Диссертация (1149397), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Топологию,порождённую такой метрикой, называют 1 -топологией.Определение 1.1. Диффеоморфизм называется структурно устойчивым, если существует такая окрестность диффеоморфизма в 1 топологии, что любой диффеоморфизм P топологически сопряженс (подробнее о структурно устойчивых диффеоморфизмах написано,например, в книге [25]).Множество структурно устойчивых диффеоморфизмов будем обозначать через .Следующая теорема доказана в [24]:Теорема 1.1. ISP Ă и ISP Ă .Понятие персистентности (persistence) было определено Левовичем в[26].8Определение 1.2. Диффеоморфизм называется персистентным, еслидля любого ą 0 существует такое ą 0, что для любого P игомеоморфизма : Ñ , удовлетворяющего 0 p, q ă , существуеттакая точка P , чтоdistp pq, pqq ă , P Z.Множество персистентных диффеоморфизмов будем обозначать через.Для Ă Diff 1 p q будем обозначать внутренность множества в 1топологии через Int 1 pq.
Следующий результат доказан в [27]:Теорема 1.2. Int 1 pq “ .Легко видеть, что обратное отслеживание для любого класса методоввлечёт персистентность. Поэтому справедливо следующее следствие:Следствие 1.2. Int 1 pISP q “ Int 1 pISP q “ .Упомянем также свойство, определённое Фрэнксом в [13]:Определение 1.3. Диффеоморфизм : Ñ класса гладкости 2называется неавтономно устойчивым, если существует такая – окрестность в 1 топологии, что для любого натурального из вложения1 , . .
. , P следует, что существует такой гомеоморфизм ℎ : Ñ ,что ℎ´1 ˝ ˝ ℎ “ 1 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ .Множество неавтономно устойчивых диффеоморфизмов : Ñ будем обозначать через TDS.В [13] доказана следующая теорема:Теорема 1.3. TDS “ .1.2ОпределенияОпределение 1.6. Будем говорить, что диффеоморфизм обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно класса Θ(класса Θ ) на траектории точки P , если существуют такие положительные константы 0 , , что для любого -метода t u класса Θ (классаΘ ) с ď 0 найдется такая траектория t u метода t u, что выполненынеравенстваdistp , pqq ă , P Z.9Определение 1.7. Будем говорить, что диффеоморфизм обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно класса Θ(класса Θ ), если он обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно этого класса на траектории каждой точки P .Будем писать, соответственно, P LISP или P LISP .Замечание 1.3.
Отметим, что в данном выше определении липшицевасвойства обратного отслеживания не предполагается, что константы 0 , одни и те же для разных точек P .1.3Основные результатыПусть компактно и не имеет края. В работе [24] было показано,что структурно устойчивый диффеоморфизм обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно классов методов Θ и Θ (содними и теми же константами 0 , для всех точек P ).Мы обращаем теоремы статьи [24] и показываем, что выполнена следующая теорема:Теорема 1.4.
Если P LISP или P LISP , то структурно устойчив.1.4МетодыНаши доказательства в случае диффеоморфизмов используют два известных результата, принадлежащих Р. Мане и В. А. Плиссу. Сформулируем их.Пусть компактно и не имеет края. Фиксируем точку P и рассмотрим два линейных подпространства :ˇˇˇ( ` pq “ P ˇ ˇ pq ˇ Ñ 0, Ñ `8 ,ˇˇˇ( ´ pq “ P ˇ ˇ pq ˇ Ñ 0, Ñ ´8 .Определение 1.8. Два линейных подпространства 1 , 2 пространства Rназываются трансверсальными, если 1 ` 2 “ R .Определение 1.9. Будем говорить, что для диффеоморфизма в точке выполнено аналитическое свойство трансверсальности, если ` pq и ´ pq трансверсальны как подпространства .10Теорема 1.5 (Мане, [28]).
Диффеоморфизм структурно устойчив тогда и только тогда, когда аналитическое свойство трансверсальностивыполнено в каждой точке P .Пусть — либо Z` “ t P Z | ě 0u, либо Z´ “ t P Z | ď 0u.Пусть “ t uP – последовательность линейных изоморфизмов R ÑR , индексированных целыми числами из .Предположим,что существует такая константа ą 0, что все› ´1 ›››} } , ď . Для двух индексов , P обозначим$’&´1 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ , ă ,(1.4.1)Φ, “ Id, “ ,’%´1 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ ´1 , ą .´1Мы используем следующее определение из [29]:Определение 1.4.
Будем говорить, что последовательность гиперболична на , если существуют такие константы ą 0, P p0, 1q и проекции , , P , что “ R , “ R и выполнено следующее:R “ ‘ ; “ `1 , “ `1 ;|Φ, | ď ´ ||, P , ě ;|Φ, | ď ´ ||, P , ď ;} } , } } ď .Везде здесь мы имеем в виду, что индексы принадлежат .Положим ` pq “ t P R | |Φ,0 | Ñ 0, ´ pq “ t P R | |Φ,0 | Ñ 0, Ñ `8u , Ñ ´8u .Теорема 1.6 (Плисс). Следующие два утверждения эквивалентны:1. для любой ограниченной последовательности t uPZ векторов Rнайдется такая ограниченная последовательность t uPZ векторовR , что`1 “ ` , P Z;(1.4.2)112.
последовательность гиперболична на Z` и на Z´ , и пространства ` pq и ´ pq трансверсальны.Замечание 1.4. Терема доказана в [30] для линейных систем ОДУ. Мыпереносим доказательство следствия 1 ñ 2 на случай разностных уравнений в приложении.Для установления структурной устойчивости мы показываем, что последовательность дифференциалов вдоль траектории для диффеоморфизма, обладающего соответствующим свойством обратного отслеживания,удовлетворяет условию 1 теоремы Плисса и потом применяем теоремуМане.1.5ДоказательствоПеред основной теоремой докажем утверждение, относящееся к липшицеву свойству обратного отслеживания на траектории одной точки,ограничившись при этом случаем диффеоморфизма евклидова пространства.
Это позволит проиллюстрировать методы, которые будут использованы в теореме 1.4, не отвлекаясь на некоторые технические подробности.1.5.1Обратное отслеживание в RПусть – диффеоморфизм пространства “ R и пусть P .Обозначим “ pq и “ p q для P Z.Сформулируем следующее условие (A):нормы матриц и ´1 ограничены некоторой константой , а последовательность функций pq “ p ` q ´ `1 ´ обладает следующим свойством: по любому ą 0 можно указать такое ą 0, что| pq| ď ||, || ď , P Z.Теорема 1.7. Если выполнено условие (A) и диффеоморфизм обладаетлипшицевым свойством обратного отслеживания относительно классаΘ на траектории точки , то в точке выполнено аналитическое свойство трансверсальности.12Доказательство.
Докажем, что при наших предположениях для последовательности матриц выполнено утверждение 1 теоремы Плисса. Тогда применение теоремы Плисса гарантирует выполнение утверждения2. Легко видеть, что в нашем случае “ p q будут выполнены следующие равенства: ` pq “ ` pq и ´ pq “ ´ pq. Таким образомпроверяется выполнение аналитического условия трансверсальности.Фиксируем ограниченную последовательность t uPZ векторов R ;пусть, для определенности, | | ď 1 для всех P Z.Выберем такое ą 0, чтобы выполнялось неравенствоp2 ` 1q ă 1.(1.5.1)Используя условие (A), найдем такое ď 0 {2, что| pq| ď ||,|| ď p2 ` 1q, P Z.Выберем такую непрерывную функцию pq, определенную при ě0, что pq “ 1 при ď 2, pq “ 0 при ě p2 ` 1q и 0 ď pq ď 1.Определим непрерывные отображения : R Ñ R формулой p ` q “ `1 ` ` p||q ` p1 ´ p||qq pq, P Z.Ясно, что p `q и p `q совпадают при || ě p2`1q, поэтомувеличину| p ` q ´ p ` q|следует оценивать лишь при || ď p2 ` 1q. Но в этом случае| p ` q ´ p ` q| ď | | ` | pq| ď ` || ă 2(см.
неравенство (1.5.1)). Следовательно, последовательность t u является 2-методом класса Θ . Из выбора (напомним, что ď 0 {2) ииз нашего предположения следует, что существует траектория t u этогометода, для которой выполнены неравенства | ´ | ď 2.Положим “ ´ . Так как | | ď 2, верны равенства p q “ p ` q “ `1 ` ` .Сравнивая их с равенствами p q “ `1 “ `1 ` `1 ,мы видим, что`1 “ ` .13Ясно, что векторы “ { удовлетворяют равенствам`1 “ ` .и оценкам | | ď 2.1.5.2Обратное отслеживание на замкнутых многообразияхДокажем теперь теорему 1.4. Основная идея доказательства та же, чтопри доказательстве теоремы 1.7 – мы показываем, что если выполненолипшицево свойство обратного отслеживания, то в каждой точке выполнено аналитическое условие трансверсальности, после чего структурнаяустойчивость диффеоморфизма следует из теоремы Мане.Для случая липшицева обратного отслеживания относительно классаΘ основные конструкции в доказательстве выполнения аналитическогоусловия трансверсальности те же, что в теореме 1.7 (с точностью до применения экспоненциального отображения для линеаризации задачи).Фиксируем точку P , обозначим “ pq и “ p q для PZ.
Пусть exp : Ñ – стандартное экспоненциальное отображение.Рассмотрим отображения “ exp´1`1 ˝ ˝ exp : Ñ `1 .Из стандартных свойств экспоненциального отображения следует, что exp p0q “ Id; поэтому p0q “ p q.Выберем такое ą 0, чтобы выполнялось неравенствоp8 ` 1q ă 1.(1.5.2)Так как компактно, мы можем найти такое P p0, 0 {4q, что, если|| ď p8 ` 1q, то| pq ´ | ď || , P Z.(1.5.3)Обозначим через pq шар в радиуса с центром в точке ичерез pq шар в радиуса с центром в 0.14Существует такое ą 0, что для любой точки P отображение exp– диффеоморфизм шара pq на его образ и exp´1 – диффеоморфизмшара pq на его образ.
Кроме того, мы можем считать, что величина позволяет написать следующие оценки на соотношения расстояний вмногообразии и в касательном пространстве:если , P pq, тоdistpexp pq, exp pqq ď 2| ´ |;если , P pq, тоˇ ´1ˇˇexp pq ´ exp´1ˇ pq ď 2distp, q.(1.5.4)(1.5.5)Уменьшим так, чтобыp8 ` 1q ă .Рассмотрим такую последовательность векторов P , что | | ď1.Теперь можно действовать так же, как в случае “ R , с той лишьразницей, что вместо сложения векторов в касательных пространствахнужно писать экспоненциальное отображение.Выберем такую непрерывную функцию pq, определенную при ě0, что pq “ 1 при ď 8, pq “ 0 при ě p8 ` 1q и 0 ď pq ď 1.Обозначимˇ˘ ``ˇ˘´1ˇpqpq` pq “ ˇexp´1exp `ˇ˘˘``ˇ ´1` 1 ´ ˇexp pqˇ pqдля P p8`1q p q.Определим непрерывные отображения : Ñ формулой pexp pqq “#exp`1 p pqq , P p8`1q p q;“ pq, R p8`1q p q;для P Z.Ясно, что pq и pq совпадают при distp, q ě p8 ` 1q, поэтомувеличинуdist p pq, pqq15следует оценивать лишь при distp, q ă p8 ` 1q.
Но в этом случаеˇˇˇq ď 2p ` p8 ` 1qq ă 4dist p pq, pqq ď 2p| | ` ˇ exp´1pq(см. неравенства (1.5.3), (1.5.2) и (1.5.4)). Таким образом, последовательность t u является 4-методом класса Θ . Из выбора (напомним, что ď 0 {4) и из предположения теоремы следует, что существует траектория t u этого метода, для которой выполнены неравенстваdistp , q ď 4.Положим “ exp´1 p q. В силу неравенства (1.5.5) выполнено, что| | ď 8, поэтому верны и равенства`˘ p q “ exp p q “ exp`1 p ` q .Сравнивая их с равенствами p q “ `1 “ exp`1 p`1 q ,мы видим, что`1 “ ` .Ясно, что векторы “ { удовлетворяют равенствам`1 “ ` .и оценкам | | ď 8.Доказательство того, что в каждой точке выполнено аналитическоеусловие трансверсальности для случая липшицева обратного отслеживания относительно класса Θ аналогично доказательству похожего утверждения для липшицева обратного отслеживания для потоков (утверждение 2.5).Из импликации 1ñ2 в теореме Плисса следует, что пространства` pq и ´ pq трансверсальны.
Для окончания доказательства теоремы1.4 осталось сослаться на произвольность точки и на теорему Мане.16Глава 2Липшицево обратноеотслеживание для потоковДля потоков обратное отслеживание впервые было определено в [31].Мы уже отмечали, что липшицево отслеживание и липшицево обратное отслеживание эквивалентны структурной устойчивости дли диффеоморфизмов. В [32] авторы доказали, что структурная устойчивость дляпотоков влечёт обратное отслеживание. На самом деле, они доказали, чтоструктурная устойчивость для потоков влечёт липшицево обратное отслеживание, хотя в своей статье они не употребляли этот термин.В этой главе приведено доказательство того, что липшицево обратноеотслеживание для потоков влечёт структурную устойчивость в случае,когда у потока нет точек покоя.Основной результат главы опубликован в статье [20].2.1ОпределенияПусть Φ — поток на гладком многообразии с римановой метрикой dist.Пусть ą 0.Определение 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
