Автореферат (1149333), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Основные результаты работы представлены в 5 печатных работах [1–5], опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.Всего по результатам диссертации автором опубликовано 10 работ [1–10],оформлены и поданы 3 заявки на интеллектуальную собственность [11–13].В работах [1–4, 8] диссертанту принадлежат формулировка и доказательство теорем о глобальной асимптотической устойчивости СФС, численное моделирование, соавторам принадлежат постановка задачи и остальныерезультаты. В работе [7] диссератнту принадлежит реализация численногопоиска колебаний двумерных систем, соавторам принадлежит постановка задачи и остальные результаты. В работах [5, 9, 10] диссертанту принадлежатвывод оценок полосы захвата без проскальзывания СФС, соавторам принадлежат постановка задачи и остальные результаты.
Личный вклад диссертантаНаучная новизна.5в заявки на интеллектуальную собственность [11–13] составляет 20 процентов.Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и одногоприложения. Полный объем диссертации 92 страницы машинописного текстас 20 рисунками. Список литературы содержит 142 наименования.ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо Введении приводится история развития систем фазовой синхронизации (СФС) и методов их исследования. Представлен обзор литературы,обосновывается актуальность и научная новизна диссертационной работы,формулируются проблемы, решаемые в диссертационной работе, показывается практическая значимость полученных результатов, представляются выносимые на защиту научные положения.В первой главе описываются модели классической СФС в пространстве сигналов и в пространстве фаз сигналов, приводятся математическиеопределения ключевых характеристик, описывающих работу СФС – полосыудержания, полосы захвата и полосы захвата без проскальзывания.1.
Математические модели СФС.Рассматривается модель классической СФС в пространстве сигналов,которая изображена на Рис. 1. Данная модель содержит следующие элеx(0)ЭГf1(θ1(t))ϕ(t)= f1(θ1(t))f2(θ2(t))f2(θ2(t))ФНЧg(t)ПГθ2(0)Рис. 1: Модель классической СФС в пространстве сигналов.менты: эталонный генератор (ЭГ), подстраиваемый генератор (ПГ), фильтрнижних частот (ФНЧ) и аналоговый перемножитель в качестве фазового детектора (ФД). Значение 1 (0) соответствует фазе ЭГ в момент замыкания цепи СФС, 2 (0) – фазе ПГ, (0) – состоянию ФНЧ соответственно.
Сигналы 1 (1 ()) и 2 (2 ()), генерируемые ЭГ и ПГ соответственно,поступают на входы аналогового перемножителя. Результирующий сигнал() = 1 (1 ())2 (2 ()) обрабатывается ФНЧ. Сигнал (), полученный врезультате фильтрации, является корректирующим сигналом частоты ПГ.6Данная математическая модель СФС описывается с помощью системынеавтономных дифференциальных уравнений, и применение аналитическихметодов для ее изучения является сложной задачей. Следуя классическимподходам, данная модель СФС с помощью методов усреднения может бытьсведена к модели СФС в пространстве фаз сигналов (см. Рис.
2), котораяописывается с помощью системы автономных дифференциальных уравнений.x(0)ЭГθ1(t)ФДKdφ(θ1(t) - θ2(t))θ2(t)ПГФНЧG(t)θ2(0)Рис. 2: Модель классической СФС в пространстве фаз сигналов.ЭГ и ПГ генерируют соответственно фазы 1 () и 2 (), которые поступают на входы ФД, являющегося нелинейным блоком. Выход ФД (Δ ()),который является функцией от разности фаз Δ () = 1 () − 2 (), называютхарактеристикой фазового детектора ( является коэффициентом усиленияФД). Важно отметить, что сведение модели СФС в пространстве сигналов кмодели СФС в пространстве фаз сигналов приводит, в зависимости от формсигналов ЭГ и ПГ, к различным формам характеристики ФД (Δ ).Выход ФД поступает на вход ФНЧ.
Вход ФНЧ (Δ ()) и выходФНЧ () связаны следующим соотношением:{︃()˙= () + (Δ ()),() = * () + (Δ ()),(1)где – постоянная × матрица, () ∈ R – вектор состояния фильтра, и – постоянные -мерные векторы, а – число. Передаточная функция ФНЧимеет вид () = −* ( − )−1 + , ∈ C1 .Корректирующий сигнал () подстраивает фазу ПГ к фазе ЭГ:˙2 () = 2free + (),7(2)где 2free – частота ПГ в разомкнутой цепи, а > 0 – коэффициент усиленияПГ. Кроме того, частота сигнала ЭГ обычно предполагается постоянной:˙1 () ≡ 1 .(3)Система автономных дифференциальных уравнений, полученная из соотношений (1), (2) и (3), описывает математическую модель классической СФС впространстве фаз сигналов:{︃˙ = + (Δ ),˙Δ = free − * − (Δ ),(4)Δfreeгде Δ= 1 − 2free называют частотной расстройкой между ЭГ и ПГ.2.
Рабочие диапазоны СФС.Ключевыми характеристиками работы СФС являются полосы удержания, захвата и захвата без проскальзывания, рассмотренные в основополагающих работах A.J. Viterbi7 , F.M. Gardner8 , В.В. Шахгильдяна и А.А. Ляховкина9 . В работе используются соответствующие строгие математическиеопределения10 .Полосой⃒ free ⃒ удержания называется максимальный интервал отклоненийчастот ⃒Δ ⃒ ∈ [0, ℎ ) таких, что математическая модель (4) СФС в пространстве фаз сигналов имеет асимптотически устойчивое состояние равновесия, которое непрерывно изменяется внутри данного интервала [0, ℎ ) (инымисловами, устойчивые состояния равновесия можно рассматривать как многоfreeзначную функцию⃒ free ⃒ переменной Δ и требовать существования непрерывнойветви для ⃒Δ ⃒ ∈ [0, ℎ )). Полоса удержания соответствует режиму удержания (режим слежения, tracking process) СФС, в котором при плавном изменении частоты ЭГ СФС автоматически компенсирует расстройку частот и темсамым не выходит из синхронизма.Полосой захвата называется максимальный интервал отклонений чаfreeстот |Δ| ∈ [0, ) таких, что математическая модель (4) СФС в пространстве фаз сигналов глобально асимптотически устойчива (то есть любое решение системы (4) стремится при → +∞ к некоторому состоянию равновесия).Однако до достижения синхронизма СФС может работать в режимебиений, что характеризуется ростом разности фаз ЭГ и ПГ.
Во многих приложениях СФС такой рост нежелателен, и для описания быстрого достижения СФС режима синхронизма без проскальзывания (внутри одного цикла7 A.J.Viterbi. Principles of Coherent Communications, McGraw-Hill, 1966.Gardner. Phase-lock techniques, 1st ed. Pub. John Wiley, 1966.9 В.В. Шахгильдян, А.А. Ляховкин. Фазовая автоподстройка частоты, Москва:Связь, 1966.10 G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev.
Hold-in, pull-in, and lock-in ranges of PLL8 F.M.circuits: rigorous mathematical definitions and limitations of classical theory, IEEE Transactions on Circuitsand Systems I: Regular Papers, Vol. 62, № 10, pp. 2454–2464, 2015.8подстраиваемого генератора) используется понятие полосы захвата без проскальзывания. Еслиlim sup |Δ (0) − Δ ()| ≥ 2,→+∞то имеет место проскальзывание цикла (cycle slipping). Для системы (4)freeс фиксированным значением Δ, область начальных состояний СФС,для которой синхронизация происходит без проскальзывания цикла, называется областью притяжения без проскальзывания (the lock-in domain),freelock−in (Δ).Полосой захвата без проскальзывания называется максимальный интервал⃒ free ⃒ отклонений частот такой, что для каждого отклонения частоты⃒ ⃒ ∈ [0, ) модель (4) является глобально асимптотически устойчивойΔи область⋂︁freelock−in (Δ)lock−in ((− , )) =|Δfree |<содержит все асимптотически устойчивые состояния равновесия системыfree∈ (− , ).
Граница полосы захвата без про(4), соответствующие Δскальзывания называется частотой захвата без проскальзывания (lock-infrequency).Вторая глава посвящена изучению полосы захвата СФС. Проведенодоказательство теорем о глобальной асимптотической устойчивости СФС, иприведены примеры применения доказанных теорем для СФС с ФНЧ первогопорядка.Для анализа глобальной асимптотической устойчивости СФС рассматривается следующая запись системы (4):{︃˙ = + (Δ ),(5)˙Δ = free + * + (Δ )Δс передаточной функцией () = * ( − )−1 − , ∈ C1 .Система (5) получается из системы (4) с помощью переобозначений→−,→−, →.о глобальной асимптотическойустойчивости СФС с передаточной функцией ФНЧ, которая содержит нулевой полюс кратности один, и 2 -периодической кусочно-однозначной функцией (Δ ), для которой однозначная кусочно-непрерывная функция (Δ ),1.
Доказана следующая теорема9совпадающая с (Δ ) во всех точках ее однозначности удовлетворяет следующим свойствам:∫︁2(Δ )Δ = 0;00для любого Δ∈ (−∞, +∞) существует > 0 такое, что∫︁Δ(6)(︀ 0)︀00(Δ )Δ ̸= 0 для Δ ∈ Δ− , Δ+ и Δ ̸= Δ.0ΔПусть функция (Δ ) системы (5) является 2 -периодическойкусочно-однозначной функцией и удовлетворяет свойствам (6), и передаточная функция () системы (5) невырождена, имеет нулевой полюскратности 1, а остальные ( − 1) полюсов передаточной функции ()имеют отрицательную вещественную часть.Если существует такое, что выполнены условия:(i) Re [ ()] > 0, ∀ ∈ (−∞, +∞);(ii) lim 2 Re [ ()] > 0;→+∞⃒⃒(iii) Re [ ()] ⃒> 0,Теорема 1.=0freeсистема (5) глобальното для произвольного фиксированного значения Δасимптотически устойчива.В качестве примера применения Теоремы 1 рассматривается СФС сидеальным ПИФ первого порядка и доказывается, что ее полоса захвата бесконечна.Для случая, когда матрица системы (5) – неособая и (0) ̸= 0,рассматривается следующая запись системы (5):{︃˙ = + (Δ ),˙Δ = * + (Δ ),(7)полученная с помощью преобразованийfree−1 Δ → − * −1, −freeΔ(Δ ) → (Δ ) + * −1.
−2. Доказана следующая теоремао глобальной асимптотической устой-чивости СФС.Пусть функция (Δ ) системы (7) является 2 -периодическойнепрерывной кусочно-дифференцируемой функцией, которая имеет два ну1,21,21ля Δ∈ [0, 2) и дифференцируема в точках Δ, причем ′ (Δ) > 0,Теорема 2.102′ (Δ) < 0. Пусть кроме того (0) ̸= 0, и существует число > 0 такое,что все собственные значения матрицы ( + ) имеют отрицательныевещественные части и|′ (Δ )| |( − )| < , ∀ ∈ R, ∀Δ ∈ R.(8)Тогда система (7) является глобально асимптотически устойчивой.В качестве примера применения Теоремы 2 выводятся известные необходимые и достаточные условия совпадения полос захвата и удержания СФСс интегрирующим ФНЧ первого порядка, приведенные в работе В.В.
Шахгильдяна и А.А. Ляховкина11 .В третьей главе для СФС с идеальным ПИФ для синусоидальной итреугольной характеристик ФД приведены численные и аналитические оценки полосы захвата без проскальзывания, полученные с помощью развитияметодов анализа фазовой плоскости, основы которых были заложены в работах F. Tricomi12 и А.А. Андронова13 .1. Вычисление полосы захвата без проскальзыванияДля случая идеального ПИФ, которому соответствует передаточная2функция () = 1+1 (где 1 > 0, 2 > 0), система (4) принимает следующий вид:⎧⎨˙ = (Δ ),(9)free⎩˙Δ = Δ−( + 2 (Δ )) .1В результате линейного преобразования → система (9) записываетсяследующим образом:{︃˙ = (Δ ),(10)˙Δ = free − 0 ( + 2 (Δ )) ,Δ1где 0 = называют коэффициентом усиления СФС.Рассматриваются следующие формы характеристики ФД:(Δ ) = sin(Δ ),которая соответствует синусоидальным сигналам ЭГ и ПГ, и{︃2если − 2 + 2 ≤ Δ () ≤ 2 + 2, Δ − 4,(Δ ) =− 2 Δ + 2 + 4, если2+ 2 ≤ Δ () ≤32+ 2,11 В.В.12 F.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
