Диссертация (1149397), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. ``Φ´1,´ ´ p´ qq ´ Φ,´ ´ | ă 2 2 p8 ` 4p qq ăă p|| ` 1q´ , P r´, ´ 1s.Определим новую последовательность “ ´ “ 0,, P r´, ´ 1s, R r´, ´ 1s.Очевидно, что эта последовательность является решением уравнения(4.4.1). Оценим её норму в пространстве числом, не зависящим от:ˇˇˇˇˇˇ´1ˇˇ ´ ˇ “ 1 | ´ | “ 1 ˇpexp´1pq´exppqq` ď˘1`8p|| ` 1q´ ` p|| ` 1q´ “ p8 ` 1qp|| ` 1q´ .484.5СтруктурнаяLTSLmSPpqустойчивостьвлечётДля доказательства того, что структурная устойчивость влечёт двустороннее липшицево предельное отслеживаниe, мы воспользуемся методомиз [23]. Пусть , P Z – последовательность подпространств R .
Рассмотрим последовательность линейных отображений “ t : Ñ`1 u.Определение 4.5. Будем говорить, что последовательность обладаетсвойством (C) с константами ą 1 и P p0, 1q, если для любого целого существуют такие проекции , , что если “ и “ ,то выполнены следующие условия:• ` “ Id,} } , } } ď ;• Ă `1 и } | } ď ;• Если `1 ‰ t0u, то существует такое линейное отображение :`1 Ñ , что `1 Ă , } } ď , |`1 “ Id .Сформулируем следующую простую лемму (её доказательство приведено в приложении, лемма 5.15):Лемма 4.3. Для любого P p0, 1q существует такая константа 1 ą 0,зависящая только от и , что˜¸8ÿÿp ` 1q´ p ` 1q´ `´ p ` 1q´ ă 1(4.5.1)“0“`1для любого целого ě 0.Рассмотрим оператор : pZq Ñ pR qZ видаpq “ ˆ1 pq ` ˆ2 pq,гдеÿpˆ1 pqq “´1 .
. . ,“´88ÿpˆ2 pqq “ ´ . . . ´1 .“`149Утверждение 4.4. Пусть обладает свойством (C) с константами ą1 и P p0, 1q. Тогда оператор отображает pZq в pZq и являетсяограниченным с нормой }} ď .Доказательство. Фиксируем последовательность P pZq. Нам достаточно проверить существование такой константы , не зависящей от ,что выполнены неравенстваp|| ` 1q |ppqq | ď }}для всех . Приведём доказательство для ě 0 (для ď 0 доказательствоаналогично). Представим pq в следующем виде:pq “ 1 pq ` 2 pq ` 3 pq,где0ÿ´1 .
. . ,p1 pqq ““´8ÿp2 pqq “´1 . . . ,“08ÿ . . . ´1 .p3 pqq “ ´“`1Лемма 4.3 позволяет оценить p ` 1q |p2 pqq ` p3 pqq |. Остаётся оценить только p ` 1q |p1 pqq |:p ` 1q |p1 pqq | ď }} p ` 1q0ÿ´ p|| ` 1q´ ď“´8 ď }} p ` 1q 8ÿ ď 2 }} .“0Тогда можно взять “ 1 ` 2 .Доказательство следующей теоремы во многом повторяет доказательство теоремы 1.3.1 из [23]:Теорема 4.6. Пусть обладает свойством (C) с константами ą 1и P p0, 1q.
Рассмотрим последовательность отображений : Ñ50`1 вида pq “ ` `1 pq. Предположим, что существуют такиеконстанты , ∆ ą 0, что выполнены следующие неравенства:| pq ´ p 1 q| ď | ´ 1 | ,|| , | 1 | ď ∆, P Z; ă 1.Положим“.1 ´ Если∆, P Z,то существует такая последовательность P , что p q “ `1 и}t u} ď .}t p0qu} ď ďДоказательство. Для P обозначим pq “ t p´1 qu. Очевидно,что для того, чтобы найти решение уравнений`1 “ ` `1 , P Z,достаточно найти решение уравненияppqq “ .(4.5.2)Найдём решение этого уравнения. Пусть — шар вокруг нуля радиуса в пространсве . Тогда}pq} ď }p0q} ` }ppqq ´ pp0qq} ďď }p0q} ` }pq ´ p0q} ďď }t p0qu} ` }} ď ` “ .Таким образом оператор является сжимающим в шаре , а значит,существует решение P уравнения (4.5.2).Теперь можно повторить доказательство теоремы 2.2.7 из [23], пользуясь теоремой 4.6 вместо теоремы 1.3.1 из [23] там, где это необходимо.Таким образом доказывается вторая импликация из утверждения теоремы4.5.51ЗаключениеТаким образом, можно сделать вывод, что липшицев контроль (наличие липшицевых прямого или обратного отслеживания) возможен только для хороших (структурно устойчивых) систем.
Но гёльдеров контроль(наличие гёльдеровых прямого или обратного отслеживания) всё-таки может появиться в не структурно устойчивых системах (для прямого отслеживания в [35] построен пример, демонстрирующий, что не всегда наличие гёльдерова отслеживания влечёт структурную устойчивость).52Приложение. Связьразрешимости разностныхуравнений игиперболичностиВ [38] Перрон определил свойство (B) для систем дифференциальныхуравнений. Свойство (B) заключается в том, что неоднородная линейнаясистема дифференциальных уравнений имеет ограниченное решение длякаждой ограниченной неоднородности.
Слово “ограниченное” здесь означает, что стандатная sup норма на пространстве непрерывных функцийограничена. В [39] Майзель доказал теорему, связывающую свойство (B)на полупрямой и свойство гиперболичности(дихотомии) системы. Позжев [30] Плисс характеризовал аналог свойства (B) на всей оси в терминах гиперболичности на двух полуосях.
Доказательство теоремы Плиссав значительной мере опирается на теорему Майзеля. Дискретный аналогтеоремы Плисса (хотя и не доказанный нигде явно), широко используетсяв теории отслеживания (см. [17, 18, 35]).Мы доказываем обобщения аналогов теорем Майзеля и Плисса дляразностных уравнений для случая последовательностей с предписаннойскоростью убывания. Пространства таких последовательностей не являются однородными.
Единственный результат, подобный теореме Плисса,рассматривающий случай неоднородных пространств, доказан только дляслучая систем дифференциальных уравнений на полуоси с постояннымикоэффициентами (см. [40]).Основной результат этой части диссертации опубликован в [19].535.1ОпределенияПусть — либо Z` “ t P Z | ě 0u, либо Z´ “ t P Z | ď 0u, либо Z. Пусть “ t uP – последовательность линейных изоморфизмовR Ñ R , индексированных целыми числами из .Рассмотрим однородное и неоднородные уравнения, связанные с этойпоследовательностью:`1 “ , P ;`1 “ ` `1 , P .(5.1.1)(5.1.2)Замечание 5.5. Для “ Z` мы считаем последовательность определённой при ě 0, имея в виду 0 “ 0.Фиксируем ě 0.
Мы будем использовать линейные подпространствапространства последовательностей векторов из R , индексированных целыми числами из . Обозначим банахово пространство последовательностей с ограниченной нормой }} “ sup | | p|| ` 1q через pq.PОпределение 5.6. Мы говорим, что последовательность обладает свойством pq (свойством Перрона), если для каждой последовательности P pq существует решение неоднородной системы разностных уравнений с неоднородностью , которое принадлежит pq.Ниже мы повторим определение гиперболичности, данное в части 1.4.Для двух индексов , P обозначим$’&´1 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ , ă ,Φ, “ Id, “ ,(5.1.3)’%´1 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ ´1 , ą .´1Определение 5.7.
Будем говорить, что последовательность гиперболична на если существуют такие константы ą 0, P p0, 1q и проекции , , P , что “ R и “ R , и выполнено следующее:R “ ‘ ; “ `1 , “ `1 ;(5.1.4)(5.1.5)|Φ, | ď ´ ||, P , ě ;(5.1.6)|Φ, | ď ´ ||, P , ď ;} } , } } ď .(5.1.7)(5.1.8)Везде здесь мы имеем в виду, что индексы принадлежат .54Замечание 5.6. Мы будем называть пространства и устойчивыми инеустойчивыми пространствами последовательности .Замечание 5.7.
Если нормы всех } } и } }´1 ограничены, то в определении (5.7) условия (5.1.6) и (5.1.7) влекут условие (5.1.8) (с другой константой в общем случае). Это эквивалентно отделённости угла междупространствами и от нуля (см., например [41] стр.
224, 234, 237).Замечание 5.8. Пусть “ Z` . Тогда условия (5.1.6) и (5.1.7) для некоторого P p0, 1q и ą 0 следуют из существования таких 1 P p0, 1q и1 ą 0, что выполнены следующие оценки:´|Φ, | ď 1 ´1 p ` 1q p ` 1q ||, P , ě ;(5.1.9)´|Φ, | ď 1 ´1 p ` 1q p ` 1q ||, P , ď .(5.1.10)Снова здесь мы имеем в виду, что все индексы принадлежат .Доказательство. Пусть условия (5.1.9) и (5.1.10) выполнены. Мы показываем, что условия (5.1.6) и (5.1.7) также выполнены:´21 ´1 p ` 1q p ` 1q ď 1 1 p ` 1q ďˆ´¯˙ ´ 1 ¯2ď max1 1 p ` 1q12 “ 2 2 ď 2 ´2 , 2 ď ,`PZ´¯?2где 2 “ 1 и 2 “ 1 1 p ` 1q ; и´´´1 ´1 p ` 1q p ` 1q ď 1 1 p ` 1q p2 ` 1q “ˆ1 ˙`2“ 2 1 ´ď 3 ´11 , 2 ě ě ,`1´ 1 ¯`где 3 “ 2 1 `12 . Это доказывает неравенство (5.1.7) для “maxp1 , 2 q и “ maxp1 , 2 , 3 q.
Неравенство (5.1.6) очевидно, таккакp ` 1q´ p ` 1q ď 1, ě .555.2Основные результатыМы доказываем следующую теорему в части 5.3:Теорема 5.7 (Обобщение дискретного аналога теоремы Майзеля). Пусть “ Z` и нормы всех матриц и ´1 ограничены числом ą 0. Последовательность обладает свойством pq тогда и только тогда,когда она гиперболична на Z` .Мы доказываем следующую теорему в части 5.4:Теорема 5.8 (Обобщение дискретного аналога теоремы Плисса (теоремы 1.6)). ) Пусть “ Z и нормы всех матриц и ´1 ограниченыконстантой ą 0. Последовательность обладает свойством pqтогда и только тогда, когда она гиперболична на Z` и Z´ , и пространства ` pq и ´ pq трансверсальны.
Здесь( ` pq “ P R | |Φ,0 | Ñ 0, Ñ `8 ,( ´ pq “ P R | |Φ,0 | Ñ 0, Ñ ´8 .5.3Аналог теоремы МайзеляПусть “ Z` . Для краткости будем писать вместо pq. Предположим, что последовательность обладает свойством pq и выберемчисло , которое ограничивает нормы всех и ´1 , достаточно большим. В частности, потребуем, чтобы 2 ą 1.Обозначим1 “ t0 | P , является решением однородной системы (5.1.1)u .Так как система (5.1.1) линейна и – линейное пространство, 1 – такжелинейное пространство. Обозначим ортогональное дополнение 1 через2 и ортогональную проекцию на 1 через .Легко заметить, что выполнено следующее:Утверждение 5.9.
Для любой последовательности P существуетровно одно такое решение p q P неоднородной системы (5.1.2) снеоднородностью , что p p qq0 P 2 .56Утверждение 5.10. Для любой последовательности оператор : Ñ из предыдущего утверждения непрерывен. В частности, существует такое положительное , что} } ď } } .Доказательство. Полностью аналогично доказательству утверждения 4из [42].В дальнейшем мы будем использовать оператор и число из предыдущего утверждения. Также мы предполагаем, что ě 1 и что число из утверждения теоремы 5.7 удовлетворяют неравенству ě 1.5.3.1Технические леммыОбозначим$’ ą 0;&Φ,0 , “ Id, “ 0;’%Φ , ă 0.0,´Легко видеть, что выполнено следующее:Утверждение 5.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
