Диссертация (1149340), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Обаграфика подтверждают квадратичную степень сходимости мажоранты, реконструированнойна основе y ∈ RT0 и y ∈ RT1 .Далее мы сравниваем индикаторы, построенные на основе флаксов разной регулярно2,(10)сти. Несложно заметить из Рисунка 1.15а, что mdна Q(10) , использующий y ∈ RT0 , – ме-нее эффективный, чем тот, который реконструирован с использованием y ∈ RT1 на Рисунке1.15б. Последние два графика подтверждают, что для эффективного локального индикациираспространения ошибки нужно использовать флакс повышенной регулярности.В заключение рассмотрим стратегию адаптации сетки с использованием ‘bulk’-маркераM0.2 . Начиная с довольно грубой начальной сетки T3×3 , мы иллюстрируем полученное рас-пределение ошибки и мажоранты в адаптивном уплотнении сетки от одного временного слоя2,(4)к другому, а именно, Рисунок 1.16а демонстрирует полученные распределения ed2,(4)и md54010h22M2[e]−110h22M2[e]−110M , [e]2101022M , [e]2−2−2−3−310−41010−410−1010−11010hh2222(а) [ e ] , M (y), y ∈ RT 0(б) [ e ] , M (y), y ∈ RT 12Рисунок 1.14 – Оптимальная сходимость [e]2 и M c разными аппроксимациями y влогарифмических координатах.−8−8x 10x 102,(10)2,(10), md1.52,(10)md2,(10)md12,(10)1ed2,(10), mded1.5ed2,(10)2,(10)ed20.50.5000.511.520.511.5244x 10(а) Q(10) : 24576 EL (sorted)2,(10)= 1.1578e-04= 9.1316e-05, md2,(10)edx 10(б) Q(10) : 24576 EL (sorted)2,(10)= 9.1473e-05= 9.1316e-05, md2,(10)edРисунок 1.15 – Распределение энергетической части настоящей ошибки и индикатора,построенное при помощи (а) y ∈ RT 0 и (b) y ∈ RT 1 .на слое Q(4) , а Рисунок 1.16б – на Q(5) .
Количество полученных элементов (EL), а также2,(k)суммарные значения ed2,(k)и md, k = 4, 5 показаны ниже под графиками.Пример 1.6. Далее рассмотрим случай с точным решением, имеющим сингулярность. Типичным примером такого рода является задача, определённая на областиΩ := (−1, 1) × (−1, 1) \ [0, 1) × [0, −1) с T = 1, граничными условиями Дирихле с нагрузкойuD=r1/3 sin θ, где r=(x2 + y 2 ), а θ=23atan2(y, x) на SD , правой частьюf = r1/3 sin θ (2 t + 1) и начальным условием u0 = r1/3 sin θ.
Соответствующее точное решениеu = r1/3 sin θ (t2 + t + 1) имеет сингулярность в точке (0, 0) (см. Рисунок 1.17).55−7−7x 10x 101.52,(4)2,(5)ed8ed2,(4)2,(5)2,(5)42,(5)eded, md, md2,(4)62,(4)mdmd10.5200120004000600028000(а) Q4 : 8145 EL (sorted)2,(4)= 3.5351e-04= 3.7752e-04, md34x 10(б) Q5 : 38058 EL (sorted)2,(5)= 1.9462e-04= 1.9996e-04, md2,(4)ed2,(5)edРисунок 1.16 – Распределение энергетической ошибки и индикатора на слоях Q(4) и Q(5)(y ∈ RT 1 ).0.93u0.470.00-1.00-0.33x0.330.33-0.33 y-1.00Рисунок 1.17 – Приближённое решение на сетке с 113 узлом (ND) и 192 элементами (EL) вмомент времени t = 0.1.Распределение локальных ошибок на слое Q(10) весьма эффективно предсказано ин2,(10)дикатором md(см. Рисунок 1.18). Рисунок 1.18а иллюстрирует распределение ошибки ииндикатора мажоранты на слое Q(10) , где Ω дискретизирована сеткой с 48 элементами (EL).Аналогично Рисунок 1.18б иллюстрирует характеристики для сетки, содержащей 192 эле2,(k)мента (EL).
Оба рисунка подтверждают, что индикатору mdудаётся идентифицироватьлокальные скачки ошибок, связанные с выраженностью в углу области L-формы.56−3−3x 10x 103.52,(10)ed2,(10)2,(10)2,(10)ed4md2.5, md62,(10)3mded2,(10), md2,(10)82,(10)ed21.5120.50010203040(а) Q(10) : 48 EL, 33 ND2,(10)= 7.0294e-02= 4.9373e-02, md2,(10)ed50100150(б) Q(10) : 192 EL, 133 ND2,(10)= 2.9371e-02= 2.9371e-02, md2,(10)edРисунок 1.18 – Распределение ошибки и индикатора на слое Q(10) , построенное на сетке с(а) 48 элементами (EL) и (b) 192 элементами (EL).Наконец, рассмотрим адаптивную процедуру уплотнения сетки на основе маркировки ианализа полученных погрешностей в приближённом решении.
На Рисунке 1.19 представленысетки, построенные на основе маркера MAVR , а на Рисунке 1.20 сравниваются полученныесетки, при использовании маркера M0.3 . Как и в Примере 1.4, мы сравниваем сетки, полученные в ходе адаптации на основе распределения локальных настоящих ошибок (слева) ииндикаторов (справа). Мы также можем проанализировать распределение локальных ошибок и индикаторов при помощи Рисунка 1.21. Здесь адаптация произведена при помощимаркера M0.3 и, аналогично предыдущему примеру, области с завышенной оценкой ‘раскрашены’ красным маркером.В связи с недостатками инкрементального метода (в частности, медленной реконструкцией аппроксимации), были разработаны методы на основе пространственно-временныхконечно-элементных легко параллелизирующихся аппроксимаций. Монография Hackbusch[34] представляет схему, которая использует многосеточный (multigrid) метод для эллиптической задачи на каждом инкременте, так что время рассматривается как ось пространственновременной сетки.
В дополнение к этому были предложены другие методы, а именно, такназываемый параллельный пошаговый относительно времени метод Womble [35], многосеточный колебательный метод релаксации (пространственный параллелизм) Vandewalle иPiessens [36], а также пространственно-временной многосеточный метод Horton и Vandewalle[37].1.01.00.50.50.00.0x2x257−0.5−0.5−1.0−1.0−0.50.0x10.5−1.0−1.01.0(а) Q(3) : 188 EL, 105 ND2,(3)= 3.2841e-03= 3.00738e-03, md0.51.02,(3)ed1.01.00.50.50.00.0x2x20.0x1(б) Q(3) : 188 EL, 105 ND2,(3)= 3.3192e-03= 3.0391e-03, md2,(3)ed−0.5−0.5−1.0−1.0−0.50.0x10.5−1.0−1.01.0(в) Q(5) : 710 EL, 379 DOF2,(5)2,(5)ed= 1.1376e-03, md= 1.2736e-03−0.50.0x10.51.0(г) Q(5) : 686 EL, 366 DOF2,(5)2,(5)ed= 1.1653e-03, md= 1.2981e-031.01.00.50.50.00.0x2x2−0.5−0.5−0.5−1.0−1.0−0.50.0x10.5(д) Q(7) : 2790 EL, 1445 DOF2,(7)2,(7)= 4.7780e-04ed= 4.6663e-04, md1.0−1.0−1.0−0.50.0x10.51.0(е) Q(7) : 2500 EL, 1296 DOF2,(7)2,(7)= 5.1600e-04ed= 5.0477e-04, mdРисунок 1.19 – Эволюция сеток на Q(k) (k = 3, 5, 7) в процессе их адаптации, основанной нанастоящей ошибке (a), (c), (e) и индикаторе (b), (d), (f) (с использованием MAVR ).1.01.00.50.50.00.0x2x258−0.5−0.5−1.0−1.0−0.50.0x10.5−1.0−1.01.0(а) Q(3) : 281 EL, 156 ND2,(3)= 2.9591e-03= 2.6805e-03, md0.51.02,(3)ed1.01.00.50.50.00.0x2x20.0x1(б) Q(3) : 293 EL, 162 ND2,(3)= 2.9662e-03= 2.6876e-03, md2,(3)ed−0.5−0.5−1.0−1.0−0.50.0x10.5−1.0−1.01.0(в) Q(5) : 1569 EL, 823 ND2,(5)= 8.3188e-04, md= 9.6882e-04−0.50.0x10.51.0(г) Q(5) : 1504 EL, 788 ND2,(5)= 8.4416e-04, md= 9.8012e-042,(5)ed2,(5)ed1.01.00.50.50.00.0x2x2−0.5−0.5−0.5−1.0−1.0−0.50.0x10.5(д) Q(7) : 8762 EL, 4465 ND2,(7)2,(7)= 2.8537e-04ed= 2.7680e-04, md1.0−1.0−1.0−0.50.0x10.51.0(е) Q(7) : 9529 EL, 4855 ND2,(7)2,(7)= 2.8923e-04ed= 2.8075e-04, mdРисунок 1.20 – Эволюция сеток на слоях Q(k) (k = 3, 5, 7) в процессе их адаптации,основанной на локальной ошибке (a), (c), (e) и на индикаторе (b), (d), (f) (с использованиемM0.3 ).1.01.00.50.50.00.0yy59−0.5−1.0−1.0−0.5−0.50.0x0.5−1.0−1.01.02,(1)0.50.50.00.0yy1.0−0.5−0.50.0x0.5−1.0−1.01.02,(2)0.0x0.51.00.51.00.51.02,(2)1.01.00.50.50.00.0yy−0.5(г) Q(2) : md−0.5−0.5−0.50.0x0.5−1.0−1.01.02,(3)−0.50.0x2,(3)(д) Q(3) : ed(е) Q(3) : md1.01.00.50.50.00.0yy1.0−0.5(в) Q(2) : ed−0.5−1.0−1.00.5(б) Q(1) : md1.0−1.0−1.00.0x2,(1)(а) Q(1) : ed−1.0−1.0−0.5−0.5−0.50.0x0.52,(4)(ж) Q(4) : ed1.0−1.0−1.0−0.50.0x2,(4)(з) Q(4) : mdРисунок 1.21 – Эволюция сеток на слоях Q(k) (k = 1, 2, 3, 4) c поэлементными уровнямиошибки (a), (c), (e) и уровнями индикаторов (b), (d), (f) (с использованием M0.3 ).600.50u0.20-0.100.670.000.33x0.670.33t0.00Рисунок 1.22 – Приближённое решение на сетке с 417 узлами (ND) на шаге адаптациисетки (REF) 4.В связи с тем, что мажоранта формулируется на целом интервале времени, она можетбыть применена к приближённому решению, полученному в результате дискретизации всего2пространственно-временного цилиндра.
В таком случае для минимизации MI мы используемАлгоритм 3.2 в [128, Section 3.3.1]. Приведённые ниже примеры представляют полученныечисленные результаты на задачах размерности ‘1d + t’ и ‘2d + t’.2Пример 1.7. Для начала рассмотрим численные свойства M , а также следующего из неёиндикатора на задаче, определённой на единичном интервале Ω = (0, 1) ⊂ R и T = 1 сгомогенными краевыми условиями Дирихле и начальным условием u0 = x (1 − x). Пустьточное решение задачи u = x (1 − x) (t2 + t + 1). Приближение v реконструировано припомощи P1 конечных элементов (см.
Рисунок 1.22), а вспомогательная функция флакса y –при помощи элементов P2 .В текущей реализации время рассматривается как дополнительная пространственная переменная. Поэтому после нескольких итераций равномерного уплотнения сетки (гдеh = τ = hx ) мы можем изучить оптимальную сходимость мажоранты (см. Рисунок 1.23а).Этот рисунок подтверждает квадратичную сходимость. В свою очередь, на Рисунке 1.23б мы2сравниваем убывание M на равномерно и адаптивно измельченной сетке (с использованиеммаркера M0.2 ). Очевидно, что для такой задачи на области несложной структуры наиболееэффективно произвести измельчение сетки на базе геометрических соображений и применить методы, основанные на тензорном представлении данных, к примеру, аналогично тому,как это сделано для уравнения Фоккер-Планка или химического управляющего уравнения вDolgov и Khoromskij [164], Dolgov, Khoromskij, и Oseledets [165], используя так называемый‘tensor train or quantized tensor train’ форматы.61010h22M (unif.
ref. )−1−110102M (M0.2 )−2−2102−310M2M , [e]210−310−410−410h22M[e]2−510−610−310−2−11010−5100−210−11010h010h(а)(б)Рисунок 1.23 – (a) Оптимальная сходимость ошибки и мажоранты. (b) Сходимостьмажоранты на равномерно и адаптивно измельченной сетке.Таблица 1.11 – Результирующая ошибка, мажоранта и её индекс эффективности поотношению к шагам уплотнения сетки.22# REF# EL183.5229e-014.0889e-011.082329.1112e-021.0682e-011.0831282.2969e-022.7215e-021.0945125.7541e-036.8586e-031.09520481.4393e-031.7209e-031.09681923.5987e-044.3096e-041.0971310722.2493e-052.6969e-051.0985242885.6231e-066.7435e-061.10920971521.4058e-061.6861e-061.10[e]MIeffДалее рассмотрим распределение настоящей ошибки и мажоранты, полученное на каждом шаге адаптации сетки (см. Рисунок 1.24). Проиллюстрируем распределение ed2 и m2dпоэлементно (где EL пронумерованы в конечно-элементной реализацией кода) для каждойитерации REF 2, 3, 4 и 5 на Рисунках 1.24а, 1.24б, 1.24в и 1.24г соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
