Диссертация (1149340), страница 8
Текст из файла (страница 8)
. . , φN =: Y N ⊂ H(div, Ω), а именно,NPYik φi , где Yik – коэффициенты вектора Y k ∈ RN , и η = φj , j = 1, . . . , N . Условиеyk =i=1(91) порождает систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)2CFΩSβ 2C+ K Yk+1 = − 21 βFΩ S + K Y k −2CFΩ3zβ (τ k )2+ g,(93)36где Yk+1 ∈ RN – неизвестный вектор, а компоненты матриц S, K и векторов z, g определеныследующим образом:{Sij }Ni,j=1:={zj }Nj=1 :={Kij }Ni,j=1{gj }Nj=1:=ZΩZΩZdivφi divφj dx,F(t−tk ) +φi · φj dx,(v k −v k+1 )τ k2(94)divφj dx,ΩZ∇v k+1 + 21 ∇v k · φj dx.:=(95)(96)(97)ΩВыше представленые наблюдения мотивируют Алгоритм 1, в котором перечислены шагиоптимизации мажоранты M2,(k)(v, y; β) таким образом, что на каждом временном этапе при-ращение мажоранты реконструируется с помощью итерационной процедуры, где поочерёдновычисляются оптимальные y и β.
Последовательность приближений, полученных в итерационной процедуре, помогает генерировать последовательность максимально точных значенийверхних оценок ошибок. На каждом Q(k) , мы получаем оптимальный y k+1 , который используется в качестве исходных данных на слое Q(k+1) . Вторая форма мажоранты и минорантыможет быть представлены аналогичным образом. В целом, Алгоритм 1 может быть рассширен для работы с приближениями, включающими скачки по времени (см., например, Repiniterи Tomar [133]). Выбор числа итераций Mmaxпродиктован балансом между качеством резуль-тирующей оценки ошибки и затрачиваемыми на это ресурсами.
В работе Repin, Sauter иSmolianski [156] этот вопрос был детально разобран, и оптимальный выбор числа итерацийiterминимизации Mmax= 2 обоснован относительным уменьшением (уточнением) мажорантына каждой минимизации. Кроме того, оценка может быть использована в качестве критериядля схем, адаптивных во времени.В пространственно-временной реализации, где время рассматривается как дополнительное пространственное измерение, мы дискретизируем мажоранту (90), следуя Алгоритму3.2 в книге Mali, Neittaanmäki и Repin [128, Section 3.3.1]. Для решения системы (93) библиотека The FEniCS Project по умолчанию использует метод LU-разложения. Учитывая известные свойства этого метода (а именно эффективность для систем размерности меньшей чемнесколько тысяч неизвестных, и неэкономичность и медленная скорость построения решениядля систем большей размерности) на сильно сгущённых сетках используется сочетание метода сопряжённых градиентов с неполным LU-разложением в качестве предобусловливателя.37Алгоритм 1Глобальная минимизация приращения M2,(k)Вход: Q(k) : v k , v k+1 , y k (Y k ) {приближённые решения и коэффициенты флакса на фиксированных временных срезах tk × Ω и tk+1 × Ω}φi , i = 1, .
. . , N {базисные функции}iterMmax{количество итераций}Сборка (assembling) матриц S, K и векторов z, g:ZZkk+1NijNF(t−tk ) + (v −v2 )τ divφj dx,{Sij }i,j=1 := divφ divφ dx, {zj }j=1 :=ΩZ ΩZijNN∇v k+1 + 12 ∇v k · φj dx.{Kij }i,j=1 := φ · φ dx, {gj }j=1 :=ΩΩРеконструкция флакса y k =Начальное значение β = 1.NPi=1Yik φi .iterfor m = 1 to Mmaxdo 2C2S + K) Y k −Решение СЛАУ βFΩ S + K Yik+1 = − 21 (CFΩNPYik+1 φi .Реконструкция y k+1 =2CFΩ3zβ (τ k )2+ g.i=1Восполнение v и y на Q(k) при помощи линеаризации:v = vk tk+1 −tτkk+ v k+1 t−t,τky = yk tk+1 −tτkk+ y k+1 t−t,τkτ k = tk+1 − tk .Вычисление приращений компонент мажоранты:2,(k)mftk+1tk+1ZZ2,(k):=k f + divy − vt k2Ω dt и md :=ky − ∇v k2Ω dt.tktkВычисление оптимального β:β :=2,(k)2 mCFΩf2,(k)md1/2.end forВычисление приращения мажоранты:2ZTM (v, y; α1 , α2 ) := α1 ky − ∇v02,(k)k2Ωdt +ZTk f + divy − vt k2Ω dt.2α2 CFΩ0(v, y; β) {приращение мажоранты на Q(k) }Выход: My k+1 (Y k+1 ) {построенный флакс на tk+1 × Ω}38Численное тестирование свойств мажоранты изначально было выполнено при помощи программной среды MATLAB.
Ниже представлено несколько примеров, основанных нарезультатах, полученных соответствующим кодом, которые демонстрируют базовые и наиболее характерные аспекты численного поведения мажоранты. Для преодоления недостатковв этой реализации, связанные с большим количеством циклов в реконструкции локальногораспределения мажоранты, более расширенный набор численных экспериментов был выполнен с помощью библиотеки The FEniCS Project (cм. [157] и Logg, Mardal и Wells [158]).Начнём с примеров, где начально-краевые задачи дискретизируется инкрементальнымметодом, и мажоранта реконструирована и оптимизирована, при помощи техники глобальнойоптимизации, представленной в Разделе 1.3..1.4.Численные примерыПримерно1.1.
Для изучения базовых свойств мажоранты рассмотрим относитель-простойпример,реализованныйвпрограммномкомплексеMATLAB.ПустьΩ = (0, 1) ⊂ R, T = 10, ST = SD с нулевым граничным условием Дирихле, ϕ = x (1 − x),λ ≡ 0, и f = 2 t(1 + t) − x (2 t + 1) (x − 1) + 2. Соответствующее точное решение задаётся какu = x (1 − x) (t2 + t + 1).Качество мажоранты и миноранты характеризуется так называемыми индексами эф-фективности:MIeff:=M[e](ν, θ, ζ)≥ 1,M:=IeffM[e](ν, θ, ζ)≤ 1,Ieff :=MMMM.≥ Ieff≥ 1 ≥ IeffДля того, чтобы иметь реалистичное представление о погрешности решения, мы нормализуем значения ошибки и мажоранты при помощи энергетической нормы точного решения [u]2 ,т. е., при сравнении мы всегда оперируем относительными значениямительной величиной настоящей ошибки[ e ] 2(ν, θ, ζ)[u]22M[u]2иM2[u]2и относи-.
Таблица 1.1 демонстрирует значения ошибкии мажоранты для разных параметров δ (при этом приближённое решение восстановлено наравномерной сетке Θ K×N1 = Θ 40×40 ). В рамках интервала [0.5, 1.5] индекс эффективностимажоранты нечувствителен к изменениям в параметре δ, что было подтверждено результатами других тестов. Следовательно, для получения оптимальных значений мажоранты вовсех последующих численных экспериментах мы полагаем δ = 1.2Рост логарифмов [ e ] 2(1, 0, 1) и M изображен на Рисунке 1.1.
Мы видим, что мажорантавоспроизводит ошибку довольно точно. Таблица 1.2 представляет величины различных компонент мажоранты. Слагаемое k y − ∇v k2Q(k) – существенно больше чем k f − vt + divy k2Q(k)и отображает энергетическую часть ошибки, выраженную k∇(u − v)k2Q(k) , настолько точно,что индекс эффективности оценки близок к 1 для любого t ∈ [0, T ].3922δ[ e ] (√2−δ, 0, 1) /[u]2M /[u]2MIeff0.56.37e-048.66e-041.1716.28e-046.39e-041.011.56.01e-048.16e-041.17log [e]2(1, 0, 1) , log M2Таблица 1.1 – Относительная ошибка, мажоранта и её индекс эффективности дляразличных δ и t = T .0−2−4−62log Mlog [e]2(1, 0, 1)−802468tРисунок 1.1 – Ошибка и мажоранта по отношению к t.Таблица 1.2 – Два слагаемых ошибки, два слагаемых мажоранты, и индекс эффективностидля tk ∈ [0, T ].222tkk∇(u − v)kQ(k)k (u − v)(x, tk ) k2Ωk y − ∇v kQ(k)k f − vt + divy kQ(k)MIeff1.034.28e-041.52e-074.24e-042.35e-041.282.052.49e-038.44e-072.49e-031.97e-041.133.089.02e-032.94e-069.02e-031.94e-041.074.102.43e-027.70e-062.43e-021.94e-041.055.135.41e-021.68e-055.41e-022.85e-041.036.151.06e-013.25e-051.06e-012.85e-041.027.181.88e-015.71e-051.88e-012.86e-041.018.213.10e-019.38e-053.10e-011.93e-041.019.234.86e-011.46e-044.86e-013.04e-041.0110.006.60e-011.97e-046.60e-012.35e-041.01Нормированные величины[ e ] 2(1, 0, 1)[u]2и2M[u]2(как функции времени) изображены на Рисун-ке 1.2а.
На Рисунке 1.2б проиллюстрировано значениеминорантаM2[u]2[ e ] 2(1/√2, 1/√2, 1/√2)[u]2и соответствующая. Мы видим, что полностью вычисляемая двусторонняя оценка ошибки явля-ется эффективной и гарантированной в любой момент времени tk ∈ [0, T ].40−4−3x 10x 1015.60.85.40.65.20.45[e]2 1/√2,1/√ 2,1/√ 2 / [u]2)(22M / [u]2M / [u]2[e]2(1, 0, 1) / [u]20.24.84.60024680246tt(а)(б)8Рисунок 1.2 – (а) Относительная ошибка и мажоранта, (b) относительная ошибка иминоранта t ∈ [0, T ].Таблица 1.3 – Ошибка и индекс эффективности Ieff =tk ∈ [0, T ].κ = 5 · 10−12MMдля разных параметров κ иκ = 10−2MM2MM2tk[ e ] (ν̃, θ̃, ζ̃) /[u]20.262.95e-043.025.10e-041.695.14e-041.691.032.98e-043.365.58e-041.695.63e-041.682.052.91e-042.605.66e-041.315.71e-041.303.082.95e-042.315.79e-041.175.85e-041.164.103.01e-042.195.91e-041.115.96e-041.105.133.05e-042.136.00e-041.086.05e-041.076.153.08e-042.106.07e-041.066.12e-041.057.183.11e-042.086.12e-041.056.18e-041.048.213.13e-042.066.16e-041.046.22e-041.039.233.15e-042.056.20e-041.046.25e-041.0310.003.16e-042.046.22e-041.036.27e-041.02Ieff =[ e ] (ν̃, θ̃, ζ̃) /[u]2κ = 10−3Ieff =[ e ] (ν̃, θ̃, ζ̃) /[u]2Ieff =MMИспользуя Замечание 1.5, мы сравниваем мажоранту и миноранту.
Таблица 1.3 иллюстрирует индекс эффективности двусторонних оценок для различных κ, а на Рисунке 1.32[e]22изображено поведение (ν̃, θ̃, ζ̃) , M , и M для κ = 5·10−1 и κ = 10−3 по отношению к tk ∈ [0, T ].[u]2[u]2[u]2Индекс эффективности мажоранты (миноранты) зависит от выбора y ∈ Ydiv (QT )η ∈ H01,1 (QT ) . Для эллиптических задач этот вопрос хорошо изучен (см., например, Repinи Tomar [159], Valdman [160], Kleiss и Tomar [161], Repin, Sauter и Smolianski [156]), а именно,существуют методы, способные восстановить y, используя реконструированное из A∇v зна-41−3−3x 102x 102M / [u][e]2 ν̃, θ̃, ζ̃ / [u]2()11M 2 / [u]20.80.80.60.60.40.40.20.202M / [u]2[e]2 ν̃, θ̃, ζ̃ / [u]2()2M / [u]20024680246t8t(а)(б)Рисунок 1.3 – Двусторонняя граница ошибки по отношению к t ∈ [0, T ] и (а) κ = 10−1 и (b)κ = 5 · 10−3 .чение потока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
