Автореферат (1149228), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Существует вектор ∈ R такой, что ∀ ∈ Ξ дробно-рациональная функция ( − )−1 является гипер-минимально-фазовой, т. е. её числительявляется устойчивым многочленом с положительным старшим коэффициентом.2. Функции и кусочно-непрерывны по первому аргументу и глобальнолипшицевы по второму с постоянными и , соответственно.3. Существуют функции Φ(, ) и Ψ(, ) такие, что ∀ > 0 , = 1, . . .

, ∑︁ (, ¯()) = Φ(, ¯()),=1∑︁=16 (, ¯()) = Ψ(, ¯()).4. Запаздывание () является дифференцируемой функцией такой, что длянекоторых ℎ > 0 и −ℎ 6 − () 6 ,()˙ 6 < 1.Предположение 3 гарантирует существование синхронного решения системы (1) при ≡ 0.Предполагается, что каждому регулятору сети известен некоторый «синхронизирующий» сигнал – выход системы-лидера:˙ () = () + 0 (, ()) + Φ(, ()) + Ψ (, ( − ())) + (), () = (),(2)где – известный управляющий сигнал. Начальные условия для системы (2)задаются непрерывной функцией 0 ∈ [−ℎ, 0].Задача заключается в построении адаптивных законов обратной связивида = (, , , , ), ˙ = Θ (, , , , ),обеспечивающих на всех траекториях системы (1), (2) выполнение соотношенийlim ‖ () − ()‖ = 0,→∞ = 1, .

. . , .(3)В разделе 2.2 на основе метода скоростного градиента получен децентрализованный адаптивный регулятор по выходу:[︀]︀ () = − () () − () + (), > 0 , = 1, . . . , ,(4)[︀]︀[︀]︀˙ () = Γ () − () () − () ,где Γ ∈ R× – положительно определённые матрицы, начальные данные (0 ) ∈R выбираются произвольно.Как известно (Фрадков, А.Л. Синтез адаптивной системы стабилизациилинейного динамического объекта // АиТ. – 1974. – № 12.

– C. 96-103), для всякого ∈ Ξ предположение 1 (гипер-минимально-фазовость) гарантирует существование матрицы и вектора таких, что для некоторого > 0 выполненысоотношения > 0, * + * < − , = ,(5)где * = − . Из (5) следует, что подстановка = − + делает систему ()˙= () + (), ˜() = () строго пассивной по отношениюк новому входу , т. е. существуют функции () > 0 и () > 0 для ̸= 0,такие что∫︁ [︀ ]︀ () 6 ((0)) +˜ ()() − (()) .07При исследовании системы (1), (2), (4) важную роль играет величина = inf −1max ( ),∈Ξкоторая имеет смысл наименьшей степени устойчивости матриц * .При формулировке результатов используются величины]︂ [︂∑︁∑︁, = max[ + ], = max +=1,...,=1,...,1−=1=1которые имеют смысл сил связей.В подразделе 2.3.1 условия синхронизации получены для функции 0 ,удовлетворяющей следующему предположению.Предположение 5. Функция 0 (, ) кусочно-непрерывна по первому аргументуи глобально липшицева по второму с постоянной 0 .Теорема 2.1.

Пусть выполнены предположения 1–5. Если + < − 20 , тоадаптивный алгоритм управления (4) обеспечивает выполнение соотношения (3)на траекториях системы (1), (2), (4) и стремление настраиваемых параметров () к постоянным значениям.В подразделе 2.3.2 получены условия синхронизации для функции 0 ,удовлетворяющей следующему предположению.Предположение 6. Существует функция ℎ0 (, ) : [0 , ∞) × R → R такая,что 0 (, ) = ℎ0 (, ) и для всех начальных условий из [−ℎ, 0] и кусочнонепрерывных уравнения (1), (2) имеют решения продолжимые на > 0 .Теорема 2.2. Пусть выполнены предположения 1–4, 6 и(1 − 2 ) (ℎ0 (, 1 ) − ℎ0 (, 2 )) 6 0,∀1 , 2 ∈ R .Если выполнено неравенство + < , то адаптивный алгоритм управления(4) обеспечивает выполнение соотношения (3) на траекториях системы (1), (2),(4) и стремление настраиваемых параметров () к постоянным значениям.В подразделе 2.3.3 для случая линейных связей , получены болееточные условия синхронизации системы (1), (2), (4) (Теоремы 2.3, 2.4).В разделе 2.4 рассматриваются системы с ограниченными возмущениями:(︀)︀˙ () = () + 0 , () + ()+∑︁(︀)︀ ∑︁(︀)︀, () + , ( − ()) + (),=1 () = (),=1 > 0 , = 1, .

. . , ,8(6)где , , , , , , 0 , , те же, что и в (1), и ∈ R – неизвестныеограниченные функции: ‖ ‖ 6 Δ , = 1, . . . , .Вместо предположения 4 делается следующее предположение:4′ . Запаздывание () является дифференцируемой функцией такой, что0 6 () 6 ℎ,()˙ 6 < 1.Рассматривается следующая цель управления:lim→∞∑︁‖ () − ()‖2 6 ,(7)=1где > 0 – заданное число.В случае систем с возмущениями для обеспечения ограниченности врегулятор добавляется отрицательная обратная связь:[︀]︀ () = − () () − () + (),(8)[︀]︀[︀]︀˙ () = Γ () − () () − () − (),где Γ ∈ R× – положительно определённые матрицы, > 0, (0 ) ∈ R .Введём обозначение:]︂ [︂∑︁ℎ ℎ = max +.=1,...,1−=1Теорема 2.5. Пусть выполнены предположения 1–3, 4′ , 5. Если + ℎ < − 20 ,=)︀1 (︀ − 20 − − ℎ ,2то адаптивный алгоритм управления (8) обеспечивает выполнение соотношения (7) с∑︁1max ( ) ∑︁ 2= 2Δ + Γ−1 , min ( ) =1min ( ) =1где , из (5), на траекториях системы (6), (2), (8) и ограниченность настраиваемых параметров ().Теорема 2.6.

Пусть выполнены предположения 1–3, 4′ , 6 и(1 − 2 ) (ℎ0 (, 1 ) − ℎ0 (, 2 )) 6 0,Если + ℎ < ,=9∀1 , 2 ∈ R .)︀1 (︀ − − ℎ ,2то адаптивный алгоритм управления (8) обеспечивает выполнение соотношения (7) с∑︁max ( ) ∑︁ 21= 2Δ + Γ−1 , min ( ) =1min ( ) =1где , из (5), на траекториях системы (6), (2), (8) и ограниченность настраиваемых параметров ().В разделе 2.5 на примере сети четырёх связанных систем Чуа продемонстрирована эффективность полученных результатов, приведены способы вычисления величин, необходимых для проверки условий теорем. Кроме того, продемонстрировано преимущество адаптивного регулятора перед статическим, которое заключается в меньших предельных значениях коэффициентов усиления взаконах обратной связи.В третьей главе рассматривается задача синхронизации идентичных системы Лурье с помощью управляющего сигнала, который строится как взвешенная сумма разностей запаздывающих выходов соседних узлов.В разделе 3.1 даётся математическая постановка задачи консенсусногоуправления.

Рассматриваются систем˙ () = () + (, ()) + (), () = (), > 0, = 1, . . . , ,(9)где ∈ R – состояния, ∈ R – входы, ∈ R – измеряемые выходы систем;постоянные матрицы , , имеют подходящие размерности. Предполагается, что функция (, ) кусочно-непрерывна по первому аргументу и глобально липшицева по второму с постоянной . В отличие от второй главы, здесьпредполагается, что регулятору -ой системы доступны измерения с некоторых«соседних» узлов, при этом на передачу информации от -ого узла к -ому необходимо время (). Рассматриваются законы обратной связи двух типов: () = ∑︁(︀)︀ () () − ( − ()) ,(10)(︀)︀ () ( − ()) − ( − ()) ,(11)=1 () = ∑︁=1где ∈ R1× – вектор-строка коэффициентов усиления, () > 0 – ограниченные, кусочно-непрерывные функции, определяющие какие измерения доступнырегуляторам, такие что () ≡ 0 для всех = 1, .

. . , . Регуляторы (10), (11)называются консенсусными и возникают в ряде областей физики, биологии и10социологии. В (10) вычисляется разница между текущим выходом -ой системы и запаздывающим выходом -ой системы, что не требует знания величинызапаздывания. Если величины запаздываний известны, то возможно построитьрегулятор (11), а если вдобавок () = (), то вычисляется разность между выходами систем в одно и то же время. Поскольку в случае синхронизациисистемы регулятор (11) обращается в ноль, его наличие не меняет синхронноерешение систем (9) (c ≡ 0), а лишь изменяет его устойчивость. Регулятор(11) возникает, если измерению доступны только разности выходов, например,если летательный аппарат с некоторым запаздыванием измеряет расстояние доближайших соседей.Далее под синхронизацией понимается выполнение соотношенийlim ( () − ()) = 0,→∞, = 1, .

. . , (12)на траекториях системы (9) (с некоторыми ).При формулировке условий синхронизации накладывается следующеепредположение.Предположение 7. Существует вектор ∈ R такой, что функция ( −)−1 является гипер-минимально-фазовой.В разделе 3.2 получены условия синхронизации систем (9) с помощьюзакона обратной связи (10) при выполнении следующего предположения, обеспечивающего существование синхронного решения системы (9), (10).Предположение 8. ∃(), (), ℎ : ∀ > 0, ∀, = 1, .

. . , ∑︁ () = (), () = (),0 6 () 6 ℎ.=1Определим матрицу () = { ()},=1 , где () = − (), если ̸= ,∑︀ () = =1 (), если = . Введём обозначения () = { ()},=1 , 1 =(1, . . . , 1) , 0 = (0, . . . , 0) ,(︃)︃(︃)︃(︃)︃100 *() *=, () =, () =,1 − −10 Λ()0 Ω()где Λ(), Ω() – некоторые матрицы.Теорема 3.1. Пусть выполнены Предположения 7, 8 и для некоторого * > 0Λ() + Λ () > * .(13)Тогда для достаточного большого существуют достаточно малые ℎ и такие, что закон обратной связи (10) с = − обеспечивает выполнение(12) на траекториях системы (9), (10) для любых начальных данных.11В разделе 3.3 получены условия синхронизации систем (9) с помощьюзакона обратной связи (11) при выполнении следующего предположения, обеспечивающего существование синхронного решения системы (9), (11).Предположение 9.

Характеристики

Список файлов диссертации