Диссертация (1149397), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Следующая формула описывает решение однороднойсистемы разностных уравнений (5.1.2): “ÿ8ÿ ´ ´“0 p ´ q ´ ,(5.3.1)“`1когда ряд во втором слагаемом сходится. Здесь мы берём 0 равным to0.Замечание 5.12. Следующую формулу можно рассматривать как аналогфункции Грина для разностных уравнений:# ´ ,0 ď ď ,, “´ p ´ q ´ , 0 ď ă .Таким образом, формула (5.3.1) может быть записана более компактно: “8ÿ, .“057(5.3.2)Лемма 5.13. Пусть 0 , 1 , – неотрицательные целые и P R – ненулевой вектор.Тогда выполнены следующие неравенства| |ÿp ` 1q´ | |´1 ď“0ď p ` 1q´ , 0 ď 0 ď ;1ÿ| p ´ q| p ` 1q´ | |´1 ď(5.3.3)“ď 2 p ` 1q´ ,0 ď ď 1 .(5.3.4)Доказательство.
Фиксируем такие неотрицательные целые 0 , 1 , что 0 ď1 . Рассмотрим последовательность , удовлетворяющую “ 0, ą 1 .Тогда формула (5.3.2) преобразуется в следующее выражение: “1ÿ, .“0Для ě 1 все индексы в сумме меньше или равны 1 , что соответствуетпервому случаю из определения , . Тогда предыдущее равенство можнопереписать следующим образом: “ 1ÿ´ .“0Видно, что вектор для ě 1 – образ не зависящего от вектора из 1 .Это значит, что вся последовательность , кроме конечного числа членовявляется решением однородной системы (5.1.1) с начальным условием из1 . Поэтому принадлежит . Используя то, что 0 “ 0, мы получаем0 “ ´p ´ q1ÿ´ P 2 .“0Поэтому “ и, таким образом }} ď } } .
Пусть “ . Определим последовательность следующим образом$’ ă 0 ;&0, “ p ` 1q´ | | , 0 ď ď 1 ;’%0, ą 1 .58Тогда } } “ 1. Подставляя формулу для решения в неравенство из утверждения 5.10, получаемˇˇ1ˇÿˇˇ ˇ´(5.3.5)ˇ p ` 1q ,ˇ “ | | ď p ` 1q´ .ˇ“| | ˇ0Для 1 “ “ , 0 “ 0 из неравенства (5.3.5) мы получаем, что если ě 0 , тоˇˇ ˇˇˇÿˇ ˇÿˇˇˇ ˇ ˇ´´´p ` 1q ,p ` 1q ´p ` 1q ě ˇˇ“ˇˇ“ˇ“| | ˇ| | ˇ ˇ“00ˇˇˇˇÿÿˇ´1 ˇ´p ` 1q´ | |´1 .p ` 1q | | ˇ “ | |“ ˇ ˇˇ““00Чтобы доказать второе неравенство из утверждения леммы, будем действовать аналогично.
Важно заметить, что во втором случае из определения , неравенство строгое. Поэтому для “ ´ 1, 0 “ , 1 “ 1 из(5.3.5) мы получаем, что для 0 ă ď 1 выполненоˇˇˇ ˇ11ˇÿˇˇÿ ˇˇ ˇ ˇˇ´´´ ě ˇ p ` 1q ´1,ˇ “ ˇ ´p ` 1q ´1 p ´ q ´ˇ“ˇ“| | ˇ| | ˇ ˇ“ˇˇ1ˇˇÿˇ´1 ˇ´“ ˇ´1 p ´ qp ` 1q | | ˇ “ˇˇ““ |´1 p ´ q|1ÿp ` 1q´ | |´1 ““1ˇ ´1ˇÿˇˇ“ ´1 p ´ qp ` 1q´ | |´1 ě“´1ě }´1 }| p ´ q|1ÿp ` 1q´ | |´1 .“Теперь мы докажем второе неравенство из утверждения леммы для случая 0 “ ă 1 , используя предыдущее равенство для “ 1 :|0 p ´ q|1ÿp ` 1q´ | |´1 ““059“ |0 p ´ q|1ÿp ` 1q´ | |´1 ` |p ´ q| ď“11ÿ› ´1 ›››››|1 p ´ q| p ` 1q´ | |´1 ` 1 ď ›0 ´1 › ` 1.ď 0“1Для “ 1 “ 0 неравенство очевидно.Лемма 5.14.
Пусть 0 , 1 , , – неотрицательные целые и – вектор.Обозначим “ 1 ´ p4 q´1 .Тогда выполнены следующие неравенства:если ‰ 0, тоÿp ` 1q´| |´1ďÿ´“0p ` 1q´ | |´1(5.3.6)“0для ě ě 0 ;если p ´ q ‰ 0, то1ÿp ` 1q´| p ´ q|´1“´ď1ÿp ` 1q´ | p ´ q|´1 (5.3.7)“для 1 ě ě ;Доказательство. Обозначимÿ “p ` 1q´ | |´1 , ě 0 .“0 “1ÿp ` 1q´ | p ´ q|´1 , ď 1 ,“Мы докажем неравенство (5.3.6). В силу ‰ 0, легко заметить, что ą 0.Также очевидно, что ´´1 “ p `1q´ | |´1 . Поэтому, заменяя на в неравенстве (5.3.3), мы получимď ď 2. ´ ´160Тогда ´ ´1´1“1´.`˘Поэтому ´1 ď 1 ´ p2 q´1 . Пользуясь этим неравенством последовательно необходимое число раз, получим`˘ `˘ ď 1 ´ p2 q´1 .
. . 1 ´ p2 q´1 “p2 q´1 ď`˘´“ 1 ´ p2 q´1 , ě .Для доказательства второго неравенства из утверждения леммы заметим, что ą 0. Аналогично доказательству первого неравенства изутверждения леммы, выполнено, что ´ `1 “ p ` 1q´ | p ´ q|´1 .Заменяя на p ´ q в (5.3.4), мы получаем´¯´1 ´`1 ď 1 ´ p2 q p ` 1q ď´¯´1ď 1 ´ p4 q .И, снова, пользуясь этим неравенством последовательно необходимоечисло раз, получим неравенство (5.3.7).5.3.2ДоказательствоМайзелядискретногоаналогатеоремыТеорема 5.9. Выполнены следующие неравенства:} ´ } ď 2 p ` 1q´ p ` 1q ´при 0 ď ď ;} p ´ q ´ } ď 22 2 p ` 1q´ p ` 1q ´при 0 ď ă .Доказательство. Фиксируем натуральное ě 1 и единичный вектор .Определим последовательность :#´ p ´ q ´ , 0 ď ă , “ ´ , ě .61Последовательность совпадает (кроме конечного числа членов) с решением однородного уравнения (5.1.1) с начальными условиями из 1 и поэтому принадлежит .
Теперь определим последовательность так,что последовательность является решением неоднородного уравнения(5.1.2) с неоднородностью :#0, ‰ , “, “ .Легко заметить, что в этом случае действительно является решением. Тоесть “ . Поэтому }} ď } } “ p ` 1q . Докажем теперь первоенеравенство для операторных норм из утверждения теоремы. Используяопределение последовательности , мы можем написать| ´ | “ | | ď p ` 1q´ p ` 1q , ď .Так как может быть любым единичным вектором, это даёт нам оценкудля операторных норм ´ .
Теперь в предыдущем неравенстве мыможем заменить на решение однородного уравнения “ :| | “ | ´ | ď p ` 1q´ p ` 1q | | , ď .(5.3.8)Пусть ‰ 0. Тогда, пользуясь оценками (5.3.3) и (5.3.6) для 0 “ и(5.3.8) для “ , получим˜¸´1ÿ| ´ | “ | | ď p ` 1q´p ` 1q´ | |´1ď“´ď p ` 1q´¯´1´1´p´q´p ` 1q | |““ p ` 1q´ ´ p ` 1q | | ďď 2 p ` 1q´ p ` 1q ´ | | .Если “ 0, то итоговое неравенство очевидно. Так как “ и является изоморфизмом, получаем оценку операторных норм:} ´ } ď 2 p ` 1q´ p ` 1q ´ ,1 ď ď .Здесь мы пользовались только тем, что неравенство (5.3.8) выполнено при “ .
Это так же верно при “ “ 0, так как } } ď 1. Таким образом,мы доказали оценку для 0 ď ď .62Доказательство второй оценки из утверждения теоремы при ą аналогично доказательству первой оценки. Небольшие отличия имеютсятолько в силу того, что мы не можем использовать аналог неравенства(5.3.8) для “ из-за того, что в определении последовательности числа и не могут быть равны. Следующее неравенство может быть доказано тем же образом, что и неравенство в доказательстве первой оценки| p ´ q| “ | p ´ q ´ | ď p ` 1q´ p ` 1q | | , ą .Для “ ´ 1 мы умножаем вектор внутри скобок нормы на ´1 :| p ´ q| “ |´1 ´1 p ´ q ´ | ďď }´1 } |´1 p ´ q ´ | ď p ` 1q ´ | | .(5.3.9)После этого доказательство полностью аналогично доказательству первойоценки.Лемма 5.15. Для любого P p0, 1q существует такая константа ą 0,зависящая только от и , что˜¸8ÿÿ´ p ` 1q´ `p ` 1q´ p ` 1q´ ă (5.3.10)“0“`1для любого ě 0.Доказательство.
Оценим первое слагаемое из (5.3.10). Для этого достаточно оценить соответствующий интеграл:żp ` 1q´ p ` 1q´ “0˜ż“ p ` 1q2¸ż´ p ` 1q´ `´ p ` 1q´ .20Теперь оценим два интеграла из предыдущей формулы, по-отдельности.Первый может быть оценен следующим образом:żp ` 1q2ż´p ` 1q´2 ď p ` 1q0´ ď0żď p ` 1q201 2 “ p ` 1q 2 ď 0 .263Второй интеграл может быть оценен так:p ` 1q´ p ` 1q´ ď´22ż`12 `1¸´ ď´¯´¯´´ 2 “ 2 ´ “ 2 1 ´ 2 ď 3 .´ď 1 ˜żż2Теперь мы можем оценить второе слагаемое из (5.3.10):p ` 1q8ÿ´p ` 1q´8ÿ´ ă 4 .ď“`1“`1Теперь докажем теорему 5.7. Покажем, как свойство pZ` q влечётгиперболичность. Пусть “ 22 2 , “ p1 ´ p4 q´1 q, “ ´ , “ p ´ q´ .Используя теорему 5.9, несложно проверить, что выполнены первые дваусловия из определения гиперболичности и оценки из замечания 5.8.
Равномерные оценки норм проекторов и выполнены в силу замечания5.7.Теперь проверим, что гиперболичность влечёт свойство pZ` q.Пусть } } ă . Определим последовательность следующим образом:ÿ “Φ, ´“08ÿΦ, .“`1Пусть , – числа из определения гиперболичности последовательности. Используя лемму 5.15, получаем следующие оценки:¸˜8ÿÿp`1q | | ď p`1qp ` 1q´ }Φ, } `p ` 1q´ }Φ, } ď“0˜ď p ` 1qÿ“`1´ p ` 1q´ `“08ÿ“`164¸´ p ` 1q´ă .5.4Аналог теоремы ПлиссаПусть “ Z и ě 0.
Предположим, что нормы и ´1 ограничены.Утверждение 5.16. Если последовательность обладает свойством pZq, то она гиперболична на Z` и Z´ с устойчивыми и неустойчивыми пространствами ` , ` и ´ , ´ соответственно.Доказательство. Так как свойство pZq есть у последовательности ,также имеются свойство pZ` q для её положительной части t u8“0и свойство pZ´ q для её отрицательной части t u0“´8 . Поэтому гиперболичность на Z` следует непосредственно из теоремы Майзеля.
Вчастности, это значит, что существуют устойчивые и неустойчивые пространства ` и ` . Гиперболичность на Z´ также следует из теоремыМайзеля, но на этот раз она должна быть применена не к уравнениям(5.1.1) и (5.1.2), но к уравнениям “с обращённым временем”: “ ´1 `1 , P Z` ,´1 “ ´1 `1 ´ `1 , P Z` .8Поэтому для гиперболичной последовательности t´1´ u“0 есть проr , имея в виду послеr . Положим ´ “ r и ´ “ странства r и довательность t u0“´8 .Утверждение 5.17.
Если последовательность обладает свойством pZq, то она гиперболична на Z` и Z´ , и пространства 0` и 0´ изутверждения 5.16 трансверсальны.Доказательство. Пусть пространства 0` и 0´ не трансверсальны. Тогдасуществует такойвектор , что ‰ 1 ` 2 , где 1 P 0` , 2 P 0´ . МыŞзнаем, что 0` 0` “ 0, 0` ` 0` “ R , поэтому может быть представлен, как “ ` , где P 0` и P 0` . Следовательно, ‰ 1 ` 2для 1 P 0` , 2 P 0´ . Возьмём последовательность чисел , чьи членыравны 0 для отрицательных индексов и равны 1 для неотрицательных.Построим последовательность , которая приведёт к противоречию: “ ´8ÿΦ, , P Z,“`1где65 “ p ` 1q´Φ,0 .|Φ,0 |Вектора принадлежат ` , ě 0, так как Φ, отображает ` в ` поопределению гиперболичности.
Ряд из определения последовательности сходится:ˇˇ888ˇˇ ÿÿÿˇˇ|Φ, | ď||´ p ` 1q´ ďΦ, ˇ ˇ“`1“maxp0,`1q“maxp0,`1qď ||8ÿ ď 1“0Заметим, что последовательность t uPZ` принадлежит pZ` q :ˇˇ88ˇ ÿˇÿˇˇp ` 1q ˇΦ ˇ ď p ` 1q|Φ, | `1 , ˇ“maxp0,`1qď p ` 1q8ÿp ` 1q´8ÿ›››››Φ, |` › || ď 2 ||´ ď“maxp0,`1q“maxp0,`1qď 2 ||8ÿ1 ď 3 .“0Легко заметить, что последовательность является решением неоднородного уравнения (5.1.2). Более того, выполнено следующее неравенство8ÿ0 “ ´ Φ0, “ 4 .“1Это значит, что для 0 выполнено то же, что и для :0 ‰ 1 ` 2 ,(5.4.1)где 1 P 0` , 2 P 0´ .Наличие свойства pZq влечёт существование решения t uPZ P pZq неоднородного уравнения (5.1.2) с неоднородностью .
Так каквсе члены последовательности с неотрицательными индексами равны66нулю, неположительная часть последовательности t uPZ является решением однородного уравнения и поэтому её нулевой член должен принадлежать пространству 0´ .Любые два решения неоднородного уравнения отличаются на решение однородного. Поэтому t uPZ “ t p0 ´ 0 q ` uPZ .
Таким образом t p0 ´ 0 quPZ` “ t uPZ` ´ t uPZ` P pZ` q, так как pZ` q –линейное пространство. Из этого следует, что вектор 0 ´0 принадлежитпространству 0` . Если теперь мы обозначим 1 “ 0 ´ 0 , 2 “ 0 , тополучим, что 0 “ 1 ` 2 , что противоречит неравенству (5.4.1).Теперь докажем теорему 1.6.Сперва покажем, как наличие свойства pZq следует из гиперболичности на Z` и Z´ и трансверсальности пространств ` pq и ´ pq.Фиксируем последовательность P pZq. Рассмотрим её положительную и отрицательную части ` “ t uPZ` , ´ “ t uPZ´ .Так как последовательность гиперболична на Z` и на Z´ , по теореме Майзеля, её положительная и отрицательная части ` “ t uPZ` и´ “ t uPZ´ обладают свойствами pZ` q и pZ´ q соответственно.Поэтому существуют решения ` P pZ` q и ´ P pZ´ q уравнений(5.1.2) для “ Z` и для “ Z´ с неоднородностями ` и ´ соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
