Диссертация (1149366), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Управляющий сигналu  H 1 ( p)y d (t )  K x1x1  K x 2 C 21  y  y d (t )  K  δ ,обеспечивает реализацию заданного движения y d t  для объекта с вектором состояния x   x1x2 x  Ax  Bδ,  u,y  Cx  C 2 x 2 ,т.е. выполнение условия y t   y d t  при t   .Доказательство.В соответствии с соотношением (2.1.13) введемобозначенияv  K x 2 x 2  K x 2 C 21y  K 1y , K 1  K x 2 C 2 1 .(2.1.15)Тогда можем записать уравнения вспомогательной LTI системы со входомv и выходом yx  Ax  Bδ,δ  K x1x1  v  K  δ,(2.1.16)y  Cx.48В блочном представлении эти уравнения примут видξ  A p ξ  B p v,(2.1.17)y  C p ξ,гдеxAB  0 ξ     E n m , A p  , Bp   , C p  C 0  .  K x1 0  K   Em После записи (2.1.17) в tf-форме получимy  H ( s ) v,(2.1.18)где передаточная матрица H имеет видH ( s)  B a ( s ) Aa ( s) ,(2.1.19)а полином Aa (s) и полиномиальная матрица B a (s) определяются следующими выражениями:Aa (s )  detEs  A p  , B a ( s)  Aa ( s )C p Es  A p  B p ,1(2.1.20)E – единичная матрица размера n  m .Теперь, с учетом уравнений (2.1.18) и (2.1.15) можно записать уравнения замкнутой системы (2.1.12), (2.1.14) в операторной формеAa ( p )y  B a ( p ) v,(2.1.21)v  K 1y, p  d dt ,которые определяют соответственно операторы  p и  c , указанные выше.Заметим, что для первого из них существует и обратный оператор  p1 ,однозначноопределяемыйобратнойпередаточнойматрицейH 1 (s )  Aa ( s )B a 1 ( s ) вспомогательной системы.Легко видеть, что уравнения (2.1.21) сводятся к однородной системе49дифференциальных уравнений относительно стабилизированного выхода Aa ( p)E k  B a ( p)K 1 y  0 ,(2.1.22)с гурвицевым характеристическим полиномом  (s) .

Обратим внимание натот факт, что уравнение (2.1.22) задает однородный стационарный оператор 3 введенный в общем случае формулой (2.1.10).Теперь воспользуемся вспомогательным стабилизирующим регулятором (2.1.15) для реализации желаемого движения y d (t ) по выходу. Сэтой целью, в соответствии с формулой (2.1.9) сформируем управляющийсигнал в следующем видеv   p1y d   c  y  y d   v  H 1 ( p )y d  K 1 (y  y d ) .(2.1.23)При этом в качестве уравнений замкнутой системы имеемAa ( p )y  B a ( p ) v,v  H 1 ( p )y d  K 1 (y  y d ),(2.1.24)что легко сводится к одному однородному уравнению Aa ( p)E k  B a ( p)K 1 e  0(2.1.25)по отношению к ошибке слежения. В силу гурвицевости характеристического полинома  системы (2.1.22), будет гурвицевым и полином системы(2.1.25). Следовательно, при любых начальных условиях ξ (0)  ξ 0 по вектору состояния объекта (2.1.12) с приводом, на основании (2.1.25) имеемet   y t   y d t   0 при t   ,что и требовалось доказать.

■Доказанные утверждения с учетом соотношений (2.1.14) и (2.1.15)позволяют сформировать правило трансформации заданного стабилизи50рующего управления для его использования с целью реализации желаемогодвижения объекта:u  K x x  K  δ  K x1x1  K x 2 x 2  K  δ u  H 1 ( p )y d (t )  K x1x1  K x 2C 21 y  y d (t )  K  δ.(2.1.26)Здесь первое слагаемое u* (t )  H 1 ( p)y d (t ) можно трактовать, какзадающий командный сигнал, который напрямую подается на объект всумме с обратной связью. При этом второе слагаемое~u(t )  K x1x1  K x 2C 2 1 y  y d (t )  K  δопределяет обратную связь с учетом ошибки et   y t   y d t  слежения.Теперь обратимся к более сложной ситуации, когда реализация желаемого движения объекта обеспечивается не с помощью регулятора(2.1.14) по состоянию, а с помощью стабилизирующей обратной связи поизмеряемому выходу y .Здесь мы будем использовать многоцелевую структуру закона управления, представленную в предшествующей главе, обеспечивая ее динамическую коррекцию для достижения астатизма по отработке программногодвижения при наличии ступенчатых возмущений.Рассмотримсистемуспостояннымвнешнимвоздействиемd  d 0 1 t x  Ax  Bδ  Dd t ,δ  u,(2.1.27)y  Cx.Будем считать, что выполнен синтез базового алгоритма стабилизации в виде u  Kx  K 0 , и на его основе сформируем управляющий сигнал в виде51u  Kz  K 0  ,(2.1.28)где z – оценка вектора состояния системы, полученная с помощью асимптотического наблюдателяz  Az  B  G  y  Cz  .(2.1.29)Для достижения свойства астатизма введем в (2.1.28) аддитивныйкорректирующий сигнал K   y  Cz  , в результате чего (2.1.28) преобразуется к видуu  Kz  K 0 δ  K   y  Cz  .(2.1.30)Замкнув систему (2.1.27), (2.1.29) управлением (2.1.30), получимx  Ax  B  Dd t ,   K  K  C z  K 0   K  Cx,z  Az  B  G  y  Cz .(2.1.31)Введем обозначение для вектора состояния системы (2.1.31)   x  z  , dim   2n  m .Условие астатизма по i -й регулируемой координате для системы(2.1.31) может быть представлено в следующем видеH d i  0  0,(2.1.32)где H d i  s  – передаточная матрица замкнутой системы (2.1.31) от возмущения d t  к i -й регулируемой координате, которая определяется по формулам52H d i  s    0 i 1 1 0 2 n  m  i  H d  s ,BDH d  s     s   det  0 sE  K 0B010 K  K  C ,sE  A  GC (2.1.33)где  s  – характеристический полином системы (2.1.27), (2.1.29).Таким образом, проблема обеспечения астатизма замкнутой системыпо регулируемым координатам сводится к такому выбору матрицы коррекции K  в уравнении регулятора (2.1.30), чтобы выполнялись условия(2.1.32).

Мы получим m уравнений с m неизвестными – компонентамиматрицы коррекции K  , которая будет иметь единственное решение.Теперь преобразуем управление (2.1.30) так, чтобы кроме свойстваастатизма обеспечивалось движение по заданной траектории y d .Управляющий сигнал (2.1.30) можно представить в видеu  K z z  K 0 δ  K  y , где K z  K  K  C ,(2.1.34)что приводит к уравнениям системы (2.1.27), (2.1.29), замкнутой обратнойсвязью (2.1.34):x  Ax  B  Dd t ,  K z  K   K y ,z0(2.1.35)z  Az  B  G  y  Cz .Тогда, вводя обозначениеv  K y ,(2.1.36)запишем уравнения вспомогательной системы со входом v и выходом yx  Ax  B  Dd t ,  K z  K   v,z0(2.1.37)z  Az  B  G  Cx  Cz .53В блочном представлении эти уравнения принимают видξ  A p ξ  B p v,(2.1.38)y  C p ξ,гдеBx A 2n m, A p   0 K0ξ  δ E z GC B0 0 Kz , Bp   , C p  C 0  .E mA  GC После записи (2.1.38) в tf-форме получимy  H ( s ) v,(2.1.39)где передаточная матрица H имеет видH ( s)  B a ( s ) Aa ( s) ,(2.1.40)а полином Aa (s) и полиномиальная матрица B a (s) определяются следующими выражениями:Aa (s )  detEs  A p  , B a ( s)  Aa ( s )C p Es  A p  B p ,1(2.1.41)E – единичная матрица размера n  m .Теперь, с учетом уравнений (2.1.36) и (2.1.39) можно записать уравнения замкнутой системы (2.1.27), (2.1.34) в операторной формеAa ( p )y  B a ( p) v,(2.1.42)v  K  y , p  d dt ,которые определяют соответственно операторы  p и  c , указанные выше.Заметим, что для первого из них существует и обратный оператор  p1 ,однозначноопределяемыйобратнойпередаточнойматрицейH 1 (s )  Aa ( s )B a 1 ( s ) вспомогательной системы.54Легко видеть, что уравнения (2.1.42) сводятся к однородной системедифференциальных уравнений относительно стабилизированного выхода Aa ( p )E k  B a ( p )K  y  0 ,(2.1.43)с гурвицевым характеристическим полиномом  (s) .

Обратим внимание натот факт, что уравнение (2.1.43) задает однородный стационарный оператор 3 введенный в общем случае формулой (2.1.10).Теперь воспользуемся вспомогательным стабилизирующим регулятором (2.1.36) для реализации желаемого движения y d (t ) по выходу. Сэтой целью, в соответствии с формулой (2.1.9) сформируем управляющийсигнал в следующем видеv   p1y d   c  y  y d   v  H 1 ( p )y d  K  (y  y d ) .(2.1.44)При этом в качестве уравнений замкнутой системы имеемAa ( p )y  B a ( p ) v,v  H 1 ( p )y d  K  (y  y d ),(2.1.45)что легко сводится к одному однородному уравнению Aa ( p )E k  B a ( p )K  e  0(2.1.46)по отношению к ошибке слежения.

В силу гурвицевости характеристического полинома  системы (2.1.43), будет гурвицевым и полином системы(2.1.46). Следовательно, при любых начальных условиях ξ (0)  ξ 0 по вектору состояния объекта (2.1.27) с приводом, на основании (2.1.46) имеемet   y t   y d t   0 при t   ,что и требовалось показать.Таким образом, мы можем сформировать правило трансформации55заданного стабилизирующего управления для его использования с цельюреализации желаемого движения объекта:u  K z z  K 0   K  y   K  K  C z  K 0   K  y u  H 1  p  y d   K  K  C z  K 0   K   y  y d .(2.1.47)Здесь первое слагаемое u* (t )  H 1 ( p)y d (t ) можно трактовать, какзадающий командный сигнал, который напрямую подается на объект всумме с обратной связью.

При этом второе слагаемое~u(t )   K  K  C z  K 0   K   y  y d определяет обратную связь с учетом ошибки et   y t   y d t  слежения.Таким образом, мы пришли к следующему утверждению:Теорема 2.1.3. Существует такая матрица K  , что регулятор сматематической модельюu  H 1  p y d   K  K  C z  K 0   K   y  y d ,(2.1.47)где z – оценка вектора состояния системы, полученная с помощью асимптотического наблюдателяz  Az  B  G y  Cz (2.1.48)для системы с постоянным внешним воздействием d  d 0 1 t x  Ax  B  Dd t ,  u,(2.1.49)y  Cxобеспечивает астатизм системы по регулируемым координатам и реализацию заданного движения y d t  , т.е.

выполнение условия y t   y d t  приt  . ■56Теперь вместо (2.1.30) сформируем закон управления в видеu  z  y .(2.1.50)Будем строить регулятор (2.1.50) на базе найденного стабилизирующего управления u  Kx  K 0 .Покажем, что управление (2.1.50) обеспечивает астатизм замкнутойсистемы (2.1.27), (2.1.29), (2.1.50) по выходу y .В статическом положении равновесия при нулевых возмущениях выполняются равенства x  0,   0, z  0 , откуда имеемAx  B  0,y  0,а, следовательно, y  0 , что и свидетельствует об астатизме.Преобразуем управление (2.1.50) так, чтобы кроме свойства астатизма обеспечивалось движение по заданной траектории y d .Управляющий сигнал (2.1.50) можно представить в видеu  K z z  K x x  K    y ,(2.1.51)где K z  μA  μGC, K   μB, Κ x  μGC . Тогда для закона управления(2.1.51) будут справедливы рассуждения, аналогичные приведенным выше.Матрица замкнутой системы (2.1.38) при этом примет видB AA p   K x K GC B0Kz .A  GC Тогда для реализации заданного движения y d можно сформироватьуправляющий сигнал v для системы (2.1.38) как57v  H 1 ( p)y d  (y  y d ).Откуда имеемu  H 1  p  y d  z   y  y d  .Таким образом, справедливо утверждение:Теорема 2.1.4.

Характеристики

Список файлов диссертации