Диссертация (1149340), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Таким образом, для любой функции v ∈ Hg1,1 (QT )ΓRj ∈SRjсправедливо двойное неравенство2[ e ] 2(ν, θ, ζ, χ) ≤ MII,N ≤ [ e ] 2(ν ′ , θ′ , ζ ′ , χ′ ) ≤ K[ e ] 2(ν, θ, ζ, χ) ,(204)с параметрами′ν = 2 (2 α2 − 1) ,1/ 2 P 22θ = λ 2 ν α1 C Ω − 1,′Aν = 2 − δ,иK = max(2 (2 α2 −1),2−δθ =λ 2−21γ21/ 2,ζ ′ = ǫ − 1,ζ = 1 − 1ǫ ,!1/ 2P 2 12 α1 C Ω−1νA2−1/ γ2,ǫ,χ′ = 22νA2α3 C̄ΓΩ−1 ,(205)χ = 2,2 α3(C̄ΓΩ )νA2)−1 .2Соотношение (204) показывает, что MII,N эквивалентна ошибке, измереннной в норме (109).Таким образом, мы получили полностью вычисляемые мажоранты погрешности (представленные в Теоремах 2.5 и 2.6), которые предоставляют реалистичные оценки точностиполученной аппроксимации по отношению к точному решению задачи.882.4.Мажоранта, основанная на расширенном поле флаксовВ последнем разделе данной главы представляется новая форма мажоранты, в выводекоторой используются константы в классических неравенствах Пуанкаре и ‘граничных’ неравенствах Пуанкаре для функций с нулевым средним для следа на границах элементов, засчёт чего удаётся максимально ослабить ограничения на пространство допустимых флаксов.Рассмотрим задачу (103)–(107) с конвекцией a ≡ 0 и соответствующим ей точным решениемu ∈ Hg1,1 (QT ).
Метод декомпозиции области Ω, предложенный выше в Разделе 2.2., позволяетне только избежать использования глобальных констант в неравенстве Фридрихса и неравенстве о следах, но и расширить множество вспомогательных функций, оптимизирующихмажоранту.Допустим, мы имеем разбиение Ω, представленное в (149), и G обозначает множествовсех граней, из которых в (150) мы выделяем Gint , GD , и GR , т. е., интегралы, ассоциированныес невязками rf и rF , могут быть заменены локальными суммами, аналогичными (159)–(162).Константа в (153) может пригодиться, к примеру, если используются некомформные аппроксимации. Допустим, v не удовлетворяет краевому условию Дирихле на ΓDi для п. в.
t ∈ (0, T ),тогда необходимо оценить слагаемое видаZ(v − g) e ds.ΓDi ∈GDЕсли наложить ограничение, в котором условие Дирихле удовлетворяется в слабом смысле,а именно{|v − g|}ΓDi ∈GD = 0,тогда каждый интеграл может быть оценен следующим образом:Z(v − g) e ds ≤ CΓTrDi kv − gkΓDi k∇ ekΩi ,п.
в. t (0, T ).(206)ΓDi ∈GDАналогично, используя неравенства (151), (152) и (153), мы можем существенно ослабитьусловия на вспомогательную функцию флаксов. Рассмотрим пространство вектор-функций89для п. в. t ∈ (0, T )Ŷdiv (Ω, OΩ ) :=ny ∈ L2 (Ω, Rd ) | y = yi ∈ Y (Ωi , div),no2= 0, ∀ Ωi ∈ OΩ ,|divyi + f − λ v|no Ωi|(yi − yj ) · nij |= 0, ∀ Γij ∈ Gint ,Γijnoo2|yi · ni − σ v − F |= 0, ∀ ΓRi ∈ GRi .ΓRi(207)(208)(209)(210)Следует отметить, что множество Ŷ (Ω, OΩ , div) шире, чем Y (Ω, div), т.
е., мы имеем большесвободы в определении и построении оптимального флакса численно. Действительно, функции из Y (Ω, div) должны иметь непрерывную нормальную компоненту на всех Γij ∈ Gintи удовлетворять поточечно естественному граничному условию на ΓRi ∈ GR . Функция изŶ (Ω, OΩ , div) удовлетворяет более слабому условию, а именно, нормальные компонентыфлакса должны быть непрерывны, а также должны удовлетворять граничным условиямНеймана только в интегральном смысле.
Интегрирование по частям для y ∈ Ŷ (Ω, OΩ , div)имеет следующую форму для ∀ e ∈ H01,1 (QT ) и п. в. t ∈ (0, T ):X ZΩi ∈OΩ Ω(y · ∇e + divy e) dx =iXZΓij ∈Gint Γij(yi − yj ) · nij e ds +XZΓRi ∈GR ΓRi(yi · ni − σ 2 v − F ) e ds.Тогда тождество (113) может быть представлено в видеZT0k ∇e k2Adt +ZTk λ ek2Ωdt +0ZTk σ e k2ΓR dt +12k e(·, T ) k2Ω0+ IΓjmp+ 21 k e(x, 0) k2Ω , (211)= If + IA + IΓjmpijRiгде If и IA определены в (125) иIΓjmpij:=ZT X Z0(yi − yj ) · nij e dsdt,(212)(yi · ni − σ 2 v − F ) e dsdt.(213)Γij ∈GintΓijиIΓjmpRi:=ZT X0ZΓRi ∈GR ΓRi90Мы используем следующие комплексы, основанные на локальных невязках:+R1−µ(t)O:=Ω l ∈ OPRGjmp (t) :=а такжеηi2 (y) =XXPCΩlνA22 1−µ+rf (v, y) ,ΩlTr(Ci,max)2νAηi2 (y),(214)(215)Ωi ∈OΩX1 2r (y)4 ijΓij ∈Gint ,Γij ∩∂Ωi 6=∅+Xρ2i (y),(216)ΓRi ∈GR ,ΓRi ∩ ∂Ωi 6=∅гдеrij (y) := k(yi − yj ) · nij kΓijи ρi (y) := kyi · ni − σ 2 v − F kΓRi .Таким образом, можно получиться мажоранту основе комплексов (214)–(215), использующую локальные неравенства вложения, константы в которых оценены в Главе 3, а такжемножество разрывных флаксов (210) (для оптимизации значений верхней границы ошибки).Теорема 2.8.
(i) Для любого v ∈ Hg1,1 (QT ) и y ∈ Ŷdiv (Ω, OΩ ) справедливо неравенство222[e](ν,θ, 2, 1) ≤ M I,N,Ŷ (v, y; δ, ρi , αj , µ+ ) := k e(x, 0) kΩZT2ρ λ1 rµf + (v, y) Ω + α1 (t) krA (v, y) k2A−1 + α2 (t) R1O−µ+ (t) + α3 (t) RGjmp (t) dt, (217)+0+где параметры мажоранты δ ∈ (0, 2], ρ ∈ [ 12 , +∞). Кроме того, µ+ (x, t) ∈ L̺,[0,1] (QT ),αi (t), i = 1, 2, 3 – положительно определённые вещественнозначные функции, удовлетво-ряющие (124). Веса ошибки [ e ] 2(ν, θ, 2, 1) определены следующим образом: ν = 2 − δ, θ(t) =1/ 212 − ρ(t)̺(x).(ii) Для любых параметров, определённых в (i), вариационная задачаinfv ∈ Hg1,1 (QT )2M I,N,Ŷ (v, y; δ, ρi , αj , µ+ )(218)y ∈ Ŷdiv (Ω, OΩ )достигает нулевого значения тогда и только тогда, когда v = u и y = A∇u.Доказательство.
Рассмотрим (211), разбивая If на сумму двух интеграловIf = Ifµ+ + If1−µ+ .(219)91Оценим слагаемое IA и Ifµ+ аналогично аргументам, использованным в доказательстве Теоремы 2.5. Учитывая, что y ∈ Ŷ (Ω, O ), I 1−µ+ оценивается при помощи неравенства (151):divIf1−µ+ΩfZT 1/2R1O−Ωµ+≤k∇ekA dt.(220)0Любая подобласть Ωi ∈ OΩ может быть представлена как сумма симплексов так, что каждый из них одним ребром совпадает с границей ∂Ωi , т. е., Ωi образует совокупность конечныхTrэлементов (patch), имеющих одну вершину.
Допустим Ci,maxобозначает максимум среди кон-стант в соответствующих ‘граничных’ неравенствах Пуанкаре (153), характеризующих грань,принадлежащей части ∂Ωi . Тогда IΓjmpи IΓjmpв (211) могут быть представлены следующимijRiобразом:IΓjmpij+IΓjmpRi=ZT X0≤ZTΓij ∈Gint1/Xrij (y)e − {|e|}Γij Γij +ρk (y, v)e − {|e|}ΓRi ΓRi ∈ΓRiΓRidt2RGjmp(t)k∇ekΩ dt,01/2где RGjmpопределена в (215). Используя опять неравенство Гёльдера, а также неравенствоЮнга–Фенхеля, мы получаемZT1 rf, µ kλ ek dt ≤ΩλΩ0ZT0ZT 21γ1 (t) λ1 rf, µ Ω +21α1 (t)001α2 (t)0ZT01RG2ij (t)kλ ek2Ω0ZT krA kA−1 k∇ekA dt ≤ 21α1 (t)krA k2A−1 +ZT ZT 1/2k∇ekA dt ≤ 21R1O−µ+α2 (t)R1O−µ+ +и1γ1 (t)ZT α3 (t)RGij (t) +k∇ekA dt ≤ 210Комбинируя (221)–(224), мы получаем (217).1α3 (t)dt,k∇ek2A dt,k∇ek2A dt,k∇ek2Adt.(221)(222)(223)(224)92Глава 3Мажоранты констант в неравенстве Пуанкаре и‘граничных’ неравенствах ПуанкареКонстанты в неравенствах Фридрихса, Пуанкаре и других функциональных неравенствах используются в различных задачах численного анализа.
Значения соответствующихконстант являются характеристиками конкретных областей и имеют практическую важность. Как уже было отмечено в предыдущей главе, константы в неравенствах вложения возникают в различных оценках погрешностей функционального типа. В частности, неравенства(11), (17) и (18) часто используются для анализа некомформных аппроксимаций, к примеру,разрывного метода Галёркина и методов сцепления (mortar method), методов декомпозицииобласти (см., [172, 173] и [174]), анализа задач, описываемых в терминах вектор-функций(см., [170, 175]), апостериорного анализа и других приложений, связанных с количественным анализом уравнений в частных производных.
В работах Carstensen и Gedicke [176] и Liuи Oishi [177] изучены гарантированные вычисляемые нижние оценки для собственных значений оператора Лапласа на основе приближения соответствующих собственных функций впространстве некомформных аппроксимаций (Crouzeix-Raviart). Следовательно, точные значения соответствующих констант (или точные гарантированные для них оценки) интересныкак с аналитической, так и с вычислительной точки зрения.
Текущая глава сконцентрирована на константах в неравенствах Пуанкаре (11), а также ему подобных неравенствах (17)и (18) (по ходу изложения мы ссылаемся на них как на ’граничные’ неравенства Пуанкаре).На базе результатов, описанных во Введении, мы выводим гарантированные оценки дляконстант CΓP , CΓTr и CTP в произвольных невырожденных треугольниках и тетраэдрах, которые являются типичными объектами в различных методах дискретизации.
В Разделе 3.1.приводится вывод гарантированных и явно вычисляемых оценок для констант CΓP , CΓTr и CTPна треугольных симплексах. Эффективность этих оценок тестируется в Разделе 3.2. путём ихсравнения с нижними границами констант, полученных численно при помощи минимизацииотношения Рэлея на достаточно репрезентативном наборе тестовых функций (соответствующего данной константе). Там же мы по аналогии сравниваем численные нижние границы, соответствующие CTP , с полученными оценками, а также с аналитическими верхними инижними оценками, изученными в работах Largesse и Siudeja [49, 51] и Cheng [50].
Нижниеоценки констант, представленные в Разделе 3.2., вычислены при помощи двух независимыхреализаций. Первый код был разработан, с помощью программного комплекса MATLAB спривлечением пакета символьных вычислений (MATLAB Symbolic Math Toolbox) [178], авторой использует библиотеку проекта The FEniCS Project [158]. Раздел 3.3. посвящён изучению констант для тетраэдров, где численные и аналитические подходы объединены дляполучения верхних оценок констант.93Верхние оценки CΓP, CΓTr и CTP для треугольных3.1.сиплексовДопустим, что T – произвольный сиплекс, вершины которого заданы как A = (0, 0),B = (h,0) и C = hρ cos α, hρ sin α , аΓ := x1 ∈ [0, h]; x2 = 0 ,(225)где ρ > 0, h > 0, и α ∈ (0,π) – геометрические параметры, полностью характеризующиетреугольник (см. Рисунок 3.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
