Диссертация (1149397), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Будем говорить, что отображение : R Ñ является-псевдотраекторией для потока Φ, если для любого P Rdist pp ` q, Φp, pqqq ă , P r´1, 1s.Определение 2.2. Будем говорить, что гладкое отображение Ψ : R ˆ Ñ является -методом для потока Φ, если для любого P Rdist pΨp ` , q, Φp, Ψp, qqq ă ,17 P r´1, 1s,(2.1.1)и Ψp0, q “ для любого P .Замечание 2.1. Определение -метода — это определение семейства псевдотраекторий, где зависимость псевдотраектории от “начальных данных” обладает свойством гладкости.Обозначим через Rep множество всех возрастающих гомеоморфизмов : R Ñ R, для которых p0q “ 0. Введём также следующее обозначение:ˇˇˇ*"ˇˇ ˇ pq ´ pq´ 1ˇˇ ď , ‰ .Rep pq “ P Rep ˇˇ ˇˇ´Определение 2.3. Будем говорить, что поток Φ обладает свойством липшицева обратного отслеживания (Φ P LISP), если для любой точки P существуют такие константы , 0 , что для каждого -метода Ψпри ď 0 существуют такая точка ˆpq P и такая репараметризация P Rep pq , чтоdistpΦp, q, Ψppq, ˆpq qq ă , P R.(2.1.2)Замечание 2.2.
Отметим, что в данном выше определении липшицевасвойства обратного отслеживания не предполагается, что константы 0 , одни и те же для разных точек P .Замечание 2.3. Легко заметить, что, если достаточно мало и P Rep pq ,то ´1 P Rep p2q .2.2Основной результатПусть многообразие компактно и не имеет края, а поток Φ порождён 1 векторным полем на . Фиксируем вложение многообразия в R для достаточно большого (оно существует по теореме Уитни) ибудем рассматривать как гладкое подмногообразие R .ˆ : Ñ R , соОбозначим через дифференциал отображения ответствующего вектороному полю при вложении многообразия вR . Зададим расстояние между двумя гладкими векторными полями , на многообразии следующим образом:1 p, q “ 0 p, q ` max }pq ´ pq} ,P0 p, q “ max |pq ´ pq| .PНесложно проверить, что так определённая функция 1 – метрика на множестве гладких векторных полей на многообразии .18Определение 2.1.
Векторное поле называется структурно устойчивым,если существует такая его окрестность в пространстве (с топологией, порождённой метрикой 1 ), что для любого векторного поля P существует гомеоморфизм на себя, который отображает траекториипотока, порождённого полем в траектории потока, порождённого полем , сохраняя их ориентацию.Точка называется точкой покоя для потока Φ, если Φp, q “ длялюбого P R. Пусть у потока Φ нет точек покоя.Основным результатом этой главы является следующая теорема:Теорема 2.1. Поток Φ структурно устойчив тогда и только тогда, когда Φ P LISP.2.3Идея доказательстваМы воспользуемся аналогом метода, применённого в статье [16].Для того, чтобы описать подход к доказательству, нам потребуетсянесколько определений из теории динамических систем.Определение 2.2.
Пусть , P . Для , ą 0 будем называть p, qцепью из в такую последовательность пар tp , qu0ďď´1 , что 0 “ ,´1 “ , все ě и distpΦp , q, `1 q ă для любого 0 ď ď ´ 1.Точка назвается цепно-эквивалентной точке , если для любых , существуют p, q цепи из в и из в . В таком случае будем писать „ .Множеством цепно-рекуррентных точек ℛ называется множествотаких точек P , что „ .Обозначим через Φ отображение, которое сопоставляет паре p, q PR ˆ дифференциал отображения Φp, ¨q в точке .Определение 2.3. Будем говорить, что множество Λ является гиперболическим для потока Φ, если выполнены следующие условия• Λ компактно и инвариантно под действием потока: Φp¨, Λq Ă Λ.• существуют такие числа ą 0, 0 P p0, 1q и непрерывные семейства подпространств pq, pq касательного пространства длялюбой точки P Λ, что19– семейства подпространств , инвариантны под действием производной потока Φ, то естьΦp, q pq “ pΦp, qq, P R, P Λ, “ , ;– для любой точки P Λ выполнены равенстваpq ‘ pq ‘ ⟨pq⟩ “ p q(здесь ⟨pq⟩ – линейная оболочка вектора pq в касательномпространстве );– выполнены следующие оценки:|Φp, q| ď || , P pq, ě 0;|Φp, q| ď ´ || , P pq, ď 0.Определение 2.4.
Неблуждающим множеством Ω потока Φ называетсямножество таких точек P , что для любой окрестности точки идля любого числа существует такое ą , чтоΦp, q X ‰ H.Замечание 2.4. Очевидно, что Ω Ă ℛ.Определение 2.5. Говорят, что поток Φ удовлетворяет аксиоме 1 , еслинеблуждающее множество потока Φ является гиперболическим для потока Φ и замкнутые траектории плотны в нём.Определение 2.6. Устойчивым и неустойчивым многообразиями траектории потока Φ называются множества pq “ t P | distpΦp, q, pqq Ñ 0, Ñ `8u , pq “ t P | distpΦp, q, pqq Ñ 0, Ñ ´8u .Если неблуждающее множество Ω гиперболично и тректория Ă Ω,то множества pq, pq являются 1 погружёнными многообразиями(см., например, [23]).Определение 2.7.
Говорят, что поток Φ удовлетворяет строгому условиютрансверсальности, если для любых двух траекторий 1 , 2 Ă Ω множества p1 q и p2 q трансверсальны как 1 погружённые многообразия.20Гиперболические множества и их свойства очень активно изучалисьво второй половине XX-го века. Большое количество ссылок можно найтив любой книге по современной теории динамических систем. Например,в [33].Фиксируем точку P . Обозначим “ Φp1, ¨q, “ pq, PZ, и “ p q, P Z. Пусть : Ñ — ортогональнаяпроекция с ядром ⟨p q⟩ и — ортогональное дополнение к p q в . Обозначим “ `1 : Ñ `1 . Рассмотрим уравнения`1 “ ` `1 , P Z.(2.3.1)В [16] доказано следующее:Теорема 2.2.
Пусть векторное поле таково, что существует такаяконстанта 1 , что для каждой точки и для каждой ограниченнойпоследовательности t uPZ , члены которой лежат в соответствующих , уравнения (2.3.1) имеют решение t uPZ с нормой, ограниченной1 }} . Тогда• Множество ℛ гиперболично;• Выполнено строгое условие трансверсальности.Как известно из гиперболичности цепно-рекуррентного множестваследует выполнение аксиомы 1 (см., например, [34]). Выполнение аксиомы 1 и строгого условия трансверсальности, в свою очередь, влечётструктурную устойчивость.
То есть часть “тогда” теоремы 2.1 будет доказана, если мы докажем, что выполнены условия предыдущей теоремы2.2. Часть “только тогда” доказана в [32].Сначала мы докажем разрешимость уравнений, отличных от (2.3.1):Утверждение 2.5. Пусть поток Φ обладает липшицевым свойством обратного отслеживания. Тогда существует такая константа 1 , чтодля любой точки P , для любой неоднородности t uPZ , удовлетворяющей неравенствам | | ď 1 для всех P Z, и для каждого натурального существует такая последовательность вещественных чиселt uPr´, s , удовлетворяющая неравенствам | | ď 1 , P r´, s, чтосистема уравнений`1 “ ` p`1 q ` `1 , P r´, ´ 1s(2.3.2)ˇˇ!)ˇ p q ˇp qимеет решение , удовлетворяющее неравенствам ˇ ˇ ďPr´, s1 , P r´, s.21Доказательство этого утверждения составляет основную техническуютрудность и будет приведено позже.
Пока покажем, как разрешимостьуравнений (2.3.2) влечёт разрешимость уравнений (2.3.1). Доказательствоследующего следствия в значительной мере аналогично доказательствулеммы 2 из [16].Следствие 2.6. Для каждой последовательности t uPZ , для которой| | ď 1 и P для всех целых , существует такое решение t uPZсистемы уравнений (2.3.1), что | | ď 1 .Доказательство. Подставим в качестве в уравнения (2.3.2). Поутверждению 2.5 существует такая константа 1 , что для каждого целого существует такая последовательность t uPr´, s , что система уравнений (2.3.2) имеет решение t uPr´, s с нормой, ограниченной 1 .Заметим, что p q “ p`1 q. В силу определения проекций ,выполнено включение pId ´ q P ⟨p q⟩ для любого P , поэтому p ´ q “ 0.
Получаем равенство`1 “ `1 .Домножим равенства (2.3.2) на `1 :`1 `1 “ `1 ` `1 p`1 q ` `1 `1 ““ `1 ` `1 , P r´, ´ 1s.p qТаким образом, последовательность “ является решением уравнений (2.3.1) для конечного набора индексов. Теперь мы можем перейтиp qк пределу при Ñ 8. В силу ограниченности, у будет существоватьпредел , который тоже будет ограничен по норме константой 1 .2.4Доказательство утверждения 2.5 для “RСначала мы докажем утверждение 2.5 для случая, когда “ R ,поток Φ порождён гладким векторным полем на R и удовлетворяетусловию (UB), сформулированному ниже.
Это позволит продемонстрировать идею доказательства, меньше отвлекаясь на технические детали.22Определение 2.4. Будем говорить, что поток Φ на R удовлетворяет условию (UB), если cуществует такоe число ∆ ą 0, что1. следующая величина (супремум констант локальной липшицевостипотока Φ) конечна1 “supPR ,pℎ1 ,ℎ2 qPr´Δ,ΔsˆΔ p0qzp0,0q|Φp, q ´ Φp ` ℎ1 , ` ℎ2 q|.|ℎ1 | ` |ℎ2 |2. Длины векторов векторного поля ограничены и отделены от нуля.То есть существует´¯´12 “ maxmax |pq| , |pq|.PR3. Остаток в формуле Тейлора для потока Φ равномерно ограничен.Под этими словами понимается следующее.Существует такая ограниченная монотонная функция : r0, 8q Ñr0, 8q, что для любых P , P R и для каждыхpℎ1 , ℎ2 q P r´∆, ∆s ˆ t P R | || ă ∆uвыполнена следующая оценка:|Φp ` ℎ1 , ` ℎ2 q ´ Φp, q ´ ℎ1 pΦp, qq ´ Φp, qℎ2 | ďď p|ℎ1 | ` |ℎ2 |q,где p|ℎ1 | ` |ℎ2 |q{p|ℎ1 | ` |ℎ2 |q стремится к 0 равномерно по дляpℎ1 , ℎ2 q Ñ 0.Замечание 2.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
