Диссертация (1149397), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Поток без точек покоя, порождённый 1 векторным полемна замкнутом гладком многообразии, удовлетворяет аналогичному условию.Фиксируем точку P R и натуральное число . Мы будем использовать метод из главы 1 — “впишем” уравнения (2.3.2) в -метод и воспользуемся свойством обратного отслеживания.Пусть , 0 — константы из определения LISP, а — некоторое положительное число, которые мы в дальнейшем будем уменьшать. Мы сразуберём меньшим ∆. Фиксируем положительные числа , ă ∆.23Даже в случае “ R формальное построение -метода с нужными свойствам достаточно громоздко, поэтому сначала приводится краткоеизложение идеи. Будем считать числа и малыми.Отображение, которые мы будем строить, будет возмущением исходного потока как отображения R ˆ R Ñ R на множестве r0, 8q ˆ p´ q. Это отображение уже не будет обладать групповым свойством,которым обладает исходный поток (Φp, Φp, qq “ Φp ` , q, , P R, P R ).
Возмущение строится итеративно, блоками. Сначала с помощьюнекоторой процедуры (P) изменяется поток на множестве r0, 1sˆ p´ q,потом та же процедура применяется к уже изменённому потоку, но ужена множестве r1, 2s ˆ p´ q, и так далее раз (см. рис. 2.1).Φ̃pq p, ´ ` qΦp, ´ ` q01´12´23´3Рисунок 2.1: Различие траектории точки ´ ` под действиемисходного потока и его возмущения Φ̃pq . Горизонтальные отрезкисоответствует движению точки под действием исходного потока.Прямые наклонные отрезки соответствуют движению под действиемлинеаризации потока.
Скругления между горизонтальными инаклонными отрезками соответствуют интерполяции.Опишем упомянутую выше процедуру (P). Пусть Φ̃pq — поток, к которому процедура была уже применена раз (Φ̃p0q положим равным Φ).На множестве r, ` 1 ´ s ˆ p´ q положимΦ̃p`1q p, q “ Φp ´ ´ 1, Φ̃pq p, qq.(2.4.1)На множестве r ` 1 ´ {2, ` 1s в формуле (2.4.1) мы заменим поток Φна его линеаризацию в точке p1, Φ̃p´1q p, qq, добавляя новое слагаемое`1 . На остальной части множества r, ` 1s ˆ p´ q применим интерполяцию так, чтобы полученное отображение было гладким (на своейобласти определения).После применения процедуры (P) раз доопределим полученное отображение на множестве r, 8q p´ q: Φ̃p q p, q “ Φp ´, Φ̃p q p, qq. Этот шаг заканчивает краткое описание идеи построения.2429, 2013После того, как мы проверим, что так определённое отображение является -методом и воспользуемся наличием свойства отслеживания, окажется, что полученная траектория метода соответствует решению системы линейных уравнений, коэффициенты которой (линейные отображения˜ ) происходят из линеризаций, упоминавшихся в описании процедуры(P).
Эти коэффициенты не будут совпадать с отображениями из уравнений (2.3.2), но будут к ним стремиться при стремлении к нулю.Замечание 2.8. На самом деле, процедура, которую мы будем применять,немного более сложна, чем процедура (P), за счёт того, что нам понадобится множество, на котором поток заменён на линеаризацию, чутьбольшее, чем r ` 1 ´ {2, ` 1s.Возьмём таким, чтобы 100 ă 1 ´ и ď pq, P r0, s. Пусть :r´, s ˆ r0, s Ñ r0, 1s — функция, обладающая следующими свойствами• p´, ¨q “ 0;• p¨, q “ 0;Dynamical• p,Systemsq “ 1,picExtract P r´ , s,2• p, q P p0, 1q, P r0, 2 s;p, q R r´ 2 , s ˆ r0, 2 s;• является гладкой как функция двух аргументов.γ(t, s)tτsr−τРисунок 2.2: График функции .We prove that Lipschitz inverse shadowing for nonsingular flows is equivalentПустьфункция˜pq стремится к нулю быстрее, чем так, чтоto structuralstability.p˜ pqq{ Ñ 0, Ñ 0.Keywords: structural stability, shadowing, nonsingular flowsMCS/CCS/AMS Classification/CR Category numbers: MSC 2010:37C50, 34D30252.4.1Построение методаПусть κ равно 0 либо 1, а — целое число из промежутка r´, s.Предположим, что функции Ψκ p, ¨q, Ψκ p ` , ¨q уже определены.
Обозначим˜ “ Ψκ p, ´ q,BΦp1 ´ , Ψκ p ` , ´ qq,˜ “Bˆ`1 “ Φp1 ´ , Ψκ p ` , ´ qq, ˆ´ “ ´ .Если ă , определим функцию Ωκ,`1 : r´, sˆR Ñ R следующимобразом:Ωκ,`1 p, q “ ˆ`1 ` κ ˜ pΨκ p, ´ ` q ´ ˜ ` q ``κpˆ`1 q ` `1 ´ κ˜ .Определим также функцию интерполяции Γ : R ˆ R ˆ R ˆ r´, s ÑR :Γp, , , q “ p, ||q ` p1 ´ p, ||qq.Фиксируем положительное число . Определим метод Ψκ следующимобразом (см. Рис. 2.3):Ψκ p, q “ Φp, q,Ψκ p, q “ Φp, q, P R, R p´ q; P p´8, 1 ´ s, P R .Ψκ p`, ´ `q “ Γ pΩκ, p, q, Φp1 ´ ` , Ψκ p ´ 1 ` , ´ ` qq, , q , P r´ ` 1, s, P r´, s, P p0q;Ψκ p ` ` , ´ ` q “ Φp, Ψκ p ` , ´ ` qq, P r´ ` 1, ´ 1s, P r0, 1 ´ 2 s,Ψκ p ` `, ´ `q “ Φp, Ψκ p `, ´ `qq, P p0q.
P r0, 8q, P p0q.Определённое нами отображение, очевидно, является гладким. Подчеркнём, что отображение Ψκ зависит от и . Заметим также, что ˜ иˆ не зависят от κ :˜ “ Ψ0 p, ´ q “ Ψ1 p, ´ q “ ˆ ` , P r´, s.Поэтому можно переписать формулу для Ωκ,`1 в следующем виде:Ωκ,`1 p, q “ ˆ`1 ` κ ˜ pΨκ p, ´ ` q ´ ˆ q ``κpˆ`1 q ` `1 , P r´, ´ 1s.26(2.4.2)| ´ ´ |Φp, qΦp, qΓΦp, q01´1´ΓΦp,ΓqΩκ,1´1Φp, q1Ωκ,2Φp,Ωκ,1 q1`22´2´ΓΦp,Γq2Ωκ,3Φp,Ωκ,2 q2`23´3´32Рисунок 2.3: Схема построения отображения Ψκ .Определим ещё одно вспомогательное отображение Θκ p, q “ Ψκ p `, q. Оно необходимо, так как в определении понятия -метода и липшицева обратного отслеживания есть привязка к “ 0.2.4.2Проверка условий -методаПроверим, что построенное отображение Θκ является κ pq-методомдля некоторого положительного числа κ pq, не зависящего от .
Очевидно, что Θκ p0, ¨q “ Id . Нужно проверить выполнение неравенств (2.1.1)из определения -метода. Очевидно, что отображение Θκ удовлетворяетим тогда же, когда и Ψκ . Таким образом, достаточно оценить величину, “ |Ψκ p ` , ´ q ´ Φp, Ψκ p, ´ qq|при P R, P r´1, 1s. В силу того, что значение метода Ψκ p, ´ q при P r´8, 1 ´ s совпадает с Φp, ´ q, мы будем оценивать величину ,лишь при , ` P r1 ´ , `8s. Мы приведём оценки лишь для ě 0, для ă 0 они могут быть произведены аналогично.Мы будем называть множества r´, ` s, ě 1, секциями. Заметим,что, при , лежащем вне секции, с увеличением от 0 до 1, величина ` окажется ровно в одной секции для множества значений ненулевоймеры.
Если же принадлежит секции, то количество задеваемых секцийравно 2.Пусть — наибольшее целое число, меньшее . Рассмотрим случаи• и ` вне секций, ă 2 ;27• вне секций, ` в секции;• и ` вне секций, ą 2 ;• в секции, ` в секции, ă 2 ;• в секции, ` вне секций;• в секции, ` в секции, ą 2.2.4.2.1 и ` вне секций, ă 2 (Рис. 2.4)```1´`1Рисунок 2.4: и ` вне секций, ă 2В этом случаеΨκ p ` , ´ q “ Φp, Ψκ p, ´ qq “ Φp ` ´ ´ , Ψκ p ` , ´ qq,поэтому , “ 0.2.4.2.2 вне секций, ` в секции (Рис.
2.5)```1´`1Рисунок 2.5: вне секций, ` в секцииЗаметим, что|Γp, , , q ´ | ď | ´ | ` | ´ | ,28, , P R .(2.4.3)Обозначим “ ` ´ p ` q, “ Ψκ p ` , ´ q. Тогда, “ |Ψκ p ` 1 ` ` ´ p ` 1qq, ´ q´´ Φp, Φp ´ p ` q, Ψκ p ` , ´ qqq| ““ |ΓpΩκ,`1 p ` ´ p ` 1q, 0q, Φp, q, 0, ´ p1 ´ qq ´ Φp, q| ďď |Φp1 ´ , q ` κpΦp1 ´ , qqp ´ p1 ´ qq`ˇˇ˜`κ ` `1 ´ Φp, qˇ .Таким образом,• если κ “ 1, то, ď pq ` 1 ` ď p q ` 1 ` ;• если κ “ 0, то, ď 1 ` 1 ` ď 1 ` .2.4.2.3 и ` вне секций, ą 2 (Рис.
2.6)```1´`1``1Рисунок 2.6: вне секций, ` в секции, ą 2Обозначим “ ` 1 ` . Тогда, “ |Φp ` ´ , Ψκ p, ´ qq ´ Φp ` ´ , Φp ´ , Ψκ p, ´ qqq| ďď 1 |Ψκ p, ´ q ´ Φp ´ , Ψκ p, ´ qq| .Можно воспользоваться неравенством из предыдущей части и получить,что,• если κ “ 1, то, ď 1 pp q ` 1 ` q;• если κ “ 0, то, ď 1 p1 ` q.29`´`Рисунок 2.7: в секции, ` в секции, ă 22.4.2.4 в секции, ` в секции, ă 2 (Рис. 2.7)Пусть теперь — ближайшее к целое число.Обозначим “ ´ .
Воспользуемся оценкой из части 2.4.2.2:, ď |Ψκ p ` , ´ q ´ Φp ` ´ , Ψκ p, ´ qq| `` |Φp ` ´ , Ψκ p, ´ qq ´ Φp, Ψκ p, qq| .Тогда• если κ “ 1, то, ď p ` ´ q ` 1 ` ``1 |Φp ´ , Ψκ p, ´ qq ´ Ψκ p, ´ q| ďď p q ` 1 ` ` 1 pp ´ q ` 1 ` q ďď p q ` 1 ` ` 1 pp q ` 1 ` q;• если κ “ 0, то, ď 1 ` ` 1 p1 p ´ q ` q ďď 1 ` ` 1 p1 ` q.2.4.2.5 в секции, ` вне секций (Рис. 2.8)`´``1´`1``1Рисунок 2.8: в секции, ` вне секцийОценка получается из предыдущего неравенства так же, как оценка изчасти 2.4.2.3:30• если κ “ 1, то, ď 1 pp q ` 1 ` ` 1 pp q ` 1 ` qq;• если κ “ 0, то, ď 1 p1 ` ` 1 p1 ` qq.2.4.2.6 в секции, ` в секции, ą 2 (Рис. 2.9)``1´`1``1´`Рисунок 2.9: в секции, ` в секции, ą 2Положим “ |Ωκ,`1 p ` 1 ´ p ` q, 0q ´ Φp ` ´ p ` q, Ψκ p ` , qq| , “ |Φp ` ´ p ` q, Ψκ p ` , qq ´ Φp, Ψκ p, ´ qq| .Тогда, ď ` .Оценим по отдельности оба слагаемых этой суммы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
