Диссертация (1149397), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пусть P p0, 1s. Мы будем обозначать через Diff 1` p qмножество таких диффеоморфизмов : Ñ , что для любой точки существуют такие окрестность нуля Ă и число ą 0, чтовыполняется следующая оценка:`˘dist pexp pqq, exp pq p pqq ď ||1` , P .Замечание 3.2. Очевидно, что Diff 1` p q Ă Diff 1 p q, поэтому можноговорить о структурной устойчивости P Diff 1` p q.Мы обращаем главную теорему статьи [35] для класса методов Θ ипоказываем, что выполнена следующая теорема:Теорема 3.1. Пусть P Diff 1` p q, P p0, 1s и пусть число таково,что 1 ą ą 1{p1 ` q. Если P HISPpq, то структурно устойчив.3.3ДоказательствоМы применим технику, аналогичную использованной в [35], к обратному отслеживанию.Нам понадобятся те же предположения и обозначения, которые были сделаны при доказательстве теоремы 1.4.
С той лишь разницей, чтопредположение о выполнении неравенства (1.5.3) мы заменим на другое:так как многообразие компактно и P Diff 1` p q, мы можем считать40(уменьшив при необходимости ), что в определении 3.3 можно братьокрестности равными pq. То есть`˘dist pexp pqq, exp pq p pqq ď ||1` ,(3.3.1) P , P pq.Пусть , 0 - константы из определения pq.Покажем, что для любой последовательности векторов t u, P Z,такой, что | | ă 1, существует ограниченое решение уравнений`1 “ ` `1 , P Z.(3.3.2)Пусть˜ “ min01,41` ` 2 2ˆ4p41` ` 2q¸1`˙ p1`q´1.(3.3.3)Обозначим1 1 “ 1` .2Выберем такую непрерывную функцию pq, определенную при ě 0,что• pq “ 1 при ă {2,• 0 ď pq ď 1 при {2 ď ă ,• pq “ 0 при ě .Определим непрерывные отображения : Ñ формулами# pq, R p q,` ˇ ´1 ˇ˘ pq “exp`1 ℎ , ˇexp ˇ , P p q,где´1ℎp, q “ p1 ´ pqq pexp´1`1 p pqqq ` pqp exp ` q– прямолинейная гомотопия в p`1 q между exp´1`1 p pqq и exp´1 pq ` . Заметим, что определение корректно в силу того,что у компактных многообразий экспоненциальное отображение в каждойточке определеноˇ˘ касательном пространстве и поэтому выраже` ˇ на´1всёмние exp`1 ℎ , ˇexp ˇ всегда имеет смысл при всех P p q.41Оценим расстояние distp pq, pqq при P p q, пользуясь неравенством (1.5.4), оценкой (3.3.1) и определением :ˇ` ˇ ´1 ˇ˘ˇdistp pq, pqq ď 2 ˇexp´1ppqq´ℎ, ˇexp ˇ ˇ ď`1ˇˇ´1ˇppqq´pexp`qď 2 ˇexp´1 ď`1ˇˇ1`ˇ ` 2 ď 4 1` ` 2 “ p41` ` 2q.ď 4 ˇexp´1pq(3.3.4)В силу выбора выполняется неравенство p41` ` 2q ď 0 .
Тогдасуществует псевдотраектория t u метода t u, которая pp41` `2qqотслеживает точную траекторию . Обозначим p41` ` 2q через 1 .При ą 1{p1 ` q формула (3.3.3) влечёт неравенство 1 ă {2.Тогда существуют “ exp´1 p q, причём из неравенств (1.5.4) и(3.3.4) следует, что| | ď 21 .Следовательно, вектора r “ { удовлетворяют уравнениям (3.3.2) и,кроме того,r ď 21 ´1 “ .42Глава 4Липшицево предельноеотслеживаниеИзучая свойства отслеживания, можно накладывать дополнительныеограничения на множество псевдотраекторий, которые требуется отследить и на расстояния между псевдотраекторией и отслеживающей её траекторией.
Таким образом можно получить определение свойства двустороннего предельного отслеживания. Известно, что структурно устойчивые системы обладают этим свойством. Но даже 1 -внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих им, не совпадает со множествомструктурно устойчивых диффеоморфизмов(см. [36]). Недавно в [37] была изучена связь между липшицевым отслеживанием и структурнойустойчивостью.В данной главе определяется свойство, являющееся в некотором смысле, близким к свойству отслеживания, но вместо суммируемости требуется полиномиальная скорость убывания. Такое свойство оказываетсяэквивалентным структурной устойчивости.
Для доказательства мы не можем прямо использовать технику, развитую в [17], так как там используется дискретная версия оригинальной теоремы Плисса. Существующиеверсии этой теоремы неприменимы к случаю убывающих последовательностей. Поэтому в этой главе мы применяем обобщённую версию аналогатеоремы Плисса для разностных уравнений, доказанную в приложении.Основной результат главы опубликован в [19].434.1Обзор имеющихся результатовПусть — диффеоморфизм замкнутого гладкого многообразия с римановой метрикой dist. Для любой последовательности точек “ t uPZиз обозначим pq “ distp`1 , p qq.4.1.1Двустороннее отслеживаниеОпределение 4.1.
Будем говорить, что диффеоморфизм обладает свойством двустороннего предельного отслеживания, если существует число ą 0 со следующим свойством: если последовательность “ t uPZявляется -псевдотраекторией и выполнено pq Ñ 0,|| Ñ 8,то существует такая точка , чтоdistp pq, q Ñ 0,|| Ñ 8.Множество диффеоморфизмов, обладающих этим свойством, будемобозначать TSLmSP.Напомним, что через мы обозначили множество структурно устойчивых диффеоморфизмов на многообразии . В [36] доказаны следующие две теоремы.Теорема 4.1. Если P , то P TSLmSP.Теорема 4.2.
Int 1 pTSLmSPq ‰ .4.1.2 отслеживаниеПусть 1 ď ă 8. Для последовательности чисел P RZ обозначим˜¸1{ÿ| |~~ “PZдля тех , для которых ряд в правой части сходится.Пусть ą 0.Определение 4.2. Будем говорить, что диффеоморфизм обладает липшицевым свойством отслеживания, если для существуют такие константы , 0 ą 0, что для любой -псевдотраектории “ t uPZ с ď 0 ,44удовлетворяющей условию ~ t pquPZ ~ ă , существует такая точка ,что(~ distp pq, q PZ ~ ă .Множество диффеоморфизмов, обладающих этим свойством, будемобозначать SP.Известно, что в окрестности гиперболического множества системыобладают таким свойством для любого (см. [23]).Следующие теоремы были доказаны в [37]:Теорема 4.3. Если P , то P SP.Теорема 4.4.
Int 1 p SPq “ .Существуют также понятия взвешенного отслеживания и асимптотических траекторий. Обзор связанных с ними результатов есть в книге [23].4.2ОпределенияПусть – неотрицательное вещественное число. Обозначим банаховопространство последовательностей “ t u векторов из R , занумерованных целыми числами, с ограниченной нормой }} “ sup | | p||`1q ,PZчерез pZq.Определение 4.3. Последовательность “ t uPZ точек назовём -убывающей -псевдотраекторией динамической системы , если}t pqu} ă .Определение 4.4. Диффеоморфизм обладает липшицевым двусторонним предельным свойством отслеживания с показателем , если существуют такие положительные константы 0 , ą 0 что для любой убывающей -псевдотраектории t u с ď 0 существует такая точка P , что›(›› distp pq, q › ă .В таком случае будет использоваться обозначение P LTSLmSPpq .4.3Основной результатТеорема 4.5.
Диффеоморфизм замкнутого риманова многообразия структурно устойчив тогда и только тогда, когда P LTSLmSPpq.454.4LTSLmSPpq влечёт структурную устойчивостьСперва мы докажем простую лемму:Лемма 4.1. Если для последовательности t uPZ из сущетсвует такая константа , что для каждого целого числа ą 0 существуетпоследовательность векторов t uPr´, s из R , удовлетворяющая равенствам`1“ ` `1 , P r´, ´ 1s,(4.4.1)ˇ ˇи неравенствам ˇ ˇ p|| ` 1q ď , P r´, s, то существует последовательность t uPZ , удовлетворяющая тем же равенствам (4.4.1)для любого целого и такая, что}t uPZ } ď .Доказательство. Чтобы получить последовательность tu, воспользуемся диагональной процедурой (возьмём “ 0, R r´, s) и перейдёмк пределу в неравенствах (4.4.1).
Последовательность, которую мы получим в результате, будет иметь все необходимые свойства.Утверждение 4.2. Если P LTSLmSPpq, то структурно устойчив.Доказательство. Пользуясь теоремой 5.8 (аналогом теоремы Плисса 1.6),мы покажем, что наличие липшицева двустороннего свойства отслеживания влечёт выполнение аналитического условия трансверсальности вкаждой точке. После этого мы применим теорему Мане (теорема (1.5)).Введём те же обозначения, что и в доказательстве теоремы 1.4.Ограниченность норм и ´1 следует из компактности многообразия.
Мы докажем, что при наших предположениях свойство pZq выполнено для последовательности матриц . После этого мы сможем воспользоваться теоремой 5.8.Пусть , 0 – константы из определения LTSLmSPpq.Мы покажем, что для любой последовательности векторов t uPZ P , удовлетворяющей неравенствам }t uPZ } ă 1 существует последовательность t uPZ P , являющаяся решением уравнений`1 “ ` `1 , P Z.(4.4.2)После этого мы используем теорему 1.6 и получим, что аналитическоеусловие трансверсальности выполнено в каждой точке .46Теперь проверим выполнение условий леммы 4.1.Фиксируем натуральное и определим вектора :´ “ 0,`1 “ ` `1 , P r´, ´ 1s.(4.4.3)Очевидно, что нормы этих векторов ограничены константой p q, зависящей только от норм матриц и числа .
Фиксируем положительное, удовлетворяющее неравенствуp8 ` 4p qq ď .(4.4.4)Предположим, что настолько мало, что все точки , которые будутпоявляться дальше в процессе доказательства, принадлежат соответствующим шарам p q, а все касательные вектора из — соответствующим шарам p q.Определим последовательность P в следующем виде: пусть “exp p q для || ď , ` “ p q для ą 0 и ´ ` pq “ p´ qдля ă 0.Мы напишем оценку для distp p q, `1 q при P r´, ´ 1s. Обозначим “ maxP } pq}. Уменьшим число из неравенства (1.5.3)так, чтобы оно удовлетворяло неравенствам ă p|| ` 1q´1,2p8 ` 4p qq 2 P r´, s.(4.4.5)Уменьшим также так, чтобы неравенство (1.5.3) осталось верным.
Введём обозначение pq “ pq ´ .Так какexp´1`1 p p qq “ p q “ p q ` p qиexp´1`1 p`1 q “ `1 “ p ` `1 q,после использования оценок (1.5.5), (1.5.3) и (4.4.5) мы получим следующее неравенствоdistp p q, `1 q ď 2| p q ´ `1 | ““ 2| p q ´ `1 | ď 4p|| ` 1q´ .Для R r´, ´ 1s расстояние distp p q, `1 q равно 0. Поэтому последовательность является -убывающей 4-псевдотраекторией. Без47потери общности мы можем предположить, что 4 ă 0 .
Так как PLTSLmSPpq, существует такая траектория , чтоdistp , q ď 4p|| ` 1q´ .Пусть “ exp´1 p q. Тогда`1 “ p q “ ` p q.Используя неравенство (4.4.4), легко заметить, что| | ď 2 distp , q ď 2 distp , q ` 2 distp , q ďď 8p|| ` 1q´ ` 4| | ď p8 ` 4p qq ď , P r´, s.Обозначим “ ´1 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ ´ ´ , P r´, s, “ ´ , P r´, s.Теперь, используя неравенство (1.5.3), оценки | | и неравенство (4.4.5)мы получаем следующее:´ “ 0,`1 “ ` p q, P r´, ´ 1s,| | “ |´1 p´2 ´2 ` ´2 p´2 qq ` ´1 p´1 q ´ Φ,´ ´ | ““ |pΦ,´ ´ ` ´1 p´1 q ` ´1 ´2 p´2 q ` . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
