Диссертация (1149340), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Леммы, приведённые ниже, основаны на анализе отображения опорного треугольника в произвольный треугольник T с использованием общеизвестныхпреобразований интегралов (см., к примеру, Ciarlet [22]) и представляют собой явно вычисляемые оценки констант CΓP , CΓTr и CΓP .x2C hρ cos α, hρ sin αTαA(0, 0)Γx1B(h, 0)Рисунок 3.1 – Симплекс в R2 .e 1 (T, Γ) оценки констант в неравенствахЛемма 3.1. Для любой функции w ∈ HkwkT ≤ CΓP h k∇wkT1и kwkΓ ≤ CΓTr h /2 k∇wkT(226)представлены в видеnoPPPPCΓP ≤ C Γ = min γπP/2 CΓ,,γCπb π/2b π/4/4 Γ,noTrTrTrTrи CΓTr ≤ C Γ = min γπTr/2 CΓ,,γCπb π/2b π/4/4 Γ,соответственно.

Здесь1/γπP/2 = µπ/22 ,гдеµπ/2γπTr/2 = ρ sin α−1/2γπP/2 ,1/γπP/4 = µπ/24 ,1/2 242,(ρ, α) = 1 + ρ + 1 + ρ + 2 ρ cos 2αγπTr/4 = 2ρ sin α−1/2γπP/4 ,12µπ/4 (ρ, α) = 2ρ2 − 2ρ cos α + 1 + (2ρ2 + 1)(2ρ2 + 1 − 4ρ cos α + 4ρ2 cos 2α)(227)1/2,(228)94PTrPTrCΓ,b π/ ≈ 0.49291, CΓ,b π/ ≈ 0.65602 и CΓ,b π/ ≈ 0.24646, CΓ,b π/ ≈ 0.70711, где2244Γ̂ := x1 ∈ [0, 1]; x2 = 0 ,(229)b π/ → T, определённое какДоказательство. Рассмотрим линейное отображение Fπ/2 : T2где Bπ/2 = x = Fπ/2 (x̂) = Bπ/2 x̂,h ρh cos α0ρh sin α,detBπ/2 = ρh2 sin α.b справедлива оценкаe 1 (Tb π/ , Γ)Для функций ŵ ∈ H2Pk ŵ kTb π/ ≤ CΓ,b π/ ,b π/2 k ∇ŵ kT2(230)(231)2Pbгде CΓ,b π/ – константа, соответствующая простейшему симплексу Tπ/2 , заданному через вер2шины Â = (0, 0), B̂ = (1, 0), и Ĉ = (0, 1). Отметим, чтоk ŵ k2Tb π =/2иk ∇ŵ k2Tb π/2≤1ρh2 sin αZ1k w k2Tρh2 sin α(232)Aπ/2 (h, ρ, α)∇w · ∇w dx,(233)Tгде1 + ρ2 cos2 α ρ2 sin α cos αAπ/2 (h, ρ, α) = h2 ρ2 sin α cos αОчевидно, чтоλmax (Aπ/22)=h µπ/2(ρ, α),µπ/2(ρ, α) =1222ρ sin α.1/2 ,1 + ρ + 1 + ρ + 2 cos 2α ρ242где параметр µπ/2 (ρ, α) определен в (227).

Используя (231), (232), и (233), получаемPk w kT ≤ γπP/2 CΓ,b π/2 h k ∇w kT ,b следует:e 1 (Tb π/ , Γ)Заметим, что из w ∈ H2{|w|}Γ :=ZΓw(x) ds = hZ1/γπP/2 (ρ, α) = µπ/22 (ρ, α).w(x(x̂)) dŝ = hbΓZŵ dŝ = 0.bΓe 1 (T, Γ).Таким образом, отображение сохраняет w ∈ Hb записывается какe 1 (Tb π/ , Γ)Второе неравенство (18) для ŵ ∈ H2Trk ŵ kΓb ≤ CΓ,b π/ ,b π/2 k ∇ŵ kT2(234)95Trbгде CΓ,b π/ – константа, соответствующая опорному симплексу Tπ/4 , определённому вершинами2Â = (0, 0), B̂ = (1, 0), Ĉ = ( 21 , 21 ). Так какk ŵ k2Γb = h1 k w k2Γ ,мы получаемk w kΓ ≤Fπ/4γπTr/2Далеерассмотримb π/ → T, а именно:T4x = Fπ/4 (x̂) = Bπ/4 x̂,TrCΓ,b π/21/2h k ∇w kT ,отображениеBπ/4 = γπTr/2 (ρ, α)=второгоh2ρh cos α − h02ρh sin αµπ/2 (ρ,α)ρ sin α1/2(235).опорноготреугольника , det Bπ/4 = 2ρh2 sin α > 0,e 1 (T, Γ):из анализа которого мы получаем альтернативную пару оценок для функций из HPk w kT ≤ γπP/4 CΓ,b π/4 h k ∇w kT ,1/γπP/4 (ρ, α) = µπ/24 (ρ, α),(236)и1Tr/2k w kΓ ≤ γπTr/4 CΓ,b π/4 h k ∇w kT ,γπTr/4 (ρ, α) =µπ/4 (ρ,α)2ρ sin α1/2,(237)где µπ/4 (ρ, α) определена в (228).

Таким образом, (226) следует из (234), (235), (236), и (237).Метод, представленный в Лемме 3.1, может быть использован для получения верхнихоценок констант в классическом неравенстве Пуанкаре (11). В данном случае рассматриваb π/ , основанный на вершинах A = (0, 0),b π/ , а также Tb π/ , Tется три опорных треугольника: T342√ 31B = (1, 0), C = 2 , 2 .e 1 (T), оценка константы в неравенствеЛемма 3.2.

Для любой функции w ∈ HkwkT ≤ CΩP h k∇wkT(238)noPPPPππCΩP ≤ C T = min χπ/4 CT,C,χC,χ//b π/4b π/3b π/2 ,32T,T,(239)представлена в видегде1/χπ/4 = µπ/24 ,1/χπ/3 = µπ/23 ,1/and χπ/2 = µπ/22 .96Здесь µπ/2 и µπ/4 определены в (227) и (228) соответственно, иµπ/3 (ρ, α) = 32 (1 + ρ2 − ρ cos α) + 2PТочные значения констант: CT,b π/ =4√1 ,2π1(19+ ρ2 − ρ cos α)2 − 13 ρ2 sin2 αPCT,b π/ =33,4π1Pи CT,b π/ = π .1/2(240).2b π/ → T, совпадающее с (230)Доказательство. Рассмотрим линейное отображение Fπ/2 : T21ee 1 (T).bв Лемме 3.1. Несложно проверить, что w ∈ H (T), если выполняется условие ŵ ∈ HОценкаPk w kT ≤ χπ/2 CT,b π/2 h k ∇w kT ,1/χπ/2 (ρ, α) = µπ/22 (ρ, α)(241)получена из соображений, использованных в доказательстве предыдущей Леммы. Из анализаотображенийгде Bπ/3 = x = Fπ/3 (x̂) = Bπ/3 x̂,иx = Fπ/4 (x̂) = Bπ/4 x̂,√h (2ρ cos α3h2h√ρ sin α30где Bπ/4 = − 1) − hh2ρh cos α − h02ρh sin αe 1 (T):мы получаем альтернативные оценки для w ∈ HPk w kT ≤ χπ/3 CT,b π/3 h k ∇w kT ,Pk w kT ≤ χπ/4 CT,b π/4 h k ∇w kT , , det Bπ/3 =22h√3sin α > 0 , det Bπ/4 = 2ρh2 sin α > 01/χπ/3 (ρ, α) = µπ/23 (ρ, α),1/χπ/4 (ρ, α) = µπ/24 (ρ, α),(242)(243)где µπ/3 (ρ, α) и µπ/4 (ρ, α) определены в (240) и (228), соответственно.

Таким образом, (239)следует из (241), (242) и (243).3.2.Нижние оценки CΓP, CΓTr и CTP для треугольных областейНижние оценки CΓP и CΓTrМажоранты CΓP и CΓTr , представленные в Теореме 3.1, необходимо сравнить с минорантами констант, найденными при помощи минимизации соотношении Рэлея–РитцаRpΓ [w] =k∇wkTkw−{| w |}Γ kTи RTrΓ [w] =k∇wkTkw−{| w |}Γ kΓ(244)97по функциям из конечномерного подпространства V N ⊂ H 1 (T), сформированного характер-ной коллекцией тестовых функций. Для этого, используя ряд Фурье либо полиномиальныйряд, получаем соответствующее подпространство как оболочку над выбранной системой векторов:noV1N := span xi y j ,иV2N := spannocos(πix) cos(πjy) , i, j = 0, .

. . , N, i = j 6= 0.Заметим, что dim V1N = dim V2N = M (N ) := (N + 1)2 − 1. Соответствующие приближенияи C M,Tr. Так как определённые выше конечномерные пространстваконстант обозначены C M,PΓΓполны в H 1 (T), построенные миноранты констант сходятся к их точным значениям припараметре M (N ) стремящемся к бесконечности.Отметим, чтоinfw∈H 1 (T )RPΓ [w] =infw∈H 1 (T )k∇wkTkw−{|w|}Γ kT=k∇wkTinfkwkT1ew∈H (T,Γ)=1.CΓP(245)Следовательно, минимизация первого соотношения Рэлея по функциям из V1N или V2N генерирует нижнюю оценку CΓTr . Для соотношения RTrΓ [w] мы используем аналогичные аргумен-ты. Численные результаты, представленные ниже, получены при помощи двух различныхкодов, реализованных с использованием MATLAB Symbolic Math Toolbox [178] и The FEniCSProject [158].Таблица 3.1 – Соотношения приближённой к базовой константами по отношению квозрастающему M (N ).α=P/CΓ,C M,PΓb π/π2,Tr/CΓ,C M,TrΓb π/π4,α=ρ=1P/CΓ,C M,PΓb π/√22Tr/CΓ,C M,TrΓb π/4ρ=NM (N )130.88010.95610.86471.0000280.99450.98980.99251.00003150.99990.99980.99621.00004241.00000.99991.00001.00005351.00001.00001.00001.00006481.00001.00001.00001.0000224Таблица 3.1 демонстрирует отношения точных и соответствующих приближённых констант для выбранных ρ и α.

Они довольно близки к 1 даже для относительно небольшогочисла базовых функций N . Следовательно, мы выбираем N = 6 или 7 в тестах, которыеобсуждаются ниже.980.60.55x20.50.45(0, 1)0.4p0.35C π /20.3C π /4p2π3p0.25CΓπ3π4C 48,PΓ0.20pi/4pi/2α(а) ρ =3*pi/4(0, 0)pi√22π2Γ(б) ρ =x1(1, 0)√220.70.60.50.40.30pi/4pi/2α3*pi/4x2(0, 1)pC π /2pC π /4pCΓC 48,PΓ2π3piπ3(0, 0)(в) ρ = 1π6π2Γx1(1, 0)(г) ρ = 1Рисунок 3.2 – Двусторонние оценки CΓP для T с различными ρ.4.5TrTrC π /244C π /23.5C π /4TrTrC π /43.5TrTrCΓ3C Γ48,Tr2.5CΓ3C Γ48,Tr2.5221.51.5110.50.50pi/4pi/2α(а) ρ =3*pi/4√22pi0pi/4pi/2 3*pi/4α(б) ρ = 1piРисунок 3.3 – Двусторонние оценки CΓTr для T с раздичными ρ.99Таблица 3.2 – Двусторонние оценки CΓP и CΓTr по отношению к α ∈ (0, π) для различных ρ.ρ=√22ρ=1αC Γ48,pPCΓC Γ48,TrTrCΓC Γ48,pPCΓC Γ48,TrCΓTrπ/90.24140.26270.92891.08380.32480.34930.90581.2116π/60.23890.25770.79190.87920.32680.35270.76321.01182π/90.23790.25070.72590.75430.33390.36360.69060.9201π/30.30080.32200.68290.83480.38090.42690.63620.86344π/90.37400.41400.69470.79730.45560.51870.64040.7162π/20.40750.45540.71360.78010.49290.49290.65600.65605π/90.43820.49330.74090.79730.52800.53400.67970.71622π/30.49050.53610.82740.91180.58840.60370.75690.86347π/90.52890.57200.98981.12920.63320.65500.90331.08745π/60.54260.58561.13341.31070.64920.67331.03321.26738π/90.55240.59561.37961.61180.66070.68651.25651.5623для M (N ) = 48 (обозначенного тонРисунки 3.2а и 3.2в иллюстрируют значения C M,PΓким красным маркером) для различных T с ρ =верхние оценкиPC π/2P= γπP/2 CΓ,b π/ и2PC π/4ниями.

Характеристики

Список файлов диссертации