Диссертация (1149340), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Таким образом, если I (k) достаточно мало, решение может быть реконструировано при помощи итерационной схемы, так называемой адаптивнойсхемы Пикара–Линделёфа (АПЛ). Ошибки, возникающие в итерационной схеме, контролируются оценками Островского (см. Ostrowski [185]):Mj :=1kuj1+q− uj+1 kC(I (k) ) ≤ ku − uj kC(I (k) ) ≤qkuj1−q2− uj−1 kC(I (k) ) =: Mj .Отношение верхней и нижней оценок ошибки (252) превышает1+q.1−q(252)Если константа q близкак 1, эффективность оценок ухудшается.
Тем не менее, с помощью дополнительных элементов последовательности {ui }Nj=1 , возможно получить более точные оценки ошибки (см., [128,Section 6.7.6] и [130]), а именноM lj (uj , uj+l ) :=1kuj − uj+l kC(I (k) ) ≤ ku − uj kC(I (k) )1 + ql1l≤kuj − uj+l kC(I (k) ) =: M j (uj , uj+l ),l1−ql = 1, . . . , L, (253)используя элементы последовательности {uj }Nj=1 , отстоящие от uj на более чем одну ите-рацию.
Отношение оптимальной верхней и нижней границ ошибки в (253) равно1+q l.1−q lЕсликонстанта q близка к 1, эти оценки работают эффективнее, чем (252). Оценки (252) применяются для итерационных процессов, обладающих свойством сжимаемости таких, что соответствующий параметр сжимаемости может быть вычислен (как, к примеру, в представленномв работе Girault, Kumar, и Wheeler [186] итерационном алгоритме).Необходимоитерационномучестьпроцессе.некоторыеРассмотримтехническиеподинтервалсложности,I(k)∈возникающиеFK ,вопределён-115ныйu0ΩSkв(251),идопустим,чтоначальноезначениеитерационногопроцесса(k)определено как аффинная функция на сетке ΩSk , заданной на I , т. е.,k −1= ∪Ss=0[zs , zs+1 ], где ∆s = zs+1 − zs , z0 = tk , и zSk = tk+1 .
На первом интервалесправедливоu1 (t) =Ztϕ(u0 (s), s) ds + a0 , t ∈ I (0) := [t0 , t1 ].(254)t0Если q < 1, расстояние между u1 и u может быть найдено при помощи неравенстваqku1 (t)1−qku1 (t) − u(t)kC(I (0) ) ≤− u0 (t)kC(I (0) ) .(255)Тем не менее, в (254) получаем кусочно-непрерывный полином как результат интегрирования кусочно-аффинной функции. Во время интегрирования на Xh дополнительные ошибкиThTubjujuj−1XhXZhXhujXРисунок 4.1 – Ошибки интегрирования и интерполяции, сгенерированные T .появляются в результате интегрирования, а также отображением функции из одного конечномерного пространства в другое. Эти ошибки необходимо принять во внимание (см. Рисунок4.1).
В силу численного представления T , а именно Th : Xh → Zh , где Zh ⊂ X, функцияxbj = Th xj−1 содержит ошибку интегрирования. Так как Zh ⊂ X не пересекается с Xh , приме-няем оператор проекции π и оцениваем соответствующую ошибку. Таким образом, ошибки,сгенерированные численным интегрированием, возникают в (255) следующим образом:ku1 − u0 kC(I (0) ) ≤ ku0 − ub1 kC(I (0) ) + kbu1 − u1 kC(I (0) ) .(256)Здесь kbu1 − u1 kC(I (0) ) := kbe1 kC(I (0) ) – ошибка интегрирования. Далее необходимо спроекти-b1 ∈ CP 1 (I (0) ), гдеровать полученный результат на ub1 ∈ Zh to Xh , а именно u1 (t) = π uπ : Zh → CP 1 (I (0) ) – проектирующий оператор, для которого справедливо πbu(zs ) = u(zs ),s = 0, .
. . , Sk −1. Таким образом, правая часть (256) меняется следующим образомu1 − u1 kC(I (0) ) + kbu1 − u1 kC(I (0) ) ,ku1 − u0 kC(I (0) ) ≤ ku1 − u0 kC(I (0) ) + kb116где kbu1 (t) − u1 (t)kC(I (0) ) =: ke1 kC(I (0) ) – ошибка интерполяции.Полученный результат означает, что разница между любым кусочно-линейным при-ближением v(t) := v k (t), t ∈ I (k) и точным решением u(t) может быть оценена при помощинеравенстваkku(t) − v(t)kC(I (k) ) ≤ M ,t ∈ I (k) ,I (k) ⊂ FK .(257)Здесь кусочно-постоянная оценка ошибки сформулирована следующим образом:kM :=гдеeintj:=Xq(kv j+11−qs=0,...,Sk −1иXeinterp:=∆sjs=0,...,Sk −118Ls 2∆s2−interp− v j kC(I (k) ) + eint),j + ej12Lshi2 ,ϕ(v j, s+1 , zs+1 ) − ϕ(v j, s , zs )ϕ(v j, s+1 , zs+1 ) − ϕ(v j, s , zs ) +23hL1, s |v j, s+1 − v j, s | + L2, s ∆s(258)i(259)– оценки ошибок интегрирования и интерполяции kbej kC(I (k) ) и kej kC(I (k) ) на итерации j соответственно. Константы (258) и (259) задаются как Ls = L1, s ls + L2, s , где ls – наклонкусочно-заданной функции на каждом интервале [zs , zs+1 ], s = 0, ...,Sk −1, и L1, s – локальнаяконстанта Липшица, аналогичная заданной в (4.2.).
В [151] и [128, Section 6.7.6] представлендетальный вывод оценок обеих ошибок и подтверждаем теоретические результаты на наборе численных тестов. Таким образом, полностью гарантированные и вычисляемые границыприближений для задачи (248) (с Липшицевой функцией ϕ) могут представлены оценкой(257).4.2..1Алгоритм метода Пикара-ЛинделëфаВ первую очередь рассмотрим сетку FK , которая должна быть сформирована до при-менения численного метода и может изменяться в итерационном процессе.
В данной работепоследний вопрос не обсуждается в деталях, но важно отметить, что в процессе построения FK , используется U, в результате чего полученная сетка должна отражать поведениеϕ(u(t), t). На практике такая информация может быть получена различными способами (кпримеру, используя численное решение задачи (248), построенное другим неадаптивным методом (например, Рунге– Кутта) на грубой сетке, или из априорного анализа свойств решения).Алгоритм АПЛ является циклом по всем интервалам сетки FK =K−1S[tk , tk+1 ]. На каж-k=0дом отрезке он реализован как подцикл (с индексом j). В этом подцикле применяется методПикара-Линделëфа и пытаемся найти приближение, которое соответствует требованиям на117Алгоритм 2Метод Пикара-Линделëфа.Вход: ε {точность}, a0 {начальное условие}, q {константа сжимаемого отображения}K−1S[tk , tk+1 ] {начальная сетка}FK =ΩSk =k=0SSk−1[zs , zs+1 ] {начальная подсетка для каждого подинтервала}s=0for k = 0 to K − 1 doj=1doif k = 0a = a0elsea = v k (tk )endifk+1, Sk ) + avjk+1 = Процедура интегрирования (ϕ, vj−1kkВычисление Einterp и Eintegr , используя (259) и (258)2 ⊕,k+1Mjk+1k+1k+1= Eiter+ Einterp+ Eintegr2 ⊕,k+1q1−q Mjk+1k+1Einterp+ Eintegre⊕j =if> ε/K{уточнение сетки ΩSk }Sk+1 = 2 Sk+1endifj =j+1while e⊕j > ε/Kk+1v= vjk+1 {приближённое решение [tk−1 , tk ]}e⊕,k+1 = e⊕j {оценка ошибки на [tk−1 , tk ]}end forВыход: {v k }K−1k=0 {приближённое решение}⊕,k{e }K−1k=0 {оценка ошибки на подинтервалах}точность (т.
е., точность должна быть меньше, чем εk ). Исходные данные взяты из предыдущего шага (для первой итерации начальное условие определяется как a0 ).После вычисления приближения на [tk , tk+1 ], при помощи мажоранты мы устанавливаемгарантированную верхнюю границу ошибки (которая включает в себя ошибки интерполяциии интегрирования). Итерации продолжаются, пока требуемая точность εk не будет достигнута.
После этого результат сохраняется и алгоритм переходит к следующему интервалу.Пусть ε – заданная точность приближённого решения. Тогда практические вычисления описываются Алгоритмом 2. Отметим, что в Алгоритме 2 процесс интегрирования наинтервале не обсуждается в деталях, который выполняется на локальной сетке с наборомподинтервалов, размер которых ∆s . В принципе, может получиться, что желаемый уровеньточности εk невозможно достигнуть с ∆s (выбранным в определённый момент t′ < tK ).
Этотмомент может быть легко установлен, так как ошибки интерполяции и интегрирования будут доминировать и не позволят в целом сделать погрешность ниже εk . В этом случае ∆sнужно уменьшить, и вычисления надо повторить на соответствующем интервале.1180.2elMM0.150.10.05000.511.5tРисунок 4.2 – Ошибка и оценки ошибки.Ремарка 4.1. Оценка общей ошибки, связанной с интервалом [t0 , tK ], включает в себя всеошибки, рассчитанные на подинтервалах. Другими словами, ошибка, связанная с [t0 , tk−1 ]складывается с ошибкой на [tk−1 , tk ] (формально, это правило следует из того, что начальное условие на [tk−1 , tk ] включает ошибки на всех предыдущих интервалах).Пример 4.1. Рассмотрим задачуdu= 4u t sin(8t), t ∈ [0, 23 ],dtu(0) = a0 = 1.1(260)1Точное решение данной задачи u = e 16 sin(8t)− 2 t cos(8t) .На Рисунке 4.2 изображены ошибки (столбцами с маркером в форме стрелки) и оценкиошибки, вычисленные при помощи оценки Островского (точечной линией) и при помощиусовершенствованной оценки (пунктирной линией).
На Рисунке 4.3а и 4.4а приближённыерешения отображены вместе с заштрихованными зонами, содержащими точное решение. Границы этой зоны вычислены при помощи оценок Островского.Если в какой-то момент времени t′ < tK приемлемый уровень точности был превышен (т. е. метод Пикара–Линделёфа не может уменьшить ошибку), необходимо увеличитьколичество внутренних узлов (которые уменьшат ошибки интегрирования и интерполяции)и повторить вычисления. Численные результаты на Рисунке 4.3а и 4.4а подтверждают, чтоулучшенная мажоранта обеспечивает гораздо более точные границы отклонений.Значения компонентов оценки (а именно, первое слагаемое оценки, оценка kēk и оценкаkbek из (257)) представлены в Таблице 4.1.
Очевидно, что в данном примере значения Sk были1192vuv±M1.81.6vuv±M1.91.41.81.211.70.81.60.60.400.511.51.51.11.15t(а)1.2t(б)1.251.3Рисунок 4.3 – (a) Точное и приближённое решения с мажорантами Островского. (b)Приближенный интервал с точным и приближённым решениями с мажорантамиОстровского.1.82vulv±M1.61.9vulv±M1.41.81.21.710.81.60.600.511.5t(а)1.51.11.151.2t(б)1.251.3Рисунок 4.4 – (a) Точное и приближённое решения с усовершенствованными мажорантамиОстровского. (b) Приближенный интервал с точным и приближённым решениями сусовершенствованными мажорантами Островского.выбраны так, что оценки погрешности интерполяции и интегрирования незначительны поотношению к первому слагаемому оценки.120Таблица 4.1 – Компоненты общей оценки.оценка kej kоценка ke¯j kоценка keˆj k2.27e-028.62e-089.57e-084.61e-021.88e-075.81e-075.50e-022.53e-075.93e-077.48e-022.58e-072.36e-069.60e-023.02e-072.37e-061.03e-013.42e-072.38e-061.54e-014.90e-072.43e-061.56e-016.19e-072.50e-062.35e-019.49e-072.62e-062.71e-019.89e-072.63e-063.05e-019.99e-072.64e-063.28e-011.02e-062.64e-064.46e-011.02e-062.65e-06Пример 4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
