Диссертация (1149366), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Будем считать, что определен и соответствующий обратный оператор  p1 .Пусть при этом задана цифровая стабилизирующая обратная связь cLTI математической модельюζ n  1  A c ζ n  B c y n,u n  C c ζ n  D c y n,где ζ  E1(2.3.9)– вектор состояния регулятора, A c , B c , C c , D c – матрицы соот-ветствующих размерностей с постоянными компонентами.

Как и в непрерывном времени, начальные условия по вектору ζ принимаются нулевыми.Уравнениям (2.3.9) регулятора соответствует линейный стационарный оператор  c : Y  U обратной связиun    c y n ,(2.3.10)который ставит каждому измерению y из множества Y в однозначное соответствие управление u из множества U .При замыкании объекта (2.3.7) обратной связью (2.3.9) в соответствии с соотношениями (2.3.8) и (2.3.10) имеемy n   p  c y n ,(2.3.11)т.е.

уравнение, решение которого приводит к линейному стационарномуоператору 3 замкнутой однородной системы:663 y n  0 .(2.3.12)Поскольку обратная связь является стабилизирующей, нулевое положение равновесия системы (2.3.12) асимптотически устойчиво по Ляпунову, т.е. справедливо условиеy n  0 при n   .(2.3.13)Вместо обратной связи (2.3.10) сформируем управляющее воздействие в виде суммыun   1p y d  n   c  y n  y d  n ,(2.3.14)где первое слагаемое можно трактовать, как задающий командный сигналu*  n   p1y d  n , подаваемый на замкнутую систему, а второе слагаемое~un  c  yn  y d  nопределяетобратнуюсвязьпоошибкеe n  yn  y d n слежения.Тогда справедливо следующее утверждение:Теорема 2.3.1.

Управлениеun   1p y d  n   c  y n  y d  n ,гдепервое слагаемое – задающий командный сигнал, а второе – обратнаясвязь по ошибке слежения e n  yn  y d n , обеспечивает реализациюзаданного движения y d [n] для объектаξ n  1  Aξ n  Bu n,y n  Cξ n  Du n,т.е. выполнение условия y n  y d  n при n   .Доказательство.

Замыкая объект (2.3.7) обратной связью (2.3.14)получаем67yn  y d n   p  c (yn  y d n)  yn  y d  n   p  c (yn  y d n),или e n   p  c e n . В соответствии с (2.3.11) и (2.3.12) это приводит кзамкнутой однородной системе3e n  0(2.3.15)по отношению к ошибке слежения. Как и в случае непрерывного времени,если начальные условия ξ 0   ξ 0 по вектору состояния не являются нулевыми, то в левой части уравнении (2.3.15) появится дополнительное слагаемое e 0 (ξ 0 ) , которое стремится к нулю с неограниченным ростом n . Тогда, в силу асимптотической устойчивости, имеемe n  0 при n   для любого ξ 0  E  ,(2.3.16)откуда следует условиеy n  y d  n при n   ,что и требовалось доказать.

■Конкретизируем приведенную схему реализации желаемого движения по заданному направлению с использованием цифрового стабилизирующего регулятора по состоянию объекта.Рассмотрим линейную цифровую математическую модель подвижного объекта с учетом уравнения привода, работающего в пределах линейного участка:x n  1  Ax n  Bδ n,δ n  1  u n  δ n,y n  Cx n.(2.3.17)68Здесь xn  E n , δ n  E m , un  E m , y n  E k , k  n , причем будем рассматривать часто встречающуюся ситуацию, когда C  0 C 2  , где C 2 –не особая квадратная матрица размера n  n , т.е. справедливо равенство x n yn  Cx n   0 C 2  1   C 2 x 2  n , x 2  n  E k , det C 2  0 .(2.3.18) x 2  n Введем также в рассмотрение уравнение стабилизирующего регулятора по состояниюu n  K x x n  K  δ n ,которое с учетом представления K x  K x1(2.3.19)K x 2  можно записать в видеun  K x1x1 n  K x 2 x 2  n  K  δn .В соответствии с теоремой 2.3.1 справедливо следующее утверждение:Теорема 2.3.2.

Управляющий сигналun  H 1 (q)y d  n  K x1x1 n  K x 2C2 1yn  y d  n  K  δn ,обеспечивает реализацию заданного движения y d n для объекта с вектором состояния xn  (x1 n x2  n )x n  1  Ax n  Bδ n,δ n  1  u n  δ n,y n  Cx n  C 2 x 2  n,т.е.

выполнение условия yn  y d n при n   .Доказательство. Доказательство проводится по той же схеме, что идоказательство теоремы 2.1.2, однако вместо непрерывной системы (2.1.12)необходимо использовать цифровую систему (2.3.17). Кроме того, вместо69оператора дифференцирования p используется оператор сдвига на тактвперед q . ■Доказанные утверждения позволяют сформировать правило трансформации заданного стабилизирующего управления для его использованияс целью реализации желаемого движения объекта:un  K x xn  K  δ n  K x1x1 n  K x 2 x 2  n  K  δn un  H1(q )y d n  K x1x1n  K x 2C 21 y n  y d  n  K  δ n.(2.3.20)*1Здесь первое слагаемое u  n  H (q)y d n можно трактовать, какзадающий командный сигнал, который напрямую подается на объект всумме с обратной связью.

При этом второе слагаемое~u n  K x1x1 n  K x 2C21 y n  y d  n  K δ nопределяет обратную связь с учетом ошибки e n  yn  y d  n слежения.Теперь обратимся к ситуации, когда реализация желаемого движенияобъекта обеспечивается не с помощью регулятора (2.3.19) по состоянию, ас помощью стабилизирующей обратной связи по измеряемому выходу y .Будем использовать многоцелевую структуру закона управления,представленную выше, обеспечивая ее динамическую коррекцию для достижения астатизма по отработке программного движения при наличии ступенчатых возмущений.Рассмотримсистемуспостояннымвнешнимвоздействиемd  d[n]  d 0  d e [n]x n  1  Ax n  Bδ n   Ddn ,δ n  1  u n  δ n,y n  Cx n.(2.3.21)Будем считать, что матрица наблюдателя G найдена в результате70синтеза наблюдателя и выполнен синтез базового алгоритма стабилизациив виде u n  Kx n  K 0  n .

Будем формировать управляющие сигналы повыходу наблюдателя в видеu n  Kz n  K 0  n ,(2.3.22)где z – оценка вектора состояния системы, полученная с помощью асимптотического наблюдателяz n  1  Azn  B n  G yn  Czn.(2.3.23)Для достижения свойства астатизма введем в (2.3.22) аддитивныйкорректирующий сигнал K   y n  Cz n , в результате чего выражение(2.3.22) преобразуется к видуu n  Kz n  K 0  n  K   y n  Cz n .(2.3.24)Проведя рассуждения аналогичные приведенным в пункте 2.2, приходим к утверждению:Теорема 2.3.3.

Существует такая матрица K  , что регулятор сматематической модельюun  H 1  q y d  n   K  K Czn  K 0  n  K   y n  y d  n, (2.3.25)где z – оценка вектора состояния системы, полученная с помощью асимптотического наблюдателя (2.3.23) для системы (2.3.21) с постояннымвнешним воздействием d  d[n]  d 0  d e [n] обеспечивает астатизмсистемы по регулируемым координатам и реализацию заданного движения y d n , т.е. выполнение условия yn  y d  n при n   .Теперь вместо (2.3.24) сформируем закон управления в видеun   zn  1  z n  yn  .(2.3.26)71Будем строить регулятор (2.3.26) на базе найденного стабилизирующего управления u n  Kx n  K 0  n .Покажем, что управление (2.3.26) обеспечивает астатизм замкнутойсистемы (2.3.21), (2.3.23), (2.3.26) по выходу y .В статическом положении равновесия при нулевых возмущениях выполняются равенства x[n  1]  x[n]  0, z[n  1]  z[n]  0 , [n  1]  [n]  0 ,откуда имеем E  A  x n  B n  0, z n  1  z n  y n  0  y n  0,т.е.

lim yn   0 , что и свидетельствует об астатизме.nАналогично преобразованию управления (2.3.19), управление (2.3.26)можно преобразовать так, чтобы кроме свойства астатизма обеспечивалосьдвижение по заданной траектории y d . Тогда мы приходим к утверждению:Теорема 2.3.4. Существует такие матрицы  и  , что регуляторс математической модельюu  H 1  q  y d n   z n  1  zn   yn  y d  n,(2.3.27)где z – оценка вектора состояния системы, полученная с помощью асимптотического наблюдателя (2.3.23) для системы (2.3.21) с постояннымвнешним воздействием d  d[n]  d 0  d e [n] обеспечивает астатизмсистемы по регулируемым координатам и реализацию заданного движения y d , т.е. выполнение условия yn  y d  n при n   .Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.1.4.72ГЛАВА 3.

Характеристики

Список файлов диссертации