Диссертация (1149340), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

x ∈ Ω,(183)п.в. (x, t) ∈ SD ,(184)п.в. (x, t) ∈ ΓRj × (0, T ),ΓRj ∈ SR .(185)Из (182)–(185) следует, чтоZT X Z 0Ω i ∈ OΩ Ωi(f − vt − λ2 v − a · ∇v) η − y · ∇η dx+ZT X0ZΓRj ∈ SR Γ(F − σ 2 v)η dsdt = 0,∀η ∈ H01,1 (QT ),Rjили в равной степениZ 2(f − vt − λ v) η − y · ∇η) dx +QTZ(F − σ 2 v) η dsdt = 0,∀η ∈ H01,1 (QT ).(186)SRУчитывая (181), тождество (186) эквивалентно (37), откуда следует, что v = u и y = A∇u. Ремарка 2.4. Заметим, что в силу того, что миноранта не включает константы Фридрихсаили константы в неравенстве о следах, её форма на декомпозированной области Ω следуетиз (2.4) автоматически.812.3.Эквивалентность мажорант и ошибок в энергетической и комбинированной нормахВ данном разделе мы подтвердим свойства вычисляемости и точности обоих мажорант путём доказательства их эквивалентности ошибкам, измеренным в комбинированнойнорме а также энергетической норме для неизвестного решения прямой задачи.

Для начала мы приведём выкладки для первой формы мажоранты, результирующие в двустороннеенеравенство (199). Вторая часть раздела сфокусирована на эквивалентности второй формымажоранты и ошибки, измеренной в норме (109).Эквивалентность первой формы мажоранты и комбинированной нормы ошибки на всей областиВ современных численных методах, таких как смешанные схемы конечных элементовBrezzi и Fortin [171], приближения строятся как для первичной, так и для двойственной компонент решения. Точные приближения двойственной переменной часто немаловажны в задачах вычислительной механики (к примеру, потоки или напряжения), а также задачах теплопроводности, масс-диффузии, электростатики, упругости и пороэластичных средах. Следуяэтому подходу, рассмотрим решение задачи (103)–(107) как пару (u, p) ∈ H01,1 (QT ) × Ydiv (QT )при условии, что SN = SD , g = 0, λ = 0, и a = 0.

Для того, чтобы измерить разницуаппроксимаций (v, y) ∈ H01,1 (QT ) × Ydiv (QT ) с парой (u, p), мы используем следующую комбинированную нормуk[(u, p) − (v, y)]k2(ν̌,θ̌,ζ̌,χ̌) := ν̌k∇ek2A + θ̌k(y − p)k2A−1 +ζ̌ k div(p − y) − (u − v)t k2QT + χ̌k e(·, T ) k2Ω . (187)Пусть начальное условие удовлетворяется точно ϕ(x) = v(x, 0).

Тогда согласно (121) (с условием, что β = const, δ = 1, µ+ = 0, и η+ = 0) мажоранта может быть сформулированакак2k∇ek2A + ke(·, T )k2Ω ≤ M := (1 + β)ky − A∇vk2A−1 + 1 +1β CFΩ2νAkf − vt + divyk2QT .Учитывая, что p = A∇u, правая часть (193) может быть переформулирована как C22M ≤ (1 + β) k∇(u − v)k2A + ky − pk2A−1 + 1 + β1 νFΩ kf − vt + divyk2QT .A(188)82Используя (103), находим, что 2 C(1 + β) k∇(u − v)k2A + ky − pk2A−1 + 1 + β1 νFΩ k f − vt + divy k2QTA2≤ (1 + β) k∇(u − v)kA + ky − pk2A−1 + 2C1 + β1 νFΩ k div(p − y) − (u − v)t k2QT + ke(·, T )k2ΩA2= [(u, p) − (v, y)](ν̌,θ̌,ζ̌,χ̌), (189) 2C1где ν̌ = θ̌ = (1 + β), ζ̌ = 1 + β νFΩ , и χ̌ = 1.AДалее, применяя (193) для первых двух слагаемых и, наконец, добавляя и вычитаяA∇v в третьем слагаемом, получаемo22≤ max 1, (1 + β) k e(·, T ) kΩ + k∇(u − v)kA +(ν̌,θ̌,ζ̌,χ̌) C2(1 + β)ky − A∇v + A∇v − pk2A−1 + 1 + β1 νFΩ k f − vt + divy k2QTAno 2C221FΩ≤ max 1, (1 + β) (1 + β)ky − A∇vkA−1 + 1 + β ν k f − vt + divy kQT + A 2C(1 + β) ky − A∇vk2A−1 + kA∇v − p k2A−1 + 1 + β1 νFΩ k f − vt + divy k2QT .

(190)[(u, p) − (v, y)]2nAОтсюда получаем двойное неравенствоno 22 2M ≤ [(u, p) − (v, y)] ≤ 2 max 1, (1 + β) + 1 M ,(191)демонстрирующее, что мажоранта эквивалентна комбинированной норме. Другими словами,2M I,N (содержащая только известные функции и параметры) адекватно отображает расстояние между (v, y) ∈ H01,1 (QT ) × Ydiv (QT ) и точным решением (u, p). В частности, это означает,что если (uh , ph ) – последовательность аппроксимаций, вычисленная на некоторой сетке Fh ,сходящаяся к (u, p) со скоростью hα , то значение мажоранты стремится к нулю с той жескоростью.Эквивалентность первой формы мажоранты и комбинированной нормы ошибки на декомпозированной областиВ данном подразделе докажем аналогичное свойство мажоранты и ошибки, определённой на Ω, которая разбита на подобласти.

Рассмотрим решение задачи (103)–(107) как паруSRSR(u, p) ∈ Hg1,1 (QT ) × Ydiv(QT ). Разница между аппроксимацией (v, y) ∈ Hg1,1 (QT ) × Ydiv(QT ) с83точным решением (u, p) измеряется в следующей комбинированной формеk[(u, p) −(v, y)]k2(ν̌,θ̌,ζ̌,κ̌,χ̌,ϑ̌,̟)ˇ:= ν̌ZTk ∇u − v k2A dt + κ̌0+ θ̌k ̺ (u − v) k2Ω dt + χ̌k (u − v)(·, T ) k2Ω0ZTk y − p k2A−1 dt + ζ̌0+ ϑ̌ZTZTk div(p − y) − (u − v)t k2Ω dt0ZTk σ (u − v) k2ΓR dt + ̟ˇZTk (p − y) · n k2ΓR dt.(192)00Теорема 2.5 утверждает, что мажоранта оценивает ошибку, измеряемую в норме (109).

В дополнение к этому можно показать, что она эквивалентна ошибке в комбинированной норме,что подтверждает её явную вычисляемость, а также эффективность. Несложно заметить,что первые три слагаемые в правой части (192) представляют из себя энергетическую норму ошибки в аппроксимации прямой задачи, а четвёртое можно рассматривать как ошибку,связанную с функцией флакса. Пятое слагаемое порожден ошибками как в первичной, таки двойственной переменных.

Последние два слагаемых связаны с ошибками в граничныхусловиях. Для упрощения изложения далее норма (192) обозначается как k[(u, p) − (v, y)]k2 .Рассмотрим результат Теоремы 2.5 (с a ≡ 0, αi = const, i = 1, 2, 3, µ+ = 0, и v(·, 0) = u0 ),тогда оценка может быть записана как(2 − δ)ZTk ∇e k2A + 2 −0:= γ2ZT1γ2ROP , {·} dt + α10ZT0ZTk λ e k2Ω + ke(x, T )k2Ω + 2ZT2k σ e k2ΓR dt ≤ M I,N (v, y)0k rA k2A−1 dt + α20ZT0ZTROP , k·k + RO0 dt + α3 RSR dt. (193)0ПоложимCΩl := maxΩ l ∈ OPn|Ωl |P2o,PC Ω := maxΩ i ∈ OΩnoCΩPi ,TrC Γ := maxΓRj ∈ SRnoCΓTrRj,Cρ,α := max{γ2 , α2 },тогда, оценивая сверху слагаемые в правой части (193), получаем2M I,N≤ ke(·, T )k2Ω + α1ZTk rA k2A−1 dt +Cρ,ανAmax0+ α3TrCΓνAn2ZT0P 2CΩ, C Ωlo ZTk rF k2ΓR dt.k rf k2Ω dt0(194)84Для дальнейшего упрощения обозначений положимCmax :=Cλ,ανAn P 2omaxC Ω , C Ωl ,Cα3 Γ := α3Tr 2CΓνA(195).Используя (103), (107) и константы (195), правая часть (194) может быть разложена как2M I,N TZZT≤ ke(·, T )k2Ω + α1  k y − p k2A−1 dt +k ∇(u − v) k2A dt0+ Cmax0ZT0ZT 2 2k div(y − p) + (u − v)t k2Ω dt + λ (u − v) dtΩ0 TZTZ 2k (p − y) · n k2ΓR dt .+ Cα3 Γ  σ 2 (u − v) dt +ΓR00Согласно условию (33)-(35) и (110) мы используем ̺ и σ для ограничения ̺ и σ соответственно,2M I,N TZZT≤ ke(·, T )k2Ω + α1  ky − pk2A−1 dt + k∇(u − v)k2A dt00 TZZT+ Cmax  kdiv(y − p) + (u − v)t k2Ω dt + ̺2 kλ (u − v)k2ΩP dt0+ Cα3 Γ σ 20ZTkσ(u − v)k2ΓR dt +0ZT0k(p − y) · nk2ΓR dt2.=: [(u, p) − (v, y)](ν̌,θ̌,ζ̌,κ̌,χ̌,ϑ̌,̟)ˇ(196)Ошибка в правой части (196) записана в норме (192) с положительными весамиν̌ = θ̌ = α1 ,ζ̌ = Cmax ,κ̌ = ̺2 Cmax ,χ̌ = 1,ϑ̌ = σ 2 Cα3 Γ ,̟ˇ = C α3 Γ .Далее в правой части (196) мы объединяем слагаемые, относящихся к норме ошибки v прямой задачи, и оцениваем их при помощи (193).

К остальным слагаемым применим метода,85использованный выше. Результат может быть сформулирован как2k[(u, p) − (v, y)]k2 ≤ CER M I,N + α1 + Cmax ZTZTZTky − A∇vk2A−1 dt +0k∇(u − v)k2A dt0kf + divy − vt − λ2vk2Ωdt + ̺2ZTkλ (u −v)k2Ωdt00 TZZT+ Cα3 Γ  kF − σ 2 v − y · nk2ΓR dt + σ 2 kσ(v − u)kΓR dt ,0гдеCER = maxИспользуя константыC PΩ := minΩ i ∈ OΩCΩPin,перепишем правую часть (197):k[(u, p) − (v, y)]k2 ≤ α1ZT0γ2(2γ2 −1)α1,(2−δ)eΓTr :=и C(̺2 Cmax ,Tr 2CΓ2C TrΓ+ σ 2 C α3 Γ)1 2σ21,oC α3 Γ .где C TrΓ := min,k ∇(u−v) k2A dt + ̺2 CmaxΓRj ∈ SRZTnCΓTrRjo,k λ (u−v) k2Ω dt + ke(·, T )k2Ω00ZT(197)k σ(v − u) k2ΓR dt +02CER M I,N+ α1ZTk y − A∇v k2A−1 dt0+Cmax(C PΩ )2 TZTZZTeΓTr RS dt . (198) ROP , k·k dt + RO0 dt + α3 CR000В очередной раз слагаемые, относящиеся к норме аппроксимации прямой задачи в правойчасти (198), оцениваются, используя (193):[(u, p) − (v, y)]2≤ZT α1 (2CER + 1)ky − A∇vk2A−1 + 2 CER γ2 ROP , {·}0+ α2 2 CER +Cmax2α2 ( C PΩ)+ α3гдеCMAJ = max 2 CER + 1,2 CER ,2 CER +ROP , k·k + RO02Tre2 CER + CΓ RSR dt ≤ CMAJ M I,N ,Cmax2,α2 ( C PΩ)2 CER +eTrCΓ.86Таким образом, мы получаем следующее двустороннее неравенство222M I,N ≤ [(u, p) − (v, y)](ν̌,θ̌,ζ̌,κ̌,χ̌,ϑ̌) ≤ CMAJ M I,N ,(199)которое показывает, что мажоранта, представленная в Теореме 2.5 эквивалентна погрешности в комбинированной норме.Эквивалентность второй формы мажоранты и нормы ошибки[ e ] 2(ν,θ,χ,ζ)2В дополнение к (199) можно показать эквивалентность MII,N ошибке, измеренной вSRнорме (109) (при a ≡ 0).

Положим y = A∇u ∈ Ydiv(QT ), and w = e, тогдаrf (v, A∇u, e) = 2̺2 e,rA (v, A∇u, e) = 2A∇e,rF (v, A∇u, e) = 2σ 2 e.(200)Функционал (178) может быть представлен какL(v, e) =Z 2vt e + A∇v · ∇e + λ v e − f e dxdt −QT=Z 2−Z(F − σ 2 v) e dsdtSRut e + A∇u · ∇e + λ ue − f e dxdt +QTZZ(F − σ 2 u) e dsdtSR2 2A∇e · ∇e + et e + λ eQTdxdt −Zσ 2 e2 dsdt.(201)SRВ силу (108), первые два слагаемых в правой части (201) принимают нулевое значение, врезультате чего получается:L(v, e) = −ZQT2 2A∇e · ∇e + et e + λ edxdt −Zσ 2 e2 dsdt.(202)SRДалееl0 (v, e) =ZΩ|v(x, 0) − u0 (x)|2 − 2e(x, 0) u0 (x) − v(0, x)dx = −ke(x, 0)k2Ω .(203)87Используя интегрирование по частям и (203), получаем оценку2MII,NZT≤ (4 α2 − 2)k∇ek2A dt + 4 α10ZT X0−2ZTPCΩlνA2Ωl ∈OPZT Xǫke(·, T )k2Ω−2kλ ek2Ω dt + 4 α30−2ZTk λ e k2Ωl dt0ek2ΓRkσdt +≤ 2 (2 α2 − 1)k∇ek2AΓRj ∈ SR2νA0Pгде C Ω = maxΩl ∈OPZkσ e k2ΓR jmdtet e dxdt − ke(x, 0)k2ΩQTdt + 2+2Rj2νA0ZTCΓTr ZT P 2kλ ek2Ωα1 C Ω − 10 Tr 2−1α3 C Γ2νA ZTkσ ek2ΓR + (ǫ − 1)ke(·, T )k2Ω ,0 TrCΩPl , C Γ = max {CΓTrR }.

Характеристики

Список файлов диссертации