Диссертация (1149340), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Рассмотрим тождество (115) и переформулируем его следующим образом:[e]2гдеIf :=Z√1,1,σ 2 +κ/2 ,1/2rf e dxdt, = If + IA + IF + 1 k e(·, 0)k2 ,Ω2IA :=ZrA · ∇e dxdt,и IF :=(125)rF e dsdt.SRQTQTZАналогично доказательству Теоремы 1.1, мы оцениваем IA при помощи неравенстваГëльдераIA ≤ZTk rA kA−1 k∇ekA dt.(126)0+Далее введем функцию µ+ ∈ L̺,[0,1] , определённую в (122). За счёт выбора µ+ мы компенсируемвклад слагаемого с фактором ̺1 , который может резко возрасти при очень малых ̺ (анало-гичный метод был изучен в Neittaanmäki и Repin [166], Mali, Neittaanmäki и Repin [128]).Таким образом, мы получаемZT Z 1 µ+ 1−µ+µ+re dxdt ≤If =rf + rf̺ f Ω̺,+k ̺ e kΩ̺,+ +C√FΩνA0QT 1−µ+ r f Ω̺,+k∇ekA dt. (127)Аналогичные рассуждения применим к IF . Используя вспомогательную функцию η+ (123)и неравенство о следах (21), можно сбалансировать вклад функции κ в мажорантуZT √1 η+ IF ≤ κ rF 0+Γκ,R√ κe+Γκ,R+eTrΓC√ RνA 1−η+ rF +Γκ,Rk ∇ e kA dt.(128)Складывая полученные в (126), (127) и (128) оценки, мы находим[ e ] 2(1,1,√σ2 +κ/12 , /2 )≤ 12 k e(x, 0) k2Ω +ZTk rA kA−1 k∇ekA dt0+ZT0 1 µ+ ̺ rf Ωk ̺ e kΩ̺,+ + √CνFΩ rf1−µ+ ̺,+AZT √1 η+ + κ rF 0+Γκ,R√ κe+Γκ,R+eTrΓC√ RνAΩ̺,+k∇ekA 1−η+ rF dtk ∇ e kAκ,+ΓRdt.(129)69√Слагаемые в правой части (129), содержащие k ̺ e kΩ̺,+ и k κ e kΓκ,+ , могут быть оцененыRпри помощи неравенства Юнга–ФенхеляZT 1 µ+ r̺ f Ω̺,+k ̺ e kΩ dt ≤0ZT √1 η+ r κ F 0+Γκ,RZT γ1 (t)2ZT γ2 (t)20√ κe+Γκ,Rdt ≤0 1 µ+ 2r ̺ f ̺,+ +Ω √1 η+ r κ F +Γκ,R12γ1 (t)+k ̺ e k2Ω̺,+12γ2 (t)√ κe(130)dt,+Γκ,Rdt,(131)где γi (t), i = 1, 2, – произвольные вещественнозначные функции, принимающие значения винтервалах 12 , +∞) и [1, +∞) соответственно.
АналогичноZTC√FΩνA0 1−µ+ rf ZTΩ̺,+k∇ekA dt ≤ZT 12α1 (t)α2 (t)k rA k2A−10k rA kA−1 k∇ekA dt ≤ZT 120 1−µ+ 2 rf ̺,+ +2CFΩνAΩ+1k ∇e k2Aα1 (t)1k ∇e k2Aα2 (t)0dt,(132)(133)dt,иZT0CTrΓR√νA 1−η+ rF +Γκ,Rk∇ekA dt ≤12ZT α3 (t)2CTrΓRνA0 1−η+ 2 rF κ,+ +ΓR1k ∇e k2Aα3 (t)dt.(134)Здесь αi (t), i = 1, 2, 3 – положительно определённые функции, удовлетворяющие (124). Тогда,комбинируя оценки (130)–(134), получаем мажоранту (121).Ремарка 2.1. Если F – относительно простая функция, к примеру, кусочно-аффинная,eTrΓтогда флакс y(x, t) может быть выбран так, что rF = 0 для п.в. (x, t) ∈ SR , и константа CRисключается из оценки (121).Ремарка 2.2. Если флакс y(x,t) известен, то функцииr1 (t) := k rA (v, y) kA−1 ,r2 (t) :=C√FΩ k rf,1−µ+ (v, y) kΩνAи r3 (t) :=CTrΓR√k rF (v, y) kΓRνA2явно вычисляемы.
В таком случае, мажоранта MI (v, y; δ, γi , αi , µ+ , η+ ) может быть минимизирована относительно функций αi (t), i = 1, 2, 3. Оптимальные αi∗ (t) определяются при помощиметода множителей Лагранжа, а именноαi∗ (t)=3Pri (t)i=1δ ri (t).70Однако в случае минимизации мажоранты относительно y, более эффективным будет использование квадратичной структуры мажоранты (121) (см. Раздел 1.3.). В этом случаемы используем итерационную процедуру минимизации аналогично использованной в Mali,Neittaanmäki и Repin [128] и Gaevskaya и Repin [132].Вторая форма мажоранты [ e ] 2(ν,θ,χ,ζ)Текущий подраздел посвящён выводу второй формы мажоранты более сложной структуры, построенной при помощи введения вспомогательной функции w ∈ H01,1 (QT ), котораяобеспечивает получение более точных верхних оценок погрешностей.
Учитывая новую функцию w, имитирующую разность u − v, невязки уравнений (103), (104) и (107) определяютсяследующим образомrf (v, y, w) := f − (v + w)t − λ2 (v − w) − a · ∇(v − w) + divy,rA (v, y, w) := y − A∇(v − w),rF (v, y, w) := F − σ 2 (v − w) − y · n.Невязки rµf + , r1f−µ+ , rηF+ и rF1−η+ , производные от rf и rF , определены аналогично (119) и (120).Тогда погрешность, измеренная в норме (109), будет оценена при помощи мажоранты, представленной в Теореме 2.2.SRТеорема 2.2.
Для любых v ∈ Hg1,1 (QT ), w ∈ H01,1 (QT ) и y ∈ Ydiv(QT ) справедлива следующаяоценка2[e]2(ν, θ, χ, ζ) ≤ MII (v, y, w; δ, ǫ, γi , αi , µ+ , η+ ) := ǫk w(·, T ) k2Ω + l0 (v, w)+ 2L(v, w) +ZT0+2γ1 ̺1 rµf + Ω̺,+C2α1 νFΩ k rf1−µ+ k2ΩAгде параметры δ ∈ (0, 2], ǫ ∈ [1, +∞), γ1 ∈2+ γ2 √1κ rηF+ κ,+ΓR+ α2 krA k2A−1 + α31, +∞), γ2 ∈2e2CTrΓνA 2RrF ΓR!dt, (135)1, +∞). Кроме того,+κ,+µ+ (x, t) ∈ L̺,[0,1] (QT ), η+ (s, t) ∈ L[0,1] (QT ), и αi (t), i = 1, 2, 3 – положительно определённыевещественнозначные функции, удовлетворяющие (124). Параметры, включающиеся в нор-му [ e ] 2(ν, θ, χ, ζ) , определены следующим образом:ν = 2 − δ,θ(t) = 2 −1γ1 (t)1/2̺(x),χ(x) = 2σ 2 (x) + κ(x)(1 −1)γ2 (t)1/2и ζ = 1 − 1ǫ .71eTrΓ = CTrΓ (1 + CFΩ ) аналогична Теореме 2.2, а линейные функционалы вКонстанта CRRправой части (135) определены какZ Z2L(v, w) :=vt w + A∇v · ∇w + λ v w + a · ∇w − f w dxdt − (F − σ 2 v)w dsdt,QTl0 (v, w) :=Z(136)SR|v(x, 0) − ϕ(x)|2 − 2w(x, 0) ϕ(x) − v(0, x) dx.Ω(137)Доказательство.
Рассмотрим тождество (111), использованное для первой мажоранты, сSRвключенными в правую часть вспомогательными функциями w ∈ H01,1 (QT ) и y ∈ Ydiv(QT ).В результате мы имеет тождество[ e ] 2(1,1,√σ2 +κ1/12 , /2 )гдеJf =Zrf e dxdt,= Jf + JA + JF + Jw + 21 ke(·, 0)k2Ω ,JA =QTZrA · ∇e dxdt,Jf =QTиJw =ZQTZ(138)rF e dsdt,QT(wt − λ2 v)e − (A∇w + a) · ∇e dxdt.С помощью подстановки e = u − v, Jw может быть представлено какIw = L(v, w) +Z Ωe(x, T )w(x, T ) − e(x, 0)w(x, 0) dx,(139)где L(v, w) определена в (136). Комбинируя (138) и (139), мы получаем[ e ] 2(1,1,√σ2 +κ/12 , /2 )= Jf + JA + JFZ 1 2e(x, T )w(x, T ) + 2 e (x, 0) − e(x, 0)w(x, 0) dx . (140)+ L(v, w) +ΩСогласно аргументации, использованной в предыдущей теореме, слагаемые в правой части(140) оцениваются при помощи неравенств Гёльдера и Юнга–ФенхеляZe(x, T ) w(x, T ) dxdt ≤1ke(·, T )k2Ω2ǫ+ 2ǫ kw(·, T )k2Ω ,(141)ΩZT ZT 2 1 µ+ γ1 (t) 1 µ+ r+ ̺ rf k ̺ e kΩ dt ≤2̺ f Ω0Ω012γ1 (t)k ̺ e k2Ωdt,(142)72ZT √1 η+ κ rF 0где γ1 ∈12+Γκ,R√ κe+Γκ,Rdt ≤ZT γ2 (t)20 √1 η+ κ rF +Γκ,R++ 2γ21(t)√ κe+Γκ,Rdt,(143), +∞) и γ2 ∈ 1, +∞) – произвольные вещественнозначные функции.
АналогичноZTC√FΩνAZT 2 1−µ+ 1−µ+ 2CFΩ1α1 (t) ν rf + rf k∇ekA dt ≤ 2AΩΩ1k ∇e k2Aα1 (t)00ZT12k rA kA−1 k∇ekA dt ≤0ZT α2 (t) k rA k2A−1 +1k ∇e k2Aα2 (t)0dt,(144)(145)dt,иZTCTrΓR√νA0 1−η+ r F ΓRk∇ekA dt ≤12ZT α3 (t)2CTrΓRνA0 1−η+ 2r F +ΓR1k ∇e k2Aα3 (t)dt,(146)где αi (t), i = 1, 2, 3 – положительно определённые функции, удовлетворяющие (124). Тогда,комбинируя оценки (141)–(146), получаем мажоранту (135).Теорема 2.3. Для любых параметров, определённых в формулировках Теорем 2.1 и 2.2,вариационные задачи(i)2infMI (v, y)v ∈ Hg1,1 (QT )and(ii)2MII (v, y, w)infv ∈ Hg1,1 (QT )w ∈ H01,1 (QT )SR(QT )y ∈ YdivSRy ∈ Ydiv(QT )достигают нулевого значения тогда и только тогда, когда v = u, y = A∇u, и w = 0.Доказательство.
Доказательство (i) и (ii) следует аргументации, аналогичной доказательству Теоремы 1.1 [152, Theorem 2.1 (ii), Theorem 3.1 (ii)].Миноранта [ e ] 2(ν,θ,χ,ζ)Теорема 2.4 представляет вычисляемую миноранту погрешности параболической задачи реакции-конвекции-диффузии (103)–(107).Теорема 2.4. Для любой v ∈ Hg1,1 (QT ) и η ∈ H01,1 (QT ) справедлива следующая оценка:supη ∈ H01,1 (QT )(5Xi=1Gv,i (η) + Gf u0 (η))=: M2 (η, v; k) ≤ [ e ] 2(ν, θ, ζ, χ)73гдеGv,1 =Z QTGv,2Z vηt −=QTGv,3 =Gv,4 =Gv,5 =ZQZTΩZSR̺21A∇η2κ1− A∇v · ∇η −1|η |22κ2 t− vη −dxdt,1|η|22κ3dxdt,− v(x, T )η(x, T ) −σ 2 − vη −· ∇η dxdt,1|η|22κ512κ4|η(x, T )|2 dx,(147)dsdt,иG f u0 F =Zf η dxdt +QTгде ν =κ1,2θ=12κ2 +κ3 ̺21/2,ζ=Zu0 η(·, 0) dx +Ωκ4,2χ=κ5,2ZF η dsdt,(148)SRи k = (κ1 , κ2 , κ3 , κ4 , κ5 ) – вектор, состоящийиз положительных компонент.Доказательство.
См., к примеру, [140, Раздел 3 ] и [152, Раздел 4].2.2.Двусторонние оценки ошибок, основанные на локальных константахВ данном разделе мы выводим форму вычисляемой мажоранты [e]2(ν,θ,ζ,χ) при помощиметода, основанного на декомпозиции области Ω, локальных классических неравенствах Пуанкаре и ‘граничных’ неравенствах Пуанкаре для функций с нулевыми средними следамина границе (точные значения а также гарантированные оценки констант в которых изученыв [62] и [141]). В результате мы получаем полностью гарантированные и вычисляемые оценкипогрешностей аппроксимаций точных решений задач со сложной геометрией и нетривиальными граничными условиями.Мажоранты ошибки, выведенные в Теоремах 2.1 и 2.2 предыдущего раздела, включаютконстанты CFΩ и CTrΓR в неравенствах (9) и (21), вычисление точных значений или гарантированных мажорант которых, является довольно сложной задачей, особенно в случае областей со сложной геометрией и смешанными краевыми условиями.
За счёт использованияметода декомпозиции области Ω удаётся получить оценки, основанные на коллекции непересекающихся выпуклых подобластей и локальных констант, характеризующих элементыполученной коллекции.74В целом, константы в неравенствах вложения (включая константы, упомянутые выше)возникают в различных вариационных проблемах численного анализа, где величины, характеризующие конкретную рассматриваемую область, используются в методе решения. Кпримеру, результаты, касающиеся неравенств продолжения и проекции для метода конечныхэлементов, могут быть найдены в работах Mikhlin [47] и Ciarlet [22] и литературе, цитируемой в них.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
