Диссертация (1149397), страница 5
Текст из файла (страница 5)
По определению,Ψκ p ` , q “ ΓpΩκ,`1 p ` 1 ´ p ` q, 0q,Φp ` ´ p ` q, Ψκ p ` , ´ qqq.Заметим, чтоΦp, Ψκ p, ´ qq “ Φp ´ p ` ´ q, Φp ` ´ , Ψκ p, qqq.Можно воспользоваться частью 3 условия (UB):Φp ` ´ , Ψκ p, qq ““ Φp ` ´ , ˆ ` κpˆ qp ´ q ` ´ κ ´1 q ““ ˆ ` pˆ qp ` ´ q ` κpˆ qp ´ q`31` ´ κ ´1 ` p ` q.Кроме того,Ψκ p ` , ´ q “ ˜ ` κpˆ q ` ´ κ ´1 .Мы получили, чтоΨκ p ` , ´ q ´ Φp ` ´ , Ψκ p, qq ““ p1 ´ κqpˆ qp ´ q ` p ` q.Следовательно,››››B ď ›› Φp ` ´ p ` q, ¨q pΨκ p ` , ´ qqq›› ¨B¨ |Ψκ p ` , ´ q ´ Φp ` ´ , Ψκ p, qq| ``p|Ψκ p ` , ´ q ´ Φp ` ´ , Ψκ p, qq|q ďď 1 pp1 ´ κq2 ` p ` qq ` p ` q.Оценку величины можно произвести так же, как делаются оценкив части 2.4.2.2. Значит,• если κ “ 1, то, ď p q ` 1 ` ` 1 pp ` qq ` p ` q;• если κ “ 0, то, ď 1 ` 1 p2 ` p ` qq ` p ` q.2.4.2.7Итоговая оценкаВозьмём теперь “ ˜pq.
Из полученных оценок следует, что Ψκявляется κ pq-методом, где• если κ “ 1, то1 pq “ 1 ` 2 p˜ pqq;• если κ “ 0, то0 pq “ 3 ` 4 ˜pq.32Здесь , “ 1, . . . , 4 — некоторые константы, не зависящие от . Поэтому можно уменьшить так, чтобы´ ¯.(2.4.4)κ pq ă min 0 ,2Кроме того, если κ “ 1, то можно добиться выполнения неравенства1 pq ď2.4.3.4Отслеживание точной траектории траекторией методаСначала оценим величину “ |˜ ´ | , P r´, s. При “ 0очевидно, что выполнено неравенство |´ ´ ˜´ | ď 0 pq. Свойстволипшицева обратного отслеживания гарантирует, что существуют такиеточка ˚ и репараметризация P Rep p0 pqq , что|Φp, ´ q ´ Θ0 ppq, ˚ q| ď 0 pq ď ,2 P R.Фиксируем P r´, s.
Обозначим “ p ` q ´ , “ Θ0 p ` , ˚ q “ Ψ0 p , ˚ q.Тогда ď | ´ | ` | ´ ˜ | ď 0 pq ` | ´ ˜ | .Пусть ą ´. Рассмотрим случаи:• если ą ` , тоΨ0 p , ˚ q “ Φp ´ p ` q, Ψ0 p, ˚ qq “ Φp ´ p ` q, ˜ q.Тогда| ´ ˜ | “ |Φp ´ p ` q, ˜ q ´ ˜ | ďď 1 p ´ ´ q ď 21 0 pq.33• Если ă ´ , то| ´ ˜ | “ |Φp ´ p ´ 1 ` q, Ψ0 p ´ 1 ` , ˚ qq´´Φp1 ´ , Ψ0 p ´ 1 ` , ´ qq ´ | ““ |Φp ´ p ´ 1 ` q, ˜´1 q ´ Φp1 ´ , ˜´1 q ´ | ďď 1 p ´ q ` ď 1 0 pq ` .• Если P r ´ , ` s, то обозначим “ ´ 1 ` .
Тогда| ´ ˜ | “ |ΓpΦp ´ , Ψ0 p, ˚ qq, ˜ q ´ ˜ | ďď |Φp ´ , Ψ0 p, ˚ qq ´ ˜ | .Это величина оценивается точно так же, как в предыдущем случае.Таким образом, доказано, что|˜ ´ | ď 5 , P r´, s,(2.4.5)где 5 — константа, не зависящая от .Теперь докажем разрешимость уравнений, используя возможность отследить Ψ1 . Чтобы подчеркнуть зависимость от , в дальнейшем при записи мы будем писать у них верхний индекс pq. Свойство липшицеваобратного отслеживания гарантирует, что существуют такие точка ˆpq ирепараметризация pq P Rep p1 pqq , чтоˇˇˇpq pqpq ˇˇΦp, ´ q ´ Θ1 p pq, ˆ qˇ ď 1 pq ď , P R.2Выберем таким, чтобы выполнялось неравенство (2.4.4).
Тогдаˇˇˇ pqˇ(2.4.6)ˇ pq ´ ˇ ď 1 pq ď , P r0, 2 s.2Обозначим pq “ ´´ ` ˆpq ,pq “ pq p ` q´,pqpq “ Θ1 p pq p ` q, ´ ` pq q, P r´, s.Неравенство (2.4.6) и определение функции влекут выполнение следующих равенств:pqpqpq “ Ω1, p , pq q,34 P r´, s.pqpqpqПоложим “ Ψ1 p, ´ ` pq q´ ˆ для P r´, s. Тогда, с учётомpqформулы (2.4.2), последовательность решает следующие уравнения:pqpqpqpqpq`1 “ ˜ ` pˆ`1 q`1 ` `1 , P r´, ´ 1s.Разделим получившиеся равенства на и возьмёмpqpqpqpqpq “ {, “ p ´ ˆ q{, P r´, s.Тогда`1 q`1 ` `1 ,`1 “ ˜ ` pˆˇˇˇ pq ˇОценим ˇ ˇ :pqpqpqpqpq P r´, ´ 1s.ˇˇ ˇˇ ˇˇˇ pq ˇ ˇ pqˇ pqpq ˇpq ˇpqˇ ˇ ď ˇΨ1 p, ´ ` q ´ ˇ ` ˇ ´ ˆ ˇ ,(2.4.7) P r´, s. (2.4.8)Оценим сначала первое слагаемое:ˇˇ ˇˇˇ pqˇ pqpq ˇpq pq pq ˇpqpqˇΨ1 p, ´ ` q ´ ˇ “ ˇΩ1, p0, q ´ Ω1, p , qˇ “ˇˇˇpqpq ˇ“ ˇpˆ´1 q ˇ ď 2 1 pq, P r´, s.Теперь оценим второе слагаемое правой части (2.4.8), используя неравенство (2.4.5):ˇˇ ˇˇ ˇˇˇ pqˇˇ pqˇpq ˇpq ˇˇ ´ ˆ ˇ ď ˇ ´ ˆ ˇ ` ˇ ´ ˇ ďď 1 pq ` |Φp1, ´1 q ´ Φp1 ´ , Ψ1 p ` , ´ qq| ˇpq ˇď ˇΦp1, ´1 q ´ Φp1 ´ , ˜ qˇ `ˇˇˇˇpq` ˇΦp1 ´ , ˜ q ´ Φp1 ´ , Ψ1 p ´ 1 ` , ´ qqˇ ˇ¯ˇ´ˇˇpqpqpq ˇ ˇď ˇpˆ´1 q ` p´1 ´ ˜´1 q ` | | ` ˇ´1 ´ ˜´1 ˇ ˇ `ˇˇˇ pqˇ`1 ˇ˜´1 ´ Ψ1 p ´ 1 ` , ´ qˇ ď 2 ` 21 5 ` 1 2 ďď 2 1 pq ` 21 5 ` 1 2 1 pq,35 P r´ ` 1, s.Обозначим0 “1p2 1 pq ` 2 1 pq ` 21 5 ` 1 2 1 pqq .Таким образом,ˇˇˇ ˇ pq ˇˇˇ pq ˇ ˇ ˇˇ ď 0 ,ˇ ˇ “ ˇˇ ˇ P r´, s.Тогда, с точностью до взятия подпоследовательности, существует пределpq˚ “ lim ,Ñ0|˚ | ď 0 , P r´, s.Длинывекторовˇ |pq| ограничены по условию (UB), поэтому велиˇˇpqpq ˇчины ˇpˆ`1 q`1 ˇ тоже ограничены, так как все остальные вектора вравенстве (2.4.7) имеют ограниченые длины.
Поэтому, учтывая оценку изpqчасти 2 условия (UB), числа `1 ограничены константой1 “ 2 p0 ` 1 0 ` 1q.pqСледовательно, числа `1 сходятся к ˚`1 . Итого, мы доказали, что последовательность t˚ u удовлетворяет нужным нам уравнениямpqpq pqpqpq˚`1“ lim `1 “ lim ˜ ` lim pˆ`1 q`1 ` `1 “Ñ0Ñ0Ñ0“ ˚ ` p`1 q˚`1 ` `1 , P r´, ´ 1sи ограничена константой 1 , не зависящей от . Кроме того, этой жеpqконстантой ограничены величины `1 .2.5Доказательство утверждения 2.5 для случая замкнутого многообразияФиксируем точку P и натуральное число .
Мы опять построим-метод, который будет “содержать в себе” уравнения (2.3.2). Введём теже обозначения, что и в начале части 2.4.Пусть 1 — такое положительное число, что для любого отображенияexp , exp´1 определены и являются диффеоморфизмами на образ в шарах1 pq Ă и 1 p0q Ă , соответственно. Без ограничения общности,36можно считать, что 1 настолько мал, что экспоненциальные отображенияи их обратные искажают расстояния не больше, чем в 2 раза:ˇ ´1ˇˇexp p1 q ´ exp´1ˇpq2 ď 2 distp1 , 2 q, 1 , 2 P 1 pq Ă ;distpexp p˜1 q, exp p˜2 qq ď 2 |˜1 ´ ˜2 | ,˜1 , ˜2 P 1 p0q Ă .Определим метод так же, как и в части 2.4.1, но с учётом того,что теперь мы находимся на многообразии: Пусть κ равно 0 либо 1, — целое число из промежутка r´, s.
Предположим, что функцииΨκ p, ¨q, Ψκ p ` , ¨q уже определены. Обозначим˜ “ Ψκ p, ´ q,BΦp1 ´ , Ψκ p ` , ´ qq,˜ “Bˆ`1 “ Φp1 ´ , Ψκ p ` , ´ qq, ˆ´ “ ´ .Если ă , определим функцию Ωκ,`1 : r´, s ˆ ´ Ñ ^`1 следующим образом:``˘˘pqqΩκ,`1 p, q “ κ ˜ exp´1Ψp,exp`κ `´˜`κpˆ`1 q ` `1 ´ κ˜ .Пусть ă 1 . Определим функцию интерполяции Γ : ^`1 ˆ ^`1 ˆ p´ q ˆ r´, s Ñ R :Γp, , , q “ p, ||q ` p1 ´ p, ||qq.Наконец, определим метод Ψκ следующим образом:Ψκ p, q “ Φp, q, P R, R p´ q Ă ;Ψκ p, q “ Φp, q, P p´8, 1 ´ s, P R .Ψκ p ` , exp´ pqq “´ ´¯¯`˘´1“ exp^ Γ Ωκ, p, q, exp^ Φp1 ´ ` , Ψκ p ´ 1 ` , exp´ pqqq , , , P r´ ` 1, s, P r´, s, P p0q Ă ´ ;Ψκ p ` ` , exp´ pqq “ Φp, Ψκ p ` , exp´ pqqq, P r´ ` 1, ´ 1s, P r0, 1 ´ 2 s, P p0q Ă ´ ;Ψκ p ` ` , exp´ pqq “ Φp, Ψκ p ` , exp´ pqqq, P r0, 8q, P p0q Ă ´ .37В отличие от случая с “ R , здесь для того, чтобы определениебыло корректным, необходимо, чтобы все используемые exp и exp´1 былиопределены.
Легко заметить, что для корректности определения методадостаточно выполнения следующих неравенств:`˘dist ˜ , Ψκ p, exp´ pqq ď 1 , P r´, s;`˘dist ˆ , Φp1 ´ ` , Ψκ p ´ 1 ` , exp´ pqqq ď 1 , P r´, ´ 1s;ˇ ´¯ˇ`˘ˇˇ´1ˇΓ Ωκ, p, q, exp^ Φp1 ´ ` , Ψκ p ´ 1 ` , exp´ pqqq , , ˇ ď 1 , P r´, ´ 1s.Несложно проверить, что левые части каждого из этих неравенствможно оценить величиной 1021 p ` ` 2 q. Это означает, что выполнения требуемых неравенств можно добиться, взяв , и достаточномалыми.Дальнейшее доказательство полностью аналогично случаю “ R .38Глава 3Гёльдерово обратноеотслеживаниеКак было продемонстрировано, свойство обратного отслеживания слипшицевой зависимостью между размером ошибки псевдотраектории иточностью отслеживания эквивалентно структурной устойчивости.
Естественно проверить, что происходит при ослаблении условия липшицевости. Одним из вариантов такого ослабления является рассмотрение гёльдеровой зависимости вместо липшицевой.Недавно появилось доказательство того, что структурная устойчивость следует из наличия гёльдерова свойства отслеживания при некоторых дополнительных предположениях [35]. В данной главе доказывается что аналогичное утверждение верно также для гёльдерова свойстваобратного отслеживания.3.1ОпределенияПусть — диффеоморфизм замкнутого гладкого многообразия с римановой метрикой dist.Определение 3.1. Будем говорить, что диффеоморфизм обладает гёльдеровым свойством обратного отслеживания с показателем ą 0 на траектории точки P , если существуют такие положительные константы0 , , что для любого -метода t u класса Θ с ď 0 найдётся такаятраектория t u метода t u, что выполнены неравенстваdistp , pqq ă ,39 P Z.Определение 3.2.
Будем говорить, что диффеоморфизм обладает гёльдеровым свойством обратного отслеживания с показателем ą 0, еслион обладает гёльдеровым свойством обратного отслеживания с показателем на траектории любой точки P . Будем писать, соответственно, P HISPpq.Замечание 3.1. Отметим, что в данном выше определении гёльдеровасвойства обратного отслеживания не предполагается, что константы 0 , одни и те же для разных точек P .3.2Основной результатДля формулировки основного результата понадобится следующееопределение:Определение 3.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
