Диссертация (1149397)
Текст из файла
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиТодоров Дмитрий ИгоревичДИФФЕОМОРФИЗМЫ И ПОТОКИ НА ГЛАДКИХМНОГООБРАЗИЯХ СО СВОЙСТВАМИОТСЛЕЖИВАНИЯСпециальность 01.01.04 — Геометрия и топологияДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физ.-мат. наук, профессорПилюгин С.Ю.Санкт-Петербург2014СодержаниеВведение .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 Липшицево обратное отслеживание для диффеоморфизмов . .1.1 Обзор имеющихся результатов . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Основные результаты . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .1.4 Методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Доказательство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5.1 Обратное отслеживание в R . . . . . . . . . . . . . .1.5.2 Обратное отслеживание на замкнутых многообразиях67910101212142 Липшицево обратное отслеживание для потоков . . .
. . . . .2.1 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Основной результат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Идея доказательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4 Доказательство утверждения 2.5 для “ R . . .
. . . . .2.4.1 Построение метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.2 Проверка условий -метода . . . . . . . . . . . . . . .2.4.3 Отслеживание точной траектории траекторией метода2.5 Доказательство утверждения 2.5 для случая замкнутогомногообразия . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .17171819222627333 Гёльдерово обратное отслеживание3.1 Определения . . . . . . . . . . .3.2 Основной результат . . . . . . .3.3 Доказательство . . . . . . . . . .............................................................393940404 Липшицево предельное отслеживание4.1 Обзор имеющихся результатов . . .4.1.1 Двустороннее отслеживание4.1.2 отслеживание . . . .
. . .........................................................434444442....364.24.34.44.5Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Основной результат . . . . . . . . . . . . . . . .LTSLmSPpq влечёт структурную устойчивостьСтруктурная устойчивость влечёт LTSLmSPpq............................45454649Заключение . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Приложение. Связь разрешимости разностных уравнений игиперболичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2 Основные результаты . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .5.3 Аналог теоремы Майзеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3.1 Технические леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3.2 Доказательство дискретного аналога теоремы Майзеля5.4 Аналог теоремы Плисса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53545656576165Литература . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693ВведениеОсновными объектами исследования в данной работе являются пространство диффеоморфизмов замкнутого гладкого многообразия и пространство гладких векторных полей на замкнутом гладком многообразии.Оба пространства наделяются 1 топологией.Классической задачей является задача о характеризации множествадиффеоморфизмов, топологически сопряжённых с их 1 -малыми возмущениями. Такие диффеоморфзимы называются структурно устойчивыми(определение структурной устойчивости восходит к Андронову и Понтрягину [1]).Если гомеоморфизм ℎ гладкого многообразия сопрягает два диффеоморфизма , : Ñ , ℎ ˝ “ ˝ ℎ, то ℎ отображает траекториидинамической системы, порождённой диффеоморфизмом на траектории динамической системы, порождённой диффеоморфизмом .Этот подход используется в определении структурно устойчивого векторного поля. Гладкое векторное поле на гладком многообразии называется структурно устойчивым, если для любого 1 -малого возмущения поля существует гомеоморфизм ℎ : Ñ , отображающийтраектории поля на траектории поля с сохранением направлениядвижения по траекториям.Вопросу об условиях, при которых диффеоморфизм или векторноеполе являются структурно устойчивыми, посвящены многочисленныеисследования (см.
[2–13]).В последнее десятилетие появились работы, в которых структурнаяустойчивость характеризуется в терминах свойства отслеживания приближённых траекторий (псевдотраекторий).Так, было показано, что 1 -внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих свойством отслеживания, совпадает со множествомструктурно устойчивых диффеоморфизмов (см. [14]). Аналогичный результат для векторных полей без точек покоя был доказан в [15].Оказалось, что структурную устойчивость можно характеризовать, накаладывая дополнительные условия на свойство отслеживания; так, по4казано, что липшицево свойство отслеживания эквивалентно структурнойустойчивости (см.
[16, 17]).В предлагаемой диссертационной работе изучается связь междунесколькими новыми свойствами отслеживания и структурной устойчивостью. Доказывается эквивалентность структурной устойчивости и липшицева обратного отслеживания для диффеоморфизмов (глава 1) и гладких векторных полей (глава 2), гёльдерова обратного отслеживания длядиффеоморфизмов (глава 3), и одного из вариантов предельного свойстваотслеживания (глава 4).В качестве основного инструмента при изучении диффеоморфизмов используется теорема Мане о необходимом и достаточном условиях структурной устойчивости.
Технически, применение теоремы Манесводится к использованию дискретного аналога теоремы Плисса о связимежду разрешимостью систем разностных уравнений и гиперболичностью последовательности коэффициентов. Доказательство теоремы, усиливающей этот дискретный аналог теоремы Плисса, приводится в приложении.Основные результаты работы опубликованы в статьях [18–20].5Глава 1Липшицево обратноеотслеживание длядиффеоморфизмовСуществует множество различных свойств отслеживания для диффеоморфизмов замкнутых многообразий. Наиболее простое – классическое отслеживание. Говорят, что диффеоморфизм замкнутого риманова многообразия обладает классическим свойством отслеживания, есликаждая псевдотраектория с достаточно малым размером ошибок можетбыть аппроксимирована (отслежена) точной траекторией. В [14] показано, что 1 -внутренность множества диффеоморфизмов замкнутого риманова многообразия с классическим свойством отслеживания совпадаетсо множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов.
Классическоесвойство отслеживание не даёт хорошоего контроля точности отслеживания в терминах размера ошибок псевдотраектории. Липшицево свойствоотслеживания даёт линейный контроль.Понятие обратного отслеживания для диффеоморфизмов было введено Пилюгиным и Корлессом в [21] и Клёденом и Омбахом в [22]. Известно, что структурно устойчивый диффеоморфизм обладает классическим иобратным свойствами отслеживания, и при этом эти свойства липшицевы(см. [23, 24]).Совсем недавно в [17] было показано, что из наличия свойства липшицева отслеживания следует структурная устойчивость диффеоморфизма.В данной главе доказывается, что аналогичные утверждения верны также для липшицева свойства обратного отслеживания относительно двухклассов методов.
Основной результат главы включён в статью [18].61.1Обзор имеющихся результатовПусть – диффеоморфизм класса 1 гладкого многообразия с римановой метрикой dist. Здесь и далее мы всегда будем иметь в виду многообразия гладкости 8 . Обозначим “ dim . Пусть ą 0Определение 1.1. Будем называть -псевдотраекторией последовательность t uPZ точек , для которой выполнены неравенстваdistp`1 , p qq ă , P Z.Мы будем рассматривать свойства обратного отслеживания псевдотраекторий, порождённых двумя классами методов.Определение 1.2. Будем называть -методом класса Θ семейство непрерывных отображений t uPZ , : Ñ , для которого выполненынеравенстваdistp pq, pqq ă , P , P Z.Последовательность t uPZ точек называется траекторией метода t u класса Θ , если`1 “ p q, P Z.Определение 1.3.
Будем называть -методом класса Θ семейство непрерывных отображений t uPZ , : Ñ , для которого выполненоследующее:0 “ Id;distp p pqq, `1 pqq ă , P , P Z.Последовательность t uPZ точек называется траекторией метода t u класса Θ , если существует такая точка P , что “ pq, P Z.Замечание 1.1. Из определений немедленно следует, что любая траектория -метода класса Θ или Θ является -псевдотраекторией .Определение 1.4. Будем говорить, что диффеоморфизм обладает свойством обратного отслеживания относительно класса Θ (класса Θ ) натраектории точки P , если для любого ą 0 существует такое ą 0,что для любого -метода t u класса Θ (класса Θ ) с найдется такаятраектория t u метода t u, что выполнены неравенстваdistp , pqq ă ,7 P Z.Определение 1.5.
Будем говорить, что диффеоморфизм обладает свойством обратного отслеживания относительно класса Θ (класса Θ ), еслион обладает свойством обратного отслеживания относительно этого класса на траектории любой точки P . Будем писать, соответственно, P ISP или P ISP .Мы будем рассматривать либо случай компактного многообразия без края, либо случай “ R . Рассмотрим множество Diff 1 p q гладких диффеоморфизмов на себя. Хорошо известно, что любое гладкоезамкнутое многообразие вкладывается в R для некоторого натурального.
Тогда можно отождествить касательное пространство и пространство R Ă R для любой точки P .Пусть P Diff 1 p q. Дифференциал pq действует из одного мерного подпространства R в другое -мерное подпространство R .Определим расстояние между диффеоморфизмами 1 , 2 P Diff 1 p q следующим образом:1 p1 , 2 q “ 0 p1 , 2 q ` sup } pq ´ pq} ,Pгде }¨} – стандартная операторная норма и`˘0 p1 , 2 q “ max max distp1 pq, 2 pqq, distp1 ´1 pq, 2 ´1 pqq .PОчевидно, 1 является метрикой на пространстве Diff 1 p q.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
