты под впечатлением работ (Chao, Gick, 2004; Rossi, 2008), в которыхбыла описана динамика объектов систем GPS, ГАЛИЛЕО и частично ГЛОНАСС, а также былопоказано, что для орбит с наклонениями, выбранными для созвездий навигационных систем,возмущения от вековых лунно-солнечных резонансов являются весьма значительными вобласти МЕО. Эти возмущения приводят к возрастанию эксцентриситета орбиты, чтосущественноменяетположениеорбитывпространстве.Мыбудемрассматриватьдолговременную орбитальную эволюцию неуправляемых объектов трех навигационных системГЛОНАСС, GPS и BEIDOU IGSO.2.1.1.Зависимость возрастания эксцентриситета от наклоненияДля исследования динамической эволюции были выбраны объекты спутниковыхнавигационных систем, основные параметры орбит которых приведены в таблице 2.1.Таблица 2.1 — Параметры орбиты исследуемых объектовСпутникGPSГЛОНАССT, сei, град43077.61 0.00202 54.7189 , град. , град83.158427.0021 –165.385540544.82 0.00456 63.8743 136.4974M 0 , град99.70090.0000BEIDOU IGSO-1 86178.60 0.00280 54.7511 212.2417 191.4996202.3179BEIDOU IGSO-2 86175.60 0.00208 54.9537 332.9232 175.367979.2272BEIDOU IGSO-3 86169.00 0.00212 55.672092.6995 191.24210.7374BEIDOU IGSO-4 86177.40 0.00215 55.0705 214.3262 173.4844113.6056BEIDOU IGSO-5 86154.00 0.00182 55.0852 332.3159 180.934182.5926Причем во всех описанных в данной главе численных экспериментах такие начальныепараметры как период обращения T, эксцентриситет e и средняя аномалия в эпоху M 0 не28менялись.

Характеристики

Список файлов диссертации